Математикалық талдаудың негізгі бөлімдерінің бірі - интегралдық есептеу. Ол объектілердің ең кең өрісін қамтиды, мұнда біріншісі анықталмаған интеграл. Оны тіпті орта мектепте жоғары математика сипаттайтын перспективалар мен мүмкіндіктердің көбеюін ашатын кілт ретінде орналастырған жөн.
Сыртқы түрі
Бір қарағанда, интеграл толығымен заманауи, өзекті болып көрінеді, бірақ іс жүзінде ол біздің эрамызға дейінгі 1800 жылы пайда болған. Египет ресми түрде отаны болып саналады, өйткені оның бар екендігі туралы бұрын дәлелдер бізге жеткен жоқ. Ол ақпараттың жетіспеушілігінен осы уақыттың барлығын жай ғана құбылыс ретінде көрсетті. Ол сол дәуірдегі халықтар арасында ғылымның қаншалықты дамығанын тағы бір дәлелдеді. Соңында біздің дәуірімізге дейінгі 4 ғасырға жататын ежелгі грек математиктерінің еңбектері табылды. Олар мәні қисық сызықты фигураның (үш өлшемдіжәне екі өлшемді жазықтықтар). Есептеу принципі бастапқы фигураны олардың көлемі (ауданы) бұрыннан белгілі болған жағдайда, шексіз аз құрамдас бөліктерге бөлуге негізделген. Уақыт өте келе әдіс өсті, Архимед оны параболаның ауданын табу үшін қолданды. Осыған ұқсас есептеулерді бір уақытта ежелгі Қытай ғалымдары жүргізген және олар ғылымдағы грек әріптестерінен толықтай тәуелсіз болды.
Даму
Біздің заманымыздың 11 ғасырындағы келесі серпіліс – «әмбебап» араб ғалымы Әбу Әли әл-Басридің жұмысы, ол бұрыннан белгілі болған нәрселердің шекарасын ығыстырып, қосындыларды есептеу үшін интеграл негізінде формулаларды шығарды. біріншіден төртіншіге дейінгі жолдар мен дәрежелердің қосындысы, бұл үшін бізге белгілі математикалық индукция әдісі қолданылады.
Қазіргі заманның санасы ежелгі египеттіктердің өз қолдарынан басқа ешбір арнайы құралсыз ғажайып сәулет ескерткіштерін жасағанына таңданады, бірақ сол кездегі ғалымдардың ақыл-ойының күші ғажайып емес пе? Бүгінгі күнмен салыстырғанда олардың өмірі қарабайыр болып көрінеді, бірақ анықталмаған интегралдардың шешімі барлық жерде шығарылды және одан әрі даму үшін тәжірибеде қолданылды.
Келесі қадам 16 ғасырда итальяндық математик Кавальери Пьер Ферма алған бөлінбейтін бөлшектер әдісін жасаған кезде орын алды. Дәл осы екі тұлға қазіргі уақытта белгілі интегралдық есептеудің негізін қалады. Олар бұрын болған дифференциация және интеграция ұғымдарын байланыстырдыавтономды бірліктер ретінде қарастырылады. Жалпы алғанда, сол кездегі математика фрагменттелген, қорытынды бөлшектері шектеулі ауқымға ие өз бетімен өмір сүрді. Біріктіру және ортақ негізді іздеу жолы сол кездегі жалғыз шынайы жол болды, соның арқасында заманауи математикалық талдау өсіп, даму мүмкіндігіне ие болды.
Бәрі уақыт өте өзгерді, соның ішінде интегралды белгілеу. Жалпы алғанда, ғалымдар оны барлық тәсілдермен белгіледі, мысалы, Ньютон интегралданатын функцияны орналастырған немесе жай оның жанына қойған төртбұрышты белгішені пайдаланды.
Бұл сәйкессіздік 17 ғасырға дейін жалғасты, ғалым Готфрид Лейбниц, математикалық талдаудың бүкіл теориясы үшін маңызды белгі бізге соншалықты таныс таңбаны енгізді. Ұзартылған «S» шын мәнінде латын әліпбиінің осы әрпіне негізделген, өйткені ол антитуындылардың қосындысын білдіреді. Интеграл өз атауын 15 жылдан кейін Джейкоб Бернуллидің арқасында алды.
Формальды анықтама
Анықталмаған интеграл антитуындының анықтамасына тікелей байланысты, сондықтан алдымен оны қарастырайық.
Антитуынды – туындыға кері функция, іс жүзінде оны қарабайыр деп те атайды. Әйтпесе: d функциясының қарсы туындысы туындысы v V'=v-ге тең D функциясы болады. Антитуындыны іздеу анықталмаған интегралды есептеу болып табылады және бұл процестің өзі интеграция деп аталады.
Мысалы:
Функция s(y)=y3 және оның антитуындысы S(y)=(y4/4).
