Тұрақты төртбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданы: формулалар мен есептердің мысалдары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Жазықтықтағы және үшөлшемді кеңістіктегі типтік геометриялық есептер әртүрлі пішіндердің бетінің аудандарын анықтау есептері болып табылады. Бұл мақалада біз кәдімгі төртбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданы формуласын ұсынамыз.

Пирамида дегеніміз не?

Пирамиданың қатаң геометриялық анықтамасын берейік. n қабырғасы және n бұрышы бар бірнеше көпбұрыш бар делік. Көрсетілген n-бұрыштың жазықтығында болмайтын кеңістіктегі ерікті нүктені таңдап, оны көпбұрыштың әрбір төбесіне қосамыз. Біз n-бұрышты пирамида деп аталатын белгілі бір көлемі бар фигураны аламыз. Мысалы, төмендегі суретте бесбұрышты пирамиданың қалай көрінетінін көрсетейік.

Кез келген пирамиданың екі маңызды элементі – оның негізі (n-бұрыш) және жоғарғы жағы. Бұл элементтер бір-бірімен жалпы алғанда бір-біріне тең емес n үшбұрыш арқылы қосылған. Перпендикуляр төмендедіжоғарыдан төменге қарай фигураның биіктігі деп аталады. Егер ол табаны геометриялық центрде қиып өтсе (көпбұрыштың масса центрімен сәйкес келсе), онда мұндай пирамида түзу деп аталады. Егер осы шартқа қосымша негіз дұрыс көпбұрыш болса, онда барлық пирамида дұрыс деп аталады. Төмендегі суретте үшбұрышты, төртбұрышты, бесбұрышты және алтыбұрышты негіздері бар кәдімгі пирамидалардың қандай болатыны көрсетілген.

Пирамида беті

Тұрақты төртбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданы туралы сұраққа көшпес бұрын, беттің өзі туралы түсінікке тоқталғанымыз жөн.

Жоғарыда айтылғандай және суреттерде көрсетілгендей, кез келген пирамида беттердің немесе жақтардың жиынтығынан тұрады. Бір қабырғасы табан, n қабырғасы үшбұрыш. Бүкіл фигураның беті оның әр жақтарының аудандарының қосындысы болып табылады.

Бетті жайылған фигураның мысалында зерттеу ыңғайлы. Кәдімгі төртбұрышты пирамиданы сканерлеу төмендегі суреттерде көрсетілген.

Оның бетінің ауданы бірдей тең қабырғалы үшбұрыштардың төрт ауданы мен квадраттың қосындысына тең екенін көреміз.

Фигураның қабырғаларын құрайтын барлық үшбұрыштардың жалпы ауданы бүйір бетінің ауданы деп аталады. Әрі қарай біз оны кәдімгі төртбұрышты пирамида үшін қалай есептеу керектігін көрсетеміз.

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы

Бүйірлік ауданды есептеу үшінкөрсетілген фигураның беті, біз қайтадан жоғарыдағы сканерлеуге жүгінеміз. Квадрат негізінің қабырғасын білеміз делік. Оны а белгісімен белгілейік. Төрт бірдей үшбұрыштың әрқайсысының ұзындығы a болатын табаны бар екенін көруге болады. Олардың жалпы ауданын есептеу үшін бір үшбұрыш үшін бұл мәнді білу керек. Геометрия курсынан S_{t үшбұрышының ауданы табан мен биіктіктің көбейтіндісіне тең екені белгілі, оны екіге бөлу керек. Яғни:}

S_t=1/2сағ_ba.

Мұндағы h_b - табанына а сызылған тең қабырғалы үшбұрыштың биіктігі. Пирамида үшін бұл биіктік апотема болып табылады. Енді қарастырылып отырған пирамиданың бүйір бетінің S_{b ауданын алу үшін алынған өрнекті 4-ке көбейту керек:}

S_b=4S_t=2сағ_ba.

Бұл формула екі параметрді қамтиды: апотема және негіздің жағы. Егер соңғысы есептердің көптеген шарттарында белгілі болса, онда біріншісін басқа шамаларды біле отырып есептеу керек. Мұнда екі жағдай үшін h_{b апотемасын есептеу формулалары берілген:}

• бүйір қабырғасының ұзындығы белгілі болғанда;
• пирамиданың биіктігі белгілі болғанда.

Егер бүйір жиегінің ұзындығын (тең қабырғалы үшбұрыштың қабырғасы) L таңбасымен белгілесек, h_{b апотемасы мына формуламен анықталады:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Бұл өрнек бүйір беттік үшбұрыш үшін Пифагор теоремасын қолданудың нәтижесі.

Егер белгілі болсапирамиданың биіктігі h, содан кейін h_{b апотемасын келесідей есептеуге болады:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Пирамиданың ішінде h және a/2 катеттері және h_{b гипотенузасы арқылы құрылған тік бұрышты үшбұрышты пирамида ішінде қарастырсақ, бұл өрнекті алу да қиын емес.}

Екі қызықты есепті шешу арқылы осы формулаларды қалай қолдану керектігін көрсетейік.

Белгілі аумаққа қатысты мәселе

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданы 108 см² екені белгілі. Оның h_{b апотемасының ұзындығының мәнін есептеу керек, егер пирамиданың биіктігі 7 см болса.}

Биіктік арқылы бүйір бетінің S_{b ауданының формуласын жазайық. Бізде:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Бұл жерде біз жаңа ғана сәйкес апотема формуласын S_{b өрнекіне ауыстырдық. Теңдеудің екі жағын да квадраттайық:}

S_b²=4a²h² + a^4.

a мәнін табу үшін айнымалыларға өзгеріс енгізейік:

a2=t;

t²+ 4сағ²t - S_b ^2=0.

Біз енді белгілі мәндерді ауыстырамыз және квадрат теңдеуді шешеміз:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Бұл теңдеудің тек оң түбірін жазып алдық. Сонда пирамида табанының қабырғалары:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 см.

Апотема ұзындығын алу үшін,жай формуланы пайдаланыңыз:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808қараңыз}

Хеопс пирамидасының бүйір беті

Ең үлкен Египет пирамидасының бүйір бетінің ауданын анықтаңыз. Оның табанында қабырғасының ұзындығы 230,363 метр болатын шаршы жатқаны белгілі. Құрылымның биіктігі бастапқыда 146,5 метрді құрады. Осы сандарды сәйкес формулаға S_{b ауыстырсақ, мынаны аламыз:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 м^2.

Табылған мән 17 футбол алаңының аумағынан сәл үлкен.