Трапеция - бір жұп қабырғасы параллель болатын төртбұрыштың ерекше жағдайы. «Трапеция» термині гректің τράπεζα сөзінен шыққан, «үстел», «үстел» дегенді білдіреді. Бұл мақалада біз трапецияның түрлерін және оның қасиеттерін қарастырамыз. Сонымен қатар, біз осы геометриялық фигураның жеке элементтерін қалай есептеу керектігін анықтаймыз. Мысалы, тең қабырғалы трапеция диагоналы, ортаңғы сызық, аудан және т.б. Материал қарапайым танымал геометрия стилінде, яғни оңай қол жетімді пішінде ұсынылған.
Жалпы ақпарат
Алдымен төртбұрыштың не екенін анықтап алайық. Бұл сурет төрт қабырғасы мен төрт төбесінен тұратын көпбұрыштың ерекше жағдайы болып табылады. Төртбұрыштың көршілес емес екі төбесі қарама-қарсы деп аталады. Көршілес емес екі жақ туралы да солай айтуға болады. Төртбұрыштардың негізгі түрлеріне параллелограмм, тіктөртбұрыш, ромб, шаршы, трапеция жәнедельтоид.
Сонымен, трапецияға оралайық. Жоғарыда айтқанымыздай, бұл фигураның параллель екі жағы бар. Олар негіз деп аталады. Қалған екеуі (параллель емес) тараптар болып табылады. Емтихан материалдарында және әртүрлі сынақтарда трапецияға байланысты тапсырмаларды жиі кездестіруге болады, олардың шешімі көбінесе студенттен бағдарламада қарастырылмаған білімді қажет етеді. Мектептегі геометрия курсы оқушыларды бұрыштар мен диагональдардың қасиеттерімен, сонымен қатар тең қабырғалы трапецияның орта сызығымен таныстырады. Бірақ бұдан басқа, аталған геометриялық фигураның басқа да ерекшеліктері бар. Бірақ олар туралы кейінірек…
Трапецияның түрлері
Бұл фигураның көптеген түрлері бар. Дегенмен, көбіне олардың екеуін – тең қабырғалы және төртбұрышты қарастыру әдеттегідей.
1. Тіктөртбұрышты трапеция деп бір қабырғасы табандарына перпендикуляр болатын фигураны айтады. Оның екі бұрышы әрқашан тоқсан градус.
2. Тең қабырғалы трапеция – қабырғалары бір-біріне тең геометриялық фигура. Бұл негіздердегі бұрыштардың да жұптық тең екенін білдіреді.
Трапецияның қасиеттерін зерттеу техникасының негізгі принциптері
Негізгі принцип – тапсырма әдісі деп аталатын әдісті қолдану. Негізінде бұл фигураның жаңа қасиеттерін геометрияның теориялық курсына енгізудің қажеті жоқ. Оларды әртүрлі мәселелерді шешу процесінде ашуға және тұжырымдауға болады (жүйеліге қарағанда жақсы). Бұл ретте мұғалімнің қандай тапсырмалар қажет екенін білуі өте маңызды.оқу-тәрбие процесінің бір немесе басқа нүктесінде мектеп оқушыларының алдына қою. Сонымен қатар, трапецияның әрбір қасиетін тапсырмалар жүйесінде негізгі тапсырма ретінде көрсетуге болады.
Екінші принцип трапецияның «керемет» қасиеттерін зерттеудің спиральдық ұйымы деп аталады. Бұл оқу процесінде берілген геометриялық фигураның жеке ерекшеліктеріне оралуды білдіреді. Осылайша, студенттерге оларды есте сақтау оңайырақ. Мысалы, төрт нүктенің қасиеті. Оны ұқсастықты зерттеуде де, кейіннен векторлардың көмегімен де дәлелдеуге болады. Ал фигураның қабырғаларына іргелес жатқан үшбұрыштардың тең ауданын бір түзуде жатқан қабырғаларына түсірілген биіктіктері бірдей үшбұрыштардың қасиеттерін қолдану арқылы ғана емес, сонымен қатар S=1/ формуласын қолдану арқылы дәлелдеуге болады. 2(absinα). Бұған қоса, сызылған трапециядағы синустар теоремасын немесе сызылған трапециядағы тікбұрышты үшбұрышты және т.б. есептей аласыз.
