Таңғажайып және таныс алаң. Ол диагональдар бойымен және қабырғалардың центрлері арқылы жүргізілген оның центрі мен осьтеріне қатысты симметриялы. Ал шаршының ауданын немесе оның көлемін іздеу мүлде қиын емес. Әсіресе оның бүйірінің ұзындығы белгілі болса.
Фигура және оның қасиеттері туралы бірнеше сөз
Алғашқы екі қасиет анықтамаға қатысты. Фигураның барлық жақтары бір-біріне тең. Өйткені, шаршы дұрыс төртбұрыш. Оның үстіне, оның барлық жақтары тең және бұрыштары бірдей мәнге ие болуы керек, атап айтқанда, 90 градус. Бұл екінші қасиет.
Үшінші диагональдардың ұзындығына қатысты. Олар да бір-біріне тең болып шығады. Оның үстіне олар тік бұрыштарда және ортаңғы нүктелерде қиылысады.
Тек жағы ұзындығын пайдаланатын формула
Біріншіден, белгілеу туралы. Бүйірдің ұзындығы үшін «а» әрпін таңдау әдеттегідей. Содан кейін шаршы алаң мына формула бойынша есептеледі: S=a2.
Оны тіктөртбұрыш үшін белгілі бірінен оңай алуға болады. Онда ұзындығы мен ені көбейтіледі. Шаршы үшін бұл екі элемент тең. Сондықтан формуладаосы бір мәннің квадраты пайда болады.
Диагональ ұзындығы көрсетілетін формула
Бұл үшбұрыштың гипотенузасы, оның катеттері фигураның қабырғалары. Сондықтан Пифагор теоремасының формуласын қолданып, жағы диагональ арқылы өрнектелетін теңдік шығаруға болады.
Осындай қарапайым түрлендірулерден кейін диагональ арқылы өтетін шаршының ауданы келесі формуламен есептелетінін аламыз:
S=d2 / 2. Мұндағы d әрпі шаршының диагоналін білдіреді.
Периметр формуласы
Мұндай жағдайда қабырғаны периметр арқылы өрнектеп, аудан формуласына ауыстыру керек. Фигураның төрт бірдей жағы болғандықтан, периметрді 4-ке бөлу керек. Бұл жағының мәні болады, содан кейін оны бастапқыға ауыстырып, шаршының ауданын есептеуге болады.
Жалпы формула келесідей: S=(Р/4)2.
Есептеуге арналған мәселелер
1. Шаршы бар. Оның екі қабырғасының қосындысы 12 см. Квадраттың ауданы мен периметрін есептеңдер.
Шешім. Екі қабырғасының қосындысы берілгендіктен, бір қабырғасының ұзындығын табу керек. Олар бірдей болғандықтан, белгілі санды екіге бөлу керек. Яғни бұл фигураның қыры 6 см.
Онда оның периметрі мен ауданы жоғарыдағы формулалар арқылы оңай есептеледі. Біріншісі 24 см, екіншісі 36 см2.
Жауап. Шаршының периметрі 24 см, ауданы 36 см2.
2. Периметрі 32 мм шаршының ауданын табыңыз.
Шешім. Жоғарыда жазылған формуладағы периметрдің мәнін ауыстыру жеткілікті. Алдымен шаршының жағын, содан кейін ғана оның ауданын білуге болады.
Екі жағдайда да әрекеттер алдымен бөлуді, содан кейін дәрежеге шығаруды қамтиды. Қарапайым есептеулер квадраттың ауданы 64 мм2 болатындығына әкеледі.
Жауап. Қажетті аумақ 64 мм2.
3. Шаршының қабырғасы 4 дм. Тіктөртбұрыш өлшемдері: 2 және 6 дм. Екі фигураның қайсысының ауданы үлкен? Қанша?
Шешім. Шаршы жағы a1 әрпімен белгіленсін, содан кейін тіктөртбұрыштың ұзындығы мен ені a2 және 2 болады. . Шаршының ауданын анықтау үшін a1 мәнін квадраттау керек, ал тіктөртбұрыштың мәнін 2 көбейту керек.және 2 . Бұл оңай.
Квадраттың ауданы 16 дм2, ал тіктөртбұрыш 12 дм2 болатыны анықталды. Бірінші фигура екіншісінен үлкенірек екені анық. Бұл олардың тең болғанына қарамастан, яғни олардың периметрі бірдей. Тексеру үшін периметрлерді санауға болады. Шаршыда жағын 4-ке көбейту керек, сіз 16 дм аласыз. Тіктөртбұрыштың қабырғаларын қосып, 2-ге көбейтіңіз. Ол бірдей сан болады.
Мәселеде аумақтар қаншалықты ерекшеленетініне де жауап беру керек. Ол үшін үлкен саннан кіші санды алып тастау керек. Айырмашылық 4 dm2 болып шықты.
Жауап. Аудандар 16 дм2 және 12 дм2. Шаршыда 4 мм артық2.
Дәлелдеу мәселесі
Жағдай. Тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыштың катетіне шаршы салынған. Гипотенузаға биіктік салынған, оның үстіне басқа шаршы салынған. Біріншісінің ауданы екіншісінен екі есе үлкен екенін дәлелдеңдер.
Шешім. Белгілеуді енгізейік. катет а-ға тең, ал гипотенузаға түсірілген биіктік х болсын. Бірінші шаршының ауданы - S1, екінші шаршы S2.
Аяққа салынған шаршының ауданын есептеу оңай. Ол 2 тең болып шықты. Екінші мәнмен бәрі оңай емес.
Алдымен гипотенузаның ұзындығын білу керек. Бұл үшін Пифагор теоремасының формуласы пайдалы. Қарапайым түрлендірулер мына өрнекке әкеледі: a√2.
Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына түсірілген биіктігі де медиана мен биіктік болғандықтан, ол үлкен үшбұрышты екі тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрышқа бөледі. Демек, биіктігі гипотенузаның жартысы. Яғни, x \u003d (a √ 2) / 2. Осы жерден S2 аймағын оңай табуға болады. Бұл 2/2.
тең болып шықты.
Жазылған мәндер бір-бірінен дәл екі есеге ерекшеленетіні анық. Ал екіншісі әлдеқайда аз. Дәлелдеу үшін қажет.
Ерекше басқатырғыш - танграм
Ол шаршыдан жасалған. Ол белгілі бір ережелерге сәйкес әртүрлі пішіндерге кесілуі керек. Барлығы 7 бөлік болуы керек.
Ережелер ойын барысында барлық алынған бөліктер пайдаланылатынын болжайды. Олардың ішінен басқа геометриялық пішіндерді жасау керек. Мысалға,тіктөртбұрыш, трапеция немесе параллелограмм.
Бірақ бөлшектерден жануарлардың немесе заттардың сұлбалары алынғанда одан да қызықтырақ. Оның үстіне барлық туынды фигуралардың ауданы бастапқы квадраттың ауданына тең екені белгілі болды.