Қарастырылып отырған функцияның барлық қарсы туындыларының жиыны анықталмаған интеграл, ол былай белгіленеді: ∫v(x)dx.
V(x) бастапқы функцияның тек кейбір антитуындысы болғандықтан, өрнек орын алады: ∫v(x)dx=V(x) + C, мұндағы C тұрақты. Ерікті тұрақты кез келген тұрақты болып табылады, өйткені оның туындысы нөлге тең.
Сипаттар
Анықталмаған интегралдың қасиеттері туындылардың негізгі анықтамасы мен қасиеттеріне негізделген.
Негізгі ойларды қарастырайық:
- антитуынды туындының интегралы антитуындының өзі плюс еркін тұрақты С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- интеграл функциясының туындысы бастапқы функция (∫v(x)dx)'=v(x);
- тұрақты ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx интегралдық белгісінің астынан алынады, мұндағы k - ерікті;
- қосындыдан алынған интеграл ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy интегралдарының қосындысына бірдей тең.
Соңғы екі қасиеттен анықталмаған интеграл сызықтық деген қорытынды жасауға болады. Осының арқасында бізде: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Біріктіру үшін анықталмаған интегралдарды шешу мысалдарын қарастырыңыз.
∫(3sinx + 4cosx)dx интегралын табу керек:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Мысалдан қорытынды жасауға болады:анықталмаған интегралдарды шешуді білмейсіз бе? Тек барлық примитивтерді табыңыз! Бірақ іздеу принциптері төменде қарастырылады.
Әдістер мен мысалдар
Интегралды шешу үшін келесі әдістерді қолдануға болады:
- дайын кестені пайдаланыңыз;
- бөліктер бойынша біріктіру;
- айнымалыны өзгерту арқылы біріктіру;
- дифференциалдық белгінің астына әкелу.
Кестелер
Ең оңай және ең қызықты әдіс. Қазіргі уақытта математикалық талдау анықталмаған интегралдардың негізгі формулалары жазылған өте кең кестелермен мақтана алады. Басқаша айтқанда, сізден бұрын және сіз үшін әзірленген үлгілер бар, оларды пайдалану ғана қалады. Мұнда шешімі бар әрбір мысалды алуға болатын негізгі кесте позицияларының тізімі берілген:
- ∫0dy=C, мұндағы C тұрақты;
- ∫dy=y + C, мұндағы C - тұрақты;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, мұндағы C тұрақты және n - бір емес сан;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, мұндағы C тұрақты;
- ∫eydy=ey + C, мұндағы C тұрақты;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, мұндағы C тұрақты;
- ∫cosydy=siny + C, мұндағы C тұрақты;
- ∫sinidy=-cosy + C, мұндағы C тұрақты;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, мұндағы C тұрақты;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, мұндағы C тұрақты;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, мұндағы C тұрақты;
- ∫chydy=ұялшақ + C, мұндағы C -тұрақты;
- ∫shydy=chy + C, мұндағы C - тұрақты.
Қажет болса, бір-екі қадам жасап, интегралды кестелік пішінге келтіріп, жеңістен ләззат алыңыз. Мысал: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Шешімге сәйкес, кестелік мысал үшін интегралда 5-ке көбейткіш жетіспейтіні анық. Жалпы өрнек өзгермеуі үшін оны параллельде 1/5-ке көбейтеміз.
Бөлектер бойынша интеграция
Екі функцияны қарастырайық - z(y) және x(y). Олар анықтаудың барлық доменінде үздіксіз дифференциалдануы керек. Дифференциалдау қасиеттерінің біріне сәйкес бізде: d(xz)=xdz + zdx. Теңдеудің екі бөлігін де интегралдасақ, мынаны аламыз: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Алынған теңдікті қайта жаза отырып, бөліктер бойынша интегралдау әдісін сипаттайтын формуланы аламыз: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Бұл не үшін қажет? Мәселе мынада, кейбір мысалдарды жеңілдетуге болады, шартты түрде айтқанда, егер соңғысы кестелік формаға жақын болса, ∫zdx-ті ∫xdz-ге дейін азайтады. Сондай-ақ, бұл формуланы оңтайлы нәтижелерге қол жеткізу үшін бірнеше рет қолдануға болады.
Анықталмаған интегралды қалай шешуге болады:
есептеу керек ∫(лар + 1)e2сds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2сек dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
есептеу керек ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Айнымалы ауыстыру
Анықталмаған интегралдарды шешудің бұл принципі күрделірек болса да, алдыңғы екі принциптен кем емес сұранысқа ие. Әдіс келесідей: V(x) кейбір v(x) функциясының интегралы болсын. Мысалдағы интегралдың өзі күрделі болып келген жағдайда, шатасу және шешімнің дұрыс емес жолын алу ықтималдығы жоғары. Бұған жол бермеу үшін x айнымалысынан z-ге көшу орындалады, онда z-тің x-ке тәуелділігін сақтай отырып, жалпы өрнек көрнекі түрде жеңілдетіледі.