Геометриялық фигураның «сыныптан тыс» ерекшеліктерін мектеп курсының мазмұнында пайдалану оларды оқытудың тапсырма технологиясы болып табылады. Басқа тақырыптарды өткенде зерттелетін қасиеттерге үнемі жүгіну студенттерге трапеция туралы терең білім алуға мүмкіндік береді және тапсырмаларды сәтті шешуді қамтамасыз етеді. Ендеше, осы тамаша фигураны зерттеуді бастайық.
Тең қабырғалы трапецияның элементтері мен қасиеттері
Бұған дейін атап өткеніміздей, бұл геометриялық фигураның қабырғалары тең. Оны дұрыс трапеция деп те атайды. Неліктен бұл таңқаларлық және неге мұндай атау алды?Бұл фигураның ерекшеліктеріне негіздердегі бүйірлер мен бұрыштардың ғана емес, сонымен қатар диагональдардың тең болуы жатады. Сондай-ақ тең қабырғалы трапецияның бұрыштарының қосындысы 360 градусқа тең. Бірақ бұл бәрі емес! Барлық белгілі трапециялардың ішінен тек тең қабырғасының айналасында шеңберді сипаттауға болады. Бұл бұл фигураның қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180 градус болатындығына байланысты және тек осы шартта төртбұрыштың айналасында шеңберді сипаттауға болады. Қарастырылып отырған геометриялық фигураның келесі қасиеті мынада: негізгі төбеден қарама-қарсы төбенің осы негізді қамтитын сызыққа проекциясына дейінгі қашықтық ортаңғы сызыққа тең болады.
Енді тең қабырғалы трапецияның бұрыштарын қалай табуға болатынын анықтайық. Фигураның жақтарының өлшемдері белгілі болған жағдайда бұл мәселені шешуді қарастырыңыз.
Шешім
Әдетте төртбұрыш әдетте A, B, C, D әріптерімен белгіленеді, мұнда BS және AD негіз болып табылады. Тең қабырғалы трапецияда қабырғалары тең. Біз олардың өлшемі X, ал негіздердің өлшемдері Y және Z (сәйкесінше кішірек және үлкенірек) деп есептейміз. Есептеуді жүзеге асыру үшін В бұрышынан H биіктігін салу керек. Нәтижесінде ABN тік бұрышты үшбұрыш пайда болады, мұнда AB гипотенузасы, ал BN және AN - катеттері. Біз AN аяғының өлшемін есептейміз: үлкен негізден кішісін алып, нәтижені 2-ге бөлеміз. Біз оны формула түрінде жазамыз: (Z-Y) / 2 \u003d F. Енді, есептеу үшін үшбұрыштың сүйір бұрышы үшін cos функциясын қолданамыз. Біз келесі жазбаны аламыз: cos(β)=Х/F. Енді бұрышты есептейміз: β=arcos (Х/F). Әрі қарай, бір бұрышты біле отырып, біз және анықтай аламызекіншіден, ол үшін элементар арифметикалық амалды орындаймыз: 180 - β. Барлық бұрыштар анықталған.
Бұл мәселенің екінші шешімі де бар. Бастапқыда біз B бұрышынан H биіктігін төмендетеміз. BN аяғының мәнін есептейміз. Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең екенін білеміз. Біз аламыз: BN \u003d √ (X2-F2). Әрі қарай tg тригонометриялық функциясын қолданамыз. Нәтижесінде бізде: β=arctg (BN / F). Өткір бұрыш табылды. Содан кейін бірінші әдіске ұқсас доғал бұрышты анықтаймыз.
