Математика мұғалімін тыңдай отырып, студенттердің көпшілігі материалды аксиома ретінде қабылдайды. Сонымен қатар, аз ғана адам түбіне жетуге тырысады және «плюс» үстіндегі «минус» неліктен «минус» белгісін береді, ал екі теріс санды көбейткенде оң шығады.
Математика заңдары
Ересектер көбісі өзіне немесе балаларына мұның себебін түсіндіре алмайды. Олар бұл материалды мектепте жақсы меңгерген, бірақ мұндай ережелердің қайдан шыққанын анықтауға тырыспады. Бекер. Көбінесе қазіргі заманғы балалар соншалықты сенгіш емес, олар мәселенің түбіне жетіп, мысалы, «минусқа» «плюс» неліктен «минус» беретінін түсінуі керек. Кейде үлкендер түсінікті жауап бере алмайтын сәттен ләззат алу үшін томбойлар әдейі қиын сұрақтар қояды. Ал жас мұғалімнің тәртіпсіздікке ұшырауы шын мәнінде апат…
Айтпақшы, жоғарыда айтылған ереже көбейтуге де, бөлуге де жарамды екенін айта кеткен жөн. Теріс және оң санның көбейтіндісі тек минус береді. Егер біз «-» таңбасы бар екі сан туралы айтатын болсақ, онда нәтиже оң сан болады. Бөлу туралы да солай. Егер асандардың бірі теріс болса, бөлім де «-» таңбасымен болады.
Бұл математика заңының дұрыстығын түсіндіру үшін сақина аксиомаларын тұжырымдау керек. Бірақ алдымен оның не екенін түсіну керек. Математикада екі элементі бар екі операция қатысатын жиынды сақина деп атайды. Бірақ мұны мысалмен шешкен дұрыс.
Сақина аксиомасы
Бірнеше математикалық заңдар бар.
- Біріншісі коммутативті, оның пікірінше, C + V=V + C.
- Екіншісі ассоциативті (V + C) + D=V + (C + D) деп аталады.
Олар да көбейтуге (V x C) x D=V x (C x D) бағынады.
Жақшаларды ашатын ережелерді ешкім жойған жоқ (V + C) x D=V x D + C x D, C x (V + D)=C x V + C екені де рас. x D.
Сонымен қатар, сақинаға қосу тұрғысынан бейтарап арнайы элементті енгізуге болатыны анықталды, оны қолдану арқылы мыналар дұрыс болады: C + 0=C. Сонымен қатар, әрбір С үшін қарама-қарсы элемент бар, оны (-С) деп белгілеуге болады. Бұл жағдайда C + (-C)=0.
Теріс сандар үшін аксиомалардың туындысы
Жоғарыда келтірілген тұжырымдарды қабылдай отырып, біз сұраққа жауап бере аламыз: «Плюс» - «минус» қандай белгіні береді? Теріс сандарды көбейту туралы аксиоманы біле отырып, шын мәнінде (-C) x V=-(C x V) екенін растау керек. Сондай-ақ келесі теңдік ақиқат: (-(-C))=C.
Ол үшін алдымен элементтердің әрқайсысында бір ғана элемент бар екенін дәлелдеу керекқарсы ағасы. Келесі дәлелді мысалды қарастырыңыз. C - V және D үшін екі сан қарама-қарсы екенін елестетіп көрейік. Бұдан C + V=0 және C + D=0, яғни C + V=0=C + D. Орын ауыстыру заңдарын еске түсіру. және 0 санының қасиеттері туралы біз барлық үш санның қосындысын қарастыра аламыз: C, V және D. V мәнін анықтауға тырысайық. V=V + 0=V + (C +) логикалық. D)=V + C + D, өйткені жоғарыда қабылданғандай C + D мәні 0-ге тең. Демек, V=V + C + D.
D мәні дәл осылай шығарылады: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Осының негізінде V=D екені белгілі болады..
«Минустағы» «плюс» неліктен «минус» беретінін түсіну үшін мынаны түсіну керек. Сонымен, (-C) элементі үшін керісінше C және (-(-C)), яғни олар бір-біріне тең.
Сонда 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V екені анық болады. Бұдан C x V (-)C x-қа қарама-қарсы екендігі шығады. V, сондықтан (-C) x V=-(C x V).
Толық математикалық қатаңдық үшін кез келген элемент үшін 0 x V=0 екенін растау қажет. Егер сіз логиканы ұстанатын болсаңыз, онда 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Бұл 0 x V өнімін қосу орнатылған соманы ешбір жолмен өзгертпейтінін білдіреді. Өйткені, бұл өнім нөлге тең.
Осы аксиомалардың барлығын біле отырып, сіз «минус» арқылы қанша «плюс» беретінін ғана емес, теріс сандарды көбейткенде не болатынын да шығара аласыз.
«-» таңбасы бар екі санды көбейту және бөлу
Егер сіз математикаға терең бойламасаңызнюанстар болса, теріс сандармен амалдар ережелерін оңайырақ түсіндіруге болады.
C - (-V)=D деп есептейік, сондықтан C=D + (-V), яғни C=D - V. V тасымалдап, C + V=D аламыз. Яғни, C + V=C - (-V). Бұл мысал қатарда екі «минус» бар өрнекте аталған белгілерді «плюс» етіп өзгерту қажеттігін түсіндіреді. Енді көбейтуді қарастырайық.
(-C) x (-V)=D, өрнекке оның мәнін өзгертпейтін екі бірдей көбейтіндіні қосуға және азайтуға болады: (-C) x (-V) + (C x V)) - (C x V)=D.
Жақшалармен жұмыс істеу ережелерін есте сақтай отырып, біз мынаны аламыз:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Осыдан C x V=(-C) x (-V) шығады.
Сол сияқты екі теріс санды бөлгенде оң сан шығатынын дәлелдей аламыз.
Жалпы математика ережелері
Әрине, бұл түсініктеме дерексіз теріс сандарды енді ғана үйрене бастаған бастауыш сынып оқушыларына жарамайды. Оларға көзге көрінетін заттарға, таныс терминді әйнек арқылы манипуляциялау арқылы түсіндіргені дұрыс. Мысалы, ойлап тапқан, бірақ жоқ ойыншықтар сонда орналасқан. Оларды «-» белгісімен көрсетуге болады. Екі әйнек нысанын көбейту оларды басқа әлемге ауыстырады, ол қазіргі уақытқа теңестіріледі, яғни нәтижесінде бізде оң сандар бар. Бірақ абстрактілі теріс санды оңға көбейту тек бәріне таныс нәтиже береді. Өйткені «плюс»«минусқа» көбейту «минус» береді. Рас, бастауыш мектеп жасында балалар барлық математикалық нюанстарға терең бойлауға тырыспайды.
Ақиқатты айтсаң да, көп адамдар үшін, тіпті жоғары білімді болса да, көптеген ережелер жұмбақ күйінде қалады. Математика толып жатқан барлық қиындықтарға үңілуден қалыс қалмай, мұғалімдердің үйрететінін әркім кәдімгідей қабылдайды. «Минус» бойынша «минус» «плюс» береді - бұл туралы барлығы біледі. Бұл бүтін сандарға да, бөлшек сандарға да қатысты.
