Адамзаттың алға жылжуы көп жағдайда данышпандардың ашқан жаңалықтарының арқасы. Солардың бірі – Блез Паскаль. Оның шығармашылық өмірбаяны Лион Фейхтвангердің «Талантты адам, бәрінде де талантты» деген сөзінің растығын тағы да растайды. Бұл ұлы ғалымның барлық ғылыми жетістіктерін санау қиын. Олардың ішінде математика әлеміндегі ең талғампаз өнертабыстардың бірі - Паскаль үшбұрышы.
Данышпан туралы бірнеше сөз
Блез Паскаль заманауи стандарттар бойынша ерте, 39 жасында қайтыс болды. Дегенмен, ол өзінің қысқа ғұмырында көрнекті физик, математик, философ және жазушы ретінде ерекшеленді. Алғыс білдірген ұрпақтары оның құрметіне қысым бірлігін және танымал бағдарламалау тілін Паскаль деп атады. Ол әртүрлі кодтарды жазуды үйрету үшін 60 жылға жуық қолданылды. Мысалы, оның көмегімен әрбір студент Паскаль тілінде үшбұрыштың ауданын есептеу бағдарламасын жаза алады, сонымен қатар схеманың қасиеттерін зерттей алады,ол төменде талқыланады.
Ерекше ойлау қабілеті бар бұл ғалымның қызметі ғылымның сан алуан салаларын қамтиды. Атап айтқанда, Блез Паскаль гидростатиканың, математикалық анализдің, геометрияның кейбір салаларының және ықтималдықтар теориясының негізін салушылардың бірі. Сондай-ақ, ол:
- Паскаль дөңгелегі деп аталатын механикалық калькуляторды жасады;
- ауаның икемділігі мен салмағы бар екенін эксперименттік дәлелдермен қамтамасыз етті;
- барометрді ауа райын болжау үшін пайдалануға болатынын анықтады;
- арбаны ойлап тапты;
- омнибусты - белгіленген маршруттары бар ат-арбаларды ойлап тапты, кейін олар тұрақты қоғамдық көліктің бірінші түріне айналды, т.б.
Паскаль арифметикалық үшбұрышы
Жоғарыда айтылғандай, бұл ұлы француз ғалымы математика ғылымына орасан зор үлес қосты. Оның абсолютті ғылыми жауһарларының бірі белгілі бір ретпен орналасқан биномдық коэффициенттерден тұратын «Арифметикалық үшбұрыш туралы трактат» болып табылады. Бұл схеманың қасиеттері әртүрлілігімен таң қалдырады және оның өзі «Тапқырдың бәрі қарапайым!» деген мақалды растайды.
Біраз тарих
Әділ болу үшін, шын мәнінде Паскаль үшбұрышы Еуропада 16 ғасырдың басында белгілі болғанын айту керек. Атап айтқанда, оның бейнесін Ингольштадт университетінің атақты астрономы Питер Апианның арифметика оқулығының мұқабасынан көруге болады. Ұқсас үшбұрыш да иллюстрация ретінде көрсетілген.1303 жылы шыққан қытай математигі Ян Хуэйдің кітабында. Оның қасиеттерін 12 ғасырдың басында тамаша парсы ақыны және философы Омар Хайям да білген. Оның үстіне ол оны араб және үнді ғалымдарының бұрын жазылған трактаттарынан кездестірді деген болжам бар.
Сипаттамасы
Мықтылығымен және қарапайымдылығымен әдемі Паскаль үшбұрышының ең қызықты қасиеттерін зерттемес бұрын оның не екенін білген жөн.
Ғылыми тілмен айтқанда, бұл сандық схема белгілі бір ретпен орналасқан биномдық коэффициенттерден құралған шексіз үшбұрышты кесте болып табылады. Оның үстіңгі жағында және жағында 1 сандары орналасқан. Қалған орындарды олардың үстінде бір-бірінің қасында орналасқан екі санның қосындысына тең сандар алады. Сонымен қатар, Паскаль үшбұрышының барлық сызықтары оның тік осіне қатысты симметриялы.
Негізгі мүмкіндіктер
Паскаль үшбұрышы өзінің жетілгендігімен таң қалдырады. Нөмірленген кез келген жол үшін (n=0, 1, 2…) шын:
- бірінші және соңғы сандар 1;
- екінші және соңғыдан кейінгі - n;
- үшінші сан үшбұрышты санға тең (теңбүйірлі үшбұрышта орналастыруға болатын шеңберлер саны, яғни 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Төртінші сан - тетраэдрлік, яғни табанында үшбұрышы бар пирамида.
Сонымен қатар, салыстырмалы түрде жақында, 1972 жылы Паскаль үшбұрышының тағы бір қасиеті белгіленді. Ол үшінанықтау үшін осы схеманың элементтерін 2 позицияға жолды жылжыту арқылы кесте түрінде жазу керек. Содан кейін жол нөміріне бөлінетін сандарға назар аударыңыз. Барлық сандар ерекшеленген бағанның нөмірі жай сан болып шықты.