Тең қабырғалы трапецияның диагональдарының қасиеті
Алдымен төрт ережені жазып алайық. Егер тең қабырғалы трапециядағы диагональдар перпендикуляр болса, онда:
- фигураның биіктігі негіздердің қосындысы екіге бөлінгенге тең болады;
- оның биіктігі мен ортаңғы сызығы тең;
- трапеция ауданы биіктік квадратына тең болады (ортаңғы сызық, табандардың қосындысының жартысы);
- диагональ квадраты негіздер қосындысының жарты квадратына немесе орта сызықтың (биіктік) екі есе квадратына тең.
Енді тең қабырғалы трапецияның диагоналін анықтайтын формулаларды қарастырыңыз. Бұл ақпарат блогын шартты түрде төрт бөлікке бөлуге болады:
1. Қабырғалары бойынша диагональ ұзындығының формуласы.
А – төменгі табан, В – үстіңгі табан, С – қабырғалары тең, D – диагональ деп қабылдаймыз. Бұл жағдайда ұзындықты келесідей анықтауға болады:
D=√(C2+AB).
2. Косинус теоремасы бойынша диагональ ұзындығының формулалары.
А - төменгі табан, В - үстіңгі табан, C - тең қабырғалар, D - диагональ, α (төменгі негізде) және β (жоғарғы негізде)- трапеция бұрыштары. Біз диагональ ұзындығын есептей алатын келесі формулаларды аламыз:
- D=√(A2+C2-2ACcosα);
- D=√(A2+C2-2ACcosβ);
- D=√(B2+C2-2BCcosβ);
- D=√(B2+C2-2BCcosα).
3. Тең қабырғалы трапеция диагональдарының ұзындығына арналған формулалар.
А - төменгі табан, В - жоғарғы табан, D - диагональ, M - ортаңғы сызық, H - биіктік, P - трапеция ауданы, α және β диагональдар арасындағы бұрыштар. Ұзындықты келесі формулалар арқылы анықтаңыз:
- D=√(M2+H2);
- D=√(H2+(A+B)2/4);
- D=√(N(A+B)/sinα)=√(2P/sinα)=√(2MN/sinα).
Бұл жағдайда теңдік дұрыс: sinα=sinβ.
4. Бүйірлері мен биіктігі бойынша диагональ ұзындығына арналған формулалар.
А - төменгі табан, В - үстіңгі табан, C - қабырғалар, D - диагональ, H - биіктік, α - төменгі табандағы бұрыш деп қабылдаймыз.
Келесі формулалар арқылы ұзындықты анықтаңыз:
- D=√(Н2+(А-Рctgα)2);
- D=√(Н2+(В+Рctgα)2);
- D=√(A2+C2-2A√(C2-H2)).
Тік бұрышты трапецияның элементтері мен қасиеттері
Осы геометриялық фигура не қызық екенін көрейік. Жоғарыда айтқанымыздай, төртбұрышты трапецияның екі тік бұрышы болады.
Классикалық анықтамадан басқа басқалары бар. Мысалы, тік бұрышты трапеция – бір жағы табандарына перпендикуляр болатын трапеция. Немесе бүйірінде тік бұрыштары бар фигура. Бұлтрапеция түрі, биіктігі негіздерге перпендикуляр болатын жағына тең. Медиандық сызық - екі жақтың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді. Көрсетілген элементтің қасиеті - ол негіздерге параллель және олардың қосындысының жартысына тең.
Енді осы геометриялық фигураны анықтайтын негізгі формулаларды қарастырайық. Ол үшін А және В негіз деп есептейміз; C (негіздерге перпендикуляр) және D - тікбұрышты трапецияның қабырғалары, M - орта сызық, α - сүйір бұрыш, P - ауданы.
