Математика ғылымында жиі бірқатар қиындықтар мен сұрақтар туындайды және көптеген жауаптар әрқашан анық бола бермейді. Жиынтықтардың күрделілігі сияқты тақырып ерекшелік болмады. Шын мәнінде, бұл нысандар санының сандық көрінісінен басқа ештеңе емес. Жалпы мағынада жиын – аксиома, оның анықтамасы жоқ. Ол бос, шекті немесе шексіз болуы мүмкін кез келген объектілерге, дәлірек айтқанда олардың жиынына негізделген. Оған қоса, ол бүтін сандарды немесе натурал сандарды, матрицаларды, тізбектерді, сегменттерді және сызықтарды қамтиды.
Бар айнымалылар туралы
Ішкі мәні жоқ бос немесе бос жиын негізгі элемент болып саналады, себебі ол ішкі жиын. Бос емес S жиынының барлық ішкі жиындарының жиыны жиындар жиыны болып табылады. Осылайша, берілген жиынның қуат жиыны көп, болжамды, бірақ жалғыз болып саналады. Бұл жиын S дәрежелерінің жиыны деп аталады және P (S) арқылы белгіленеді. Егер S N элементті қамтыса, P(S) 2^n ішкі жиынды қамтиды, өйткені P(S) ішкі жиыны не ∅ немесе S, r=1, 2, 3, … Шексіз барлығынан тұратын r элементтерін қамтитын ішкі жиын. M жиыны қуат мөлшері деп аталады және символдық түрде P (M) арқылы белгіленеді.
Жиындар теориясының элементтері
Бұл білім саласын Джордж Кантор (1845-1918) жасаған. Бүгінгі күні ол математиканың барлық дерлік салаларында қолданылады және оның негізгі бөлігі ретінде қызмет етеді. Жиын теориясында элементтер тізім түрінде беріледі және түрлері (бос жиын, біртұтас, ақырлы және шексіз жиындар, тең және эквивалент, әмбебап), бірігу, қиылысу, айырым және сандарды қосу арқылы беріледі. Күнделікті өмірде біз бір топ кілттер, құстар тобы, карточкалар пакеті және т.б. сияқты заттардың жинағы туралы жиі айтамыз. Математикадан 5 және одан жоғары сыныптарда натурал, бүтін, жай және құрама сандар бар.
Келесі жинақтарды қарастыруға болады:
- натурал сандар;
- алфавиттің әріптері;
- негізгі коэффициенттер;
- қабырғалары әртүрлі үшбұрыштар.
Бұл көрсетілген мысалдар нақты анықталған нысандар жиыны екенін көруге болады. Тағы бірнеше мысалды қарастырыңыз:
- әлемдегі ең атақты бес ғалым;
- қоғамдағы жеті сұлу қыз;
- үш үздік хирург.
Бұл негізгі мысалдар нақты анықталған нысандар жинағы емес, өйткені "ең атақты", "ең әдемі", "ең жақсы" критерийлері адамнан адамға өзгереді.
Жинақтар
Бұл мән әртүрлі нысандардың жақсы анықталған саны. Мынаны есептесек:
- сөздер жинағы синоним, жиынтық, сынып және элементтерден тұрады;
- нысандар, мүшелер тең шарттар;
- жинақтар әдетте A, B, C бас әріптерімен белгіленеді;
- жиын элементтері a, b, c кіші әріптерімен берілген.
Егер «а» А жиынының элементі болса, онда «а» А-ға жатады деп айтылады. «Тиісті» тіркесін гректің «∈» (эпсилон) таңбасымен белгілейік. Осылайша, a ∈ A екені белгілі болды. Егер 'b' A элементіне жатпайтын элемент болса, ол b ∉ A түрінде көрсетіледі. 5-сынып математикасында қолданылатын кейбір маңызды жиындар келесі үш әдіс арқылы көрсетіледі:
- қолданбалар;
- тізілімдер немесе кестелік;
- формация құру ережесі.
