Математикада кері функциялар бір-біріне айналатын өзара сәйкес өрнектер. Бұл нені білдіретінін түсіну үшін нақты мысалды қарастырған жөн. Бізде y=cos(x) бар делік. Егер аргументтен косинусты алсақ, онда у-ның мәнін табуға болады. Әлбетте, бұл үшін сізде x болуы керек. Бірақ ойыншы бастапқыда берілсе ше? Міне, мәселенің түпкі мәні осында. Есепті шешу үшін кері функцияны қолдану қажет. Біздің жағдайда бұл доғаның косинусы.
Барлық түрлендірулерден кейін мынаны аламыз: x=arccos(y).
Яғни, берілгенге кері функцияны табу үшін одан аргумент айту жеткілікті. Бірақ бұл нәтиже бір мәнге ие болғанда ғана жұмыс істейді (бұл туралы кейінірек).
Жалпы түрде бұл фактіні былай жазуға болады: f(x)=y, g(y)=x.
Анықтама
Тау домені X жиыны болатын f функциясы болсын, жәнемәндер ауқымы Y жиыны болып табылады. Сонда домендері қарама-қарсы тапсырмаларды орындайтын g болса, f қайтымды болады.
Сонымен қатар, бұл жағдайда g бірегей, яғни бұл сипатты қанағаттандыратын дәл бір функция бар (артық емес, кем емес). Сонда ол кері функция деп аталады да, жазбаша түрде былай белгіленеді: g(x)=f -1(x).
Басқаша айтқанда, оларды екілік қатынас ретінде қарастыруға болады. Қайтымдылық жиынның бір элементі екіншісінен бір мәнге сәйкес келгенде ғана орын алады.
Әрқашан кері функция болмайды. Ол үшін әрбір y є Y элементі ең көбі бір x є X сәйкес келуі керек. Сонда f бір-бір немесе инъекция деп аталады. Егер f -1 Y-ге тиесілі болса, онда бұл жиынның әрбір элементі кейбір x ∈ X-ке сәйкес келуі керек. Бұл қасиеті бар функциялар сюрекциялар деп аталады. Анықтамасы бойынша егер Y f кескіні болса, бірақ бұл әрқашан солай бола бермейді. Кері болу үшін функция инъекция және сюрекция болуы керек. Мұндай өрнектер бижекциялар деп аталады.
Мысалы: квадрат және түбір функциялары
Функция [0, ∞) бойынша анықталған және f (x)=x2 формуласымен берілген.
Онда ол инъекциялық емес, өйткені Y әрбір мүмкін нәтижесі (0-ден басқа) екі түрлі X-ке сәйкес келеді - бір оң және бір теріс, сондықтан ол қайтымсыз. Бұл жағдайда алынған мәліметтерден қайшы келетін бастапқы деректерді алу мүмкін болмайдытеориялар. Ол инъекциялық емес болады.
Анықтау облысы шартты түрде теріс емес мәндермен шектелсе, онда бәрі бұрынғыдай жұмыс істейді. Сонда ол биективті, демек инвертивті. Мұндағы кері функция оң деп аталады.
Енгізудегі ескертпе
f -1 (x) белгісі адамды шатастыруы мүмкін, бірақ оны ешбір жағдайда былай қолдануға болмайды: (f (x)) - 1 . Бұл мүлдем басқа математикалық тұжырымдамаға сілтеме жасайды және кері функцияға еш қатысы жоқ.
Жалпы ереже бойынша, кейбір авторлар sin-1 (x).
сияқты өрнектерді пайдаланады.
Алайда, басқа математиктер бұл шатасуға әкелуі мүмкін деп санайды. Мұндай қиындықтарды болдырмау үшін кері тригонометриялық функциялар жиі «doға» префиксімен белгіленеді (латын тілінен доға). Біздің жағдайда біз арксинус туралы айтып отырмыз. Кейбір басқа функциялар үшін кейде "ar" немесе "inv" префиксін көруге болады.