1. Негіздерге перпендикуляр бүйір жағы фигураның биіктігіне тең (C \u003d H) және екінші жағының D ұзындығы мен үлкенірек табаны бар α бұрышының синусының көбейтіндісіне тең (C \u003d Dsin α). Сонымен қатар ол сүйір бұрыштың жанамасының α және табандардың айырмасының көбейтіндісіне тең: С=(А-Б)tgα.
2. D бүйір жағы (негіздерге перпендикуляр емес) сүйір бұрыштың А мен В косинусының (α) айырмасының бөліндісіне немесе Н фигурасының биіктігі мен сүйір бұрыштың синусының бөліміне тең.: D \u003d (A-B) / cos α \u003d C / sin α.
3. Негіздерге перпендикуляр болатын бүйір жағы D квадратының айырмасының квадрат түбірі - екінші қабырғасы - және табандар айырмасының квадратына тең:
C=√(D2-(A-B)2).
4. Тік бұрышты трапецияның D қабырғасы С қабырғасының квадратының қосындысының квадрат түбірі мен геометриялық фигураның табандарының айырмасының квадратына тең: D=√(C2+(A-B)2).
5. C бүйір жағы қосарланған аумақты оның табандарының қосындысына бөлу коэффициентіне тең: C \u003d P / M \u003d 2P / (A + B).
6. Аудан M көбейтіндісі арқылы анықталады (тікбұрышты трапецияның ортаңғы сызығы) және биіктігі немесежағы, негіздеріне перпендикуляр: P \u003d MN \u003d MS.
7. С жағы фигураның екі еселенген ауданын сүйір бұрыштың синусының көбейтіндісіне және оның табандарының қосындысына бөлу коэффициентіне тең: C \u003d P / Msinα \u003d 2P / ((A + B)sinα).
8. Тік бұрышты трапецияның бүйір қабырғасының оның диагональдары мен олардың арасындағы бұрыш бойынша формулалары:
- sinα=sinβ;
- S=(D1D2/(A+B))sinα=(D1D2/(A+B))sinβ, мұндағы D1 және D2 трапецияның диагональдары; α және β – олардың арасындағы бұрыштар.
9. Төменгі негіздегі және басқа жақтардағы бұрыш арқылы бүйірлік бүйірлік формулалар: D \u003d (A-B) / cosα \u003d C / sinα \u003d H / sinα.
Тік бұрышы бар трапеция трапецияның ерекше жағдайы болғандықтан, бұл фигураларды анықтайтын қалған формулалар да тікбұрыштыға сәйкес келеді.
Ішілген шеңбердің қасиеттері
Егер шарт шеңбердің тікбұрышты трапецияға сызылғанын айтса, онда келесі қасиеттерді пайдалануға болады:
- негіздердің қосындысы тараптардың қосындысына тең;
- тікбұрышты фигураның төбесінен сызылған шеңбердің жанасу нүктелеріне дейінгі қашықтық әрқашан тең;
- трапецияның биіктігі бүйір жағына, табандарына перпендикуляр және шеңбердің диаметріне тең;
- шеңбердің центрі бұрыш биссектрисаларының қиылысу нүктесі;
- егер бүйір жағы жанасу нүктесі бойынша H және M сегменттеріне бөлінсе, онда шеңбердің радиусы осы кесінділердің көбейтіндісінің квадрат түбіріне тең болады;
- жанама нүктелерден, трапеция төбесінен және сызылған шеңбердің центрінен құрылған төртбұрышқабырғасы радиусқа тең шаршы;
- фигураның ауданы негіздердің көбейтіндісіне және негіздердің жартысы мен биіктігінің қосындысының көбейтіндісіне тең.