Тұқият тексергенде, өтініш формасы келесіге негізделген. Бұл жағдайда жиын элементтерінің нақты сипаттамасы беріледі. Олардың барлығы бұйра жақшаға салынған. Мысалы:
- 7-ден кіші тақ сандар жиыны - {7-ден кем} деп жазылады;
- 30-дан үлкен және 55-тен кіші сандар жиыны;
- сыныптағы салмағы мұғалімнен артық оқушылар саны.
Тізілім (кесте) пішімінде жиынның элементтері {} жақшаларының ішінде тізімделеді және үтірмен бөлінген. Мысалы:
- Алғашқы бес натурал санның жиынын N белгілейік. Сондықтан, N=→ тіркеу формасы
- Ағылшын алфавитінің барлық дауысты дыбыстарының жинағы. Демек, V={a, e, i, o, u, y} → тіркеу формасы
- Барлық тақ сандар жиыны 9-дан кіші. Сондықтан X={1, 3, 5, 7} → пішінтізілім
- "Математика" сөзіндегі барлық әріптер жинағы. Сондықтан Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Тіркеу формасы
- W - жылдың соңғы төрт айының жинағы. Сондықтан, W={қыркүйек, қазан, қараша, желтоқсан} → тізілім.
Элементтердің тізімделу реті маңызды емес екенін, бірақ оларды қайталамау керектігін ескеріңіз. Құрылымның белгіленген түрі, берілген жағдайда ереже, формула немесе оператор жиын дұрыс анықталатындай жақшаға жазылады. Жиын құрастырушы пішінінде қарастырылып отырған мәннің мүшесі болу үшін барлық элементтердің бірдей сипаты болуы керек.
Жиынды көрсетудің бұл түрінде жиынның элементі "x" таңбасымен немесе қос нүктеден кейін қос нүкте қойылатын кез келген басқа айнымалымен сипатталады (көрсету үшін ":" немесе "|" пайдаланылады). Мысалы, P 12-ден үлкен есептелетін сандар жиыны болсын. Жиын құрастырушы түрінде P - {есептелетін сан және 12-ден үлкен} деп жазылады. Ол белгілі бір жолмен оқылады. Яғни, "P - x есептелетін және 12-ден үлкен болатын x элементтерінің жинағы."
Үш жиынды көрсету әдісін қолданатын мысал: -2 мен 3 арасындағы бүтін сандар саны. Төменде жиындардың әртүрлі үлгілерінің мысалдары берілген:
- Ешбір элементі жоқ және ∅ белгісімен белгіленетін және phi ретінде оқылатын бос немесе нөл жиынтық. Тізім түрінде ∅ {} деп жазылады. Ақырғы жиын бос, өйткені элементтер саны 0. Мысалы, бүтін мәндер жиыны 0-ден аз.
- <0 болмауы керек екені анық. Сондықтан, бұлбос жиын.
- Тек бір айнымалысы бар жиын синглондық жиын деп аталады. Қарапайым да, күрделі де емес.
Ақырлы жиын
Құрамында белгілі бір элементтер саны бар жиын ақырлы немесе шексіз жиын деп аталады. Бос біріншіге сілтеме жасайды. Мысалы, кемпірқосақтағы барлық түстердің жинағы.
Шексіздік - жиын. Ондағы элементтерді санау мүмкін емес. Яғни, ұқсас айнымалыларды қамтитын шексіз жиын деп аталады. Мысалдар:
- жазықтықтағы барлық нүктелер жиынының қуаты;
- барлық жай сандар жиыны.
Бірақ жиынтық бірлестігінің барлық негізгі белгілерін тізім түрінде көрсетуге болмайтынын түсіну керек. Мысалы, нақты сандар, өйткені олардың элементтері нақты үлгіге сәйкес келмейді.
Жиынның негізгі саны – берілген A шамасындағы әртүрлі элементтердің саны. Ол n (A) деп белгіленеді.
Мысалы:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Демек, n (A)=4.
- B=АЛГЕБРА сөзіндегі әріптер жинағы.
Жинауды салыстыруға арналған балама жинақтар
А және В жиынының екі кардиналдары, егер олардың негізгі саны бірдей болса. Баламалы жиынның таңбасы «↔». Мысалы: A ↔ B.