Математикалық түрде былай көрінеді: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), мұндағы x=y(z) - ауыстыру. Және, әрине, z=y-1(x) кері функциясы айнымалылардың тәуелділігі мен байланысын толық сипаттайды. Маңызды ескерту - dx дифференциалы міндетті түрде жаңа dz дифференциалымен ауыстырылады, өйткені айнымалыны анықталмаған интегралда ауыстыру оны тек интегралда емес, барлық жерде ауыстыруды білдіреді.
Мысалы:
табу керек ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Ауыстыруды қолданыңыз z=(s+1)/(s2+2s-5). Сонда dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Нәтижесінде біз есептеу өте оңай келесі өрнекті аламыз:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2 лн|с2+2сек-5|+C;
интегралды табу керек∫2sesdx
Шешу үшін өрнекті келесі пішінде қайта жазамыз:
∫2sesds=∫(2e)sds.
a=2e деп белгілеңіз (бұл қадам аргументтің орнын алмастырмайды, ол әлі s), біз күрделі болып көрінетін интегралды қарапайым кестелік пішінге келтіреміз:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Дифференциалдық белгінің астына әкелу
Жалпы алғанда, бұл анықталмаған интеграл әдісі айнымалыларды өзгерту принципінің егіз інісі болып табылады, бірақ жобалау процесінде айырмашылықтар бар. Толығырақ қарастырайық.
Егер ∫v(x)dx=V(x) + C және y=z(x), онда ∫v(y)dy=V(y) + C.
Бұл жағдайда тривиальды интегралдық түрлендірулерді ұмытпау керек, олардың арасында:
- dx=d(x + a), мұндағы a кез келген тұрақты;
- dx=(1 / a)d(ax + b), мұндағы a қайтадан тұрақты, бірақ нөлге тең емес;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Анықталмаған интегралды есептегенде жалпы жағдайды қарастыратын болсақ, мысалдарды w'(x)dx=dw(x) жалпы формуласы бойынша жинақтауға болады.
Мысалдар:
табу керек ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2сек + 3)2ds=1/2∫(2сек + 3)2d(2сек + 3)=(1/2) x ((2с +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2с + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Онлайн анықтама
Кейбір жағдайларда, кінәсі жалқаулық немесе шұғыл қажеттілік болуы мүмкін, сіз онлайн кеңестерді пайдалана аласыз, дәлірек айтсақ, белгісіз интегралдық калькуляторды пайдалана аласыз. Интегралдардың барлық көрінетін күрделілігі мен даулылығына қарамастан, олардың шешімі «егер … болмаса, онда …» принципіне негізделген белгілі бір алгоритмге бағынады.
Әрине, мұндай калькулятор әсіресе күрделі мысалдарды игере алмайды, өйткені белгілі бір элементтерді процеске «мәжбүрлеп» енгізу арқылы шешімді жасанды түрде табуға тура келетін жағдайлар болады, өйткені айқын нәтижеге қол жеткізу мүмкін емес. жолдары. Бұл тұжырымның барлық қайшылықтарына қарамастан, бұл шындық, өйткені математика, негізінен, абстрактілі ғылым және мүмкіндіктер шекарасын кеңейту қажеттілігін өзінің негізгі міндеті деп санайды. Шынында да, бірқалыпты теорияларға сәйкес жоғары көтерілу және даму өте қиын, сондықтан біз берген анықталмаған интегралдарды шешу мысалдарын мүмкіндіктердің биіктігі деп ойламау керек. Бірақ мәселенің техникалық жағына қайта оралу. Кем дегенде, есептеулерді тексеру үшін бізден бұрын бәрі жазылған қызметтерді пайдалануға болады. Егер күрделі өрнекті автоматты түрде есептеу қажет болса, олардан бас тартуға болмайды, сізге неғұрлым маңызды бағдарламалық жасақтамаға жүгінуге тура келеді. Ең алдымен MatLab ортасына назар аударған жөн.
Қолданба
Анықталмаған интегралдардың шешімі бір қарағанда шындықтан мүлдем тыс болып көрінеді, өйткені қолданудың айқын аймақтарын көру қиын. Шынында да, оларды кез келген жерде тікелей қолдануға болмайды, бірақ олар практикада қолданылатын шешімдерді алу процесінде қажетті аралық элемент болып саналады. Сонымен, интегралдау дифференциацияға кері болады, соның арқасында ол теңдеулерді шешу процесіне белсенді қатысады.
Өз кезегінде бұл теңдеулер механикалық есептерді шешуге, траекторияларды есептеуге және жылу өткізгіштікке – бір сөзбен айтқанда, бүгінді құрайтын және болашақты қалыптастыратын барлық нәрсеге тікелей әсер етеді. Мысалдарын біз жоғарыда қарастырған анықталмаған интеграл бір қарағанда тривиальды болып табылады, өйткені ол көбірек жаңа ашулар жасауға негіз болады.