Сол трюкті басқа жолмен де жасауға болады. Ол үшін Паскаль үшбұрышында сандар олардың кестедегі жол нөміріне бөлінуінің қалдықтарымен ауыстырылады. Содан кейін сызықтар алынған үшбұрышқа келесісі алдыңғысының бірінші элементінен оңға қарай 2 бағанды бастайтындай етіп орналасады. Сонда жай сандар болатын сандары бар бағандар тек нөлдерден тұрады, ал құрама сандары бар бағандарда кемінде бір нөл болады.
Ньютон биномымен байланыс
Өздеріңіз білетіндей, бұл екі айнымалының қосындысының теріс емес бүтін дәрежесінің терминдеріне кеңейту формуласының атауы, ол келесідей көрінеді:
Олардағы коэффициенттер C m =n мәніне тең! / (m! (n - m)!), мұндағы m - Паскаль үшбұрышының n жолындағы реттік сан. Басқаша айтқанда, осы кестені қолыңызда ұстай отырып, кез келген сандарды алдын ала екі мүшеге ыдыратып, оңай дәрежеге көтеруге болады.
Осылайша, Паскаль үшбұрышы мен Ньютон биномиясы бір-бірімен тығыз байланысты.
Математикалық ғажайыптар
Паскаль үшбұрышын мұқият зерттеу мынаны көрсетеді:
- жолдағы барлық сандардың қосындысысериялық нөмірі n (0-ден санағанда) 2;
- егер сызықтар солға тураланса, Паскаль үшбұрышының диагональдарының бойымен төменнен жоғарыға және солдан оңға қарай орналасқан сандардың қосындысы Фибоначчи сандарына тең болады;
- бірінші "диагональ" реті бойынша натурал сандардан тұрады;
- Паскаль үшбұрышының бірге азайтылған кез келген элементі осы санда қиылысатын сол және оң диагональдармен шектелген параллелограммның ішінде орналасқан барлық сандардың қосындысына тең;
- диаграмманың әрбір жолында жұп жердегі сандардың қосындысы тақ жердегі элементтердің қосындысына тең.
Сьерпинский үшбұрышы
Күрделі есептерді шешу тұрғысынан өте перспективалы осындай қызықты математикалық схема Паскаль тіліндегі кескіннің жұп сандарын бір түске, тақ сандарын басқа түске бояу арқылы алынады.
Сьерпинский үшбұрышын басқа жолмен салуға болады:
- көлеңкеленген Паскаль сұлбасында ортаңғы үшбұрыш басқа түске боялған, ол түпнұсқаның жақтарының ортаңғы нүктелерін қосу арқылы жасалған;
- бұрыштарда орналасқан үш боялмаған бояумен дәл солай жасаңыз;
- процедураны шексіз жалғастырса, нәтиже екі түсті фигура болуы керек.
Сьерпинский үшбұрышының ең қызықты қасиеті - оның өзіне ұқсастығы, өйткені ол оның 2 есе қысқартылған 3 көшірмесінен тұрады. Бұл бізге осы схеманы фракталдық қисықтарға жатқызуға мүмкіндік береді және олар соңғы нұсқада көрсетілгендейзерттеу бұлттарды, өсімдіктерді, өзен атырауларын және ғаламның өзін математикалық модельдеу үшін ең қолайлы.
Бірнеше қызықты тапсырмалар
Паскаль үшбұрышы қайда қолданылады? Оның көмегімен шешуге болатын тапсырмалардың мысалдары әртүрлі және ғылымның әртүрлі салаларына жатады. Кейбір қызықтыларын қарастырайық.
Мәселе 1. Бекініс қабырғасымен қоршалған кейбір үлкен қаланың бір ғана кіретін қақпасы бар. Бірінші қиылыста негізгі жол екіге бөлінеді. Кез келген басқасында да солай болады. Қалаға 210 адам кіреді. Олар кездесетін қиылыстардың әрқайсысында олар екіге бөлінеді. Бөлісу мүмкін болмаған кезде әр қиылыста қанша адам болады. Оның жауабы Паскаль үшбұрышының 10-жолы (коэффицент формуласы жоғарыда берілген), мұнда 210 сандары тік осьтің екі жағында орналасқан.
2-тапсырма. Түстердің 7 атауы бар. Сізге 3 гүл шоғын жасау керек. Мұны неше түрлі жолмен жасауға болатынын анықтау қажет. Бұл мәселе комбинаторика саласына жатады. Оны шешу үшін біз қайтадан Паскаль үшбұрышын қолданамыз және үшінші орында (екі жағдайда да 0-ден бастап нөмірлеу) 7-ші жолға 35 санын аламыз.
Енді сіз ұлы француз философы және ғалымы Блез Паскальдің не ойлап тапқанын білесіз. Оның әйгілі үшбұрышы, дұрыс пайдаланылған кезде, көптеген мәселелерді шешу үшін, әсіресе далада, нағыз құтқарушы бола алады.комбинаторика. Оған қоса, оны фракталдарға қатысты көптеген жұмбақтарды шешу үшін пайдалануға болады.