Тең жиындар: егер оларда бірдей элементтер болса, A және B жиындарының екі кардиналдығы. А-дан алынған әрбір коэффициент В-дан айнымалы, ал В-ның әрқайсысы А-ның көрсетілген мәні болып табылады. Сондықтан, A=B. Негізгі бірлестіктердің әртүрлі түрлері және олардың анықтамалары берілген мысалдар арқылы түсіндіріледі.
Шектілік пен шексіздіктің мәні
Ақырлы жиын мен шексіз жиынның негізгілігінің айырмашылығы қандай?
Егер ол бос болса немесе элементтердің шектеулі саны болса, бірінші мәннің келесі атауы болады. Ақырлы жиында айнымалының саны шектеулі болса, оны көрсетуге болады. Мысалы, 1, 2, 3 натурал сандарын қолдану. Ал листинг процесі N-де аяқталады. Соңғы S жиынында есептелетін әртүрлі элементтердің саны n (S) арқылы белгіленеді. Оны бұйрық немесе кардинал деп те атайды. Стандартты принцип бойынша символдық түрде белгіленеді. Осылайша, егер S жиыны орыс алфавиті болса, онда ол 33 элементті қамтиды. Элемент жиынтықта бір реттен артық болмайтынын есте ұстаған жөн.
Жинақта шексіз
Егер элементтерді санау мүмкін болмаса, жиын шексіз деп аталады. Егер оның кез келген n үшін шектелмеген (яғни, саналмайтын) натурал саны 1, 2, 3, 4 болса. Ақырлы емес жиынды шексіз деп атайды. Енді біз қарастырылып жатқан сандық мәндердің мысалдарын талқылай аламыз. Соңғы мән опциялары:
- Q={25-тен кіші натурал сандар} болсын. Сонда Q ақырлы жиын және n (P)=24.
- R={5 пен 45 арасындағы бүтін сандар} болсын. Сонда R - ақырлы жиын және n (R)=38.
- S={сандар модулі 9} болсын. Сонда S={-9, 9} - шекті жиын және n (S)=2.
- Барлық адамдар жинағы.
- Барлық құстардың саны.
Шексіз мысалдар:
- ұшақтағы бар нүктелер саны;
- сызық сегментіндегі барлық нүктелердің саны;
- 3-ке бөлінетін натурал сандар жиыны шексіз;
- барлық бүтін және натурал сандар.
Осылайша, жоғарыдағы пайымдаулардан ақырлы және шексіз жиындарды қалай ажыратуға болатыны анық болды.
Континуум жинағының қуаты
Жиын мен басқа бар мәндерді салыстыратын болсақ, онда жиынтыққа қосымша тіркеледі. Егер ξ әмбебап болса және А ξ жиыны болса, онда А толықтауышы ξ-ның А элементтері болып табылмайтын барлық элементтерінің саны болып табылады. Символдық түрде ξ-ке қатысты А толықтауышы A' болады. Мысалы, 2, 4, 5, 6 ξ-ның A-ға жатпайтын жалғыз элементтері. Сондықтан A'={2, 4, 5, 6}
Үздіксіздігі бар жиынтықта келесі мүмкіндіктер бар:
- әмбебап шаманың толықтауышы – қарастырылатын бос мән;
- бұл нөлдік жиын айнымалысы әмбебап;
- сома мен оның толықтауышы бір-бірінен бөлек.
Мысалы:
- Натурал сандар саны әмбебап жиын, ал А жұп болсын. Сонда A '{x: x - бірдей цифрлары бар тақ жиын}.
- ξ=алфавиттегі әріптер жиынтығы болсын. A=дауыссыз дыбыстар жиыны. Содан кейін A '=дауысты дыбыстар саны.
- Әмбебап жиынның толықтаушысы - бос шама. ξ арқылы белгілеуге болады. Сонда ξ '=ξ құрамына кірмейтін элементтердің жиыны. Бос φ жиыны жазылады және белгіленеді. Сондықтан ξ=φ. Осылайша, әмбебап жиынның толықтауышы бос.
Математикада "континуум" кейде нақты сызықты көрсету үшін қолданылады. Жалпы, ұқсас нысандарды сипаттау үшін:
- континуум (жиын теориясында) - нақты сызық немесе сәйкес негізгі сан;
- linear - нақты сызықтың белгілі бір қасиеттерін бөлісетін кез келген реттелген жиын;
- континуум (топологияда) - бос емес ықшам қосылған метрикалық кеңістік (кейде Hausdorff);
- шексіз жиындар бүтін сандардан үлкен, бірақ нақты сандардан кіші болмайды деген гипотеза;
- континуумның күші - нақты сандар жиынының өлшемін білдіретін негізгі сан.
Негізі, бір күйден екінші күйге кенет өзгеріссіз біртіндеп өтуді түсіндіретін континуум (өлшеу), теориялар немесе модельдер.
Біріктіру және қиылысу мәселелері
Екі немесе одан да көп жиындардың қиылысы осы мәндерде ортақ болатын барлық элементтерді қамтитын сан екені белгілі. Жиындардағы сөздік тапсырмалар жиындардың біріктіру және қиылысу қасиеттерін пайдалану жолы туралы негізгі идеяларды алу үшін шешіледі. Сөздердің негізгі есептерін шештіжинақтар келесідей:
А және В екі шекті жиын болсын. Олар n (A)=20, n (B)=28 және n (A ∪ B)=36 болатындай, n (A ∩ B) табыңыз
Венн диаграммасы арқылы жиындардағы байланыс:
- Екі жиынның бірігуін A ∪ B көрсететін көлеңкелі аймақпен көрсетуге болады. A және B ажыратылған жиындар болғанда A ∪ B.
- Екі жиынның қиылысуын Венн диаграммасы арқылы көрсетуге болады. Көлеңкелі аймақ A ∩ B.
- Екі жиынның арасындағы айырмашылықты Венн диаграммасы арқылы көрсетуге болады. Көлеңкелі аймақ A - B.
- Венн диаграммасы арқылы үш жиын арасындағы байланыс. Егер ξ әмбебап шаманы көрсетсе, онда A, B, C үш ішкі жиын. Мұнда барлық үш жиынтық бір-біріне сәйкес келеді.
Жиын ақпаратын жинақтау
Жиынның негізгілігі жиындағы жеке элементтердің жалпы саны ретінде анықталады. Және соңғы көрсетілген мән барлық ішкі жиындардың саны ретінде сипатталады. Мұндай мәселелерді зерттегенде әдіс-тәсілдер, әдістер мен шешімдер қажет. Сонымен, жиынның негізгілігі үшін келесі мысалдар қызмет ете алады:
А={0, 1, 2, 3}| болсын |=4, мұндағы | А | A жиынының негізгілігін білдіреді.
Енді қуат жинағын таба аласыз. Бұл да өте қарапайым. Жоғарыда айтылғандай, қуат жинағы берілген санның барлық ішкі жиындарынан орнатылады. Сонымен, негізінен А-ның барлық айнымалыларын, элементтерін және басқа мәндерін анықтау керек,олар {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Енді қуат санын есептеңіз P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 16 элементі бар 0, 1, 2, 3}}. Осылайша, жиынның кардиналдығы A=16. Бұл мәселені шешудің қиын және ауыр әдісі екені анық. Дегенмен, берілген санның қуат жиынындағы элементтердің санын тікелей білуге болатын қарапайым формула бар. | P |=2 ^ N, мұндағы N - кейбір A элементтерінің саны. Бұл формуланы қарапайым комбинаторика көмегімен алуға болады. Мәселен, сұрақ 2^11, өйткені А жиынындағы элементтер саны 11.
Сонымен, жиын дегеніміз кез келген мүмкін нысан болуы мүмкін кез келген санмен өрнектелген шама. Мысалы, көліктер, адамдар, сандар. Математикалық мағынада бұл ұғым кеңірек және жалпыланған. Бастапқы кезеңде сандар мен оларды шешу нұсқалары сұрыпталса, орта және жоғары сатыларда шарттар мен міндеттер күрделене түседі. Іс жүзінде жиынтық бірлестігінің кардиналдығы объектінің кез келген топқа жататындығымен анықталады. Яғни, бір элемент сыныпқа жатады, бірақ оның бір немесе бірнеше айнымалысы бар.