Ұқсас трапеция
Бұл тақырып осы геометриялық фигураның қасиеттерін зерттеуге өте ыңғайлы. Мысалы, диагональдар трапецияны төрт үшбұрышқа бөледі, ал табандарына іргелес жатқандары ұқсас, ал қабырғаларына іргелес жатқандары тең. Бұл мәлімдемені трапеция диагональдары бойынша бөлетін үшбұрыштардың қасиеті деп атауға болады. Бұл бекітудің бірінші бөлігі екі бұрыштағы ұқсастық критерийі арқылы дәлелденеді. Екінші бөлімді дәлелдеу үшін төмендегі әдісті қолданған дұрыс.
Теореманың дәлелі
ABSD фигурасы (AD және BS трапецияның табандары) VD және AC диагональдарына бөлінгенін қабылдаймыз. Олардың қиылысу нүктесі – O. Біз төрт үшбұрыш аламыз: AOS – төменгі табанында, BOS – жоғарғы табанында, ABO және SOD жағында. SOD және BOS үшбұрыштарының ортақ биіктігі бар, егер BO және OD кесінділері олардың табандары болса. Біз олардың аудандарының арасындағы айырмашылық (P) осы сегменттер арасындағы айырмашылыққа тең екенін аламыз: PBOS / PSOD=BO / OD=K. Демек, PSOD=PBOS / K. Сол сияқты, BOS және AOB үшбұрыштарының ортақ биіктігі бар. Біз олардың негізі ретінде CO және OA сегменттерін аламыз. Біз PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K және PAOB \u003d PBOS / K аламыз. Осыдан PSOD=PAOB шығады.
Материалды бекіту үшін оқушыларға трапеция диагональдары бойынша бөлінген алынған үшбұрыштардың аудандары арасындағы байланысты келесі есепті шешу арқылы табу ұсынылады. Бұл белгіліBOS және AOD үшбұрыштарының аудандары тең, трапецияның ауданын табу керек. PSOD \u003d PAOB болғандықтан, бұл PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2PSOD дегенді білдіреді. BOS және AOD үшбұрыштарының ұқсастығынан BO / OD=√ (PBOS / PAOD) шығатыны шығады. Демек, PBOS/PSOD=BO/OD=√(PBOS/PAOD). Біз PSOD=√ (PBOSPAOD) аламыз. Содан кейін PABSD=PBOS+PAOD+2√(PBOSPAOD)=(√PBOS+√PAOD)2.
Ұқсас сипаттар
Бұл тақырыпты дамытуды жалғастыра отырып, біз трапециялардың басқа да қызықты ерекшеліктерін дәлелдей аламыз. Сонымен, ұқсастықты пайдалана отырып, осы геометриялық фигураның табандарына параллель, диагональдарының қиылысуынан пайда болған нүкте арқылы өтетін кесіндінің қасиетін дәлелдеуге болады. Ол үшін келесі есепті шығарамыз: О нүктесі арқылы өтетін ҚР кесіндісінің ұзындығын табу керек. АОД және БОС үшбұрыштарының ұқсастығынан AO/OS=AD/BS шығады. AOP және ASB үшбұрыштарының ұқсастығынан AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD) болатыны шығады. Осы жерден біз RO \u003d BSAD / (BS + AD) аламыз. Сол сияқты, DOK және DBS үшбұрыштарының ұқсастығынан OK \u003d BSAD / (BS + AD) шығады. Осыдан RO=OK және RK=2BSAD/(BS+AD) мәнін аламыз. Диагональдардың қиылысу нүктесінен өтетін, табандарына параллель және екі қабырғасын қосатын кесінді қиылысу нүктесіне екіге бөлінеді. Оның ұзындығы фигураның табандарының гармоникалық ортасы.
Трапецияның келесі қасиетін қарастырайық, ол төрт нүктенің қасиеті деп аталады. Диагональдардың (О) қиылысу нүктелері, қабырғалардың (Е) жалғастарының қиылысулары, сондай-ақ табандардың ортаңғы нүктелері (T және W) әрқашан бір түзудің бойында жатады. Бұл ұқсастық әдісі арқылы оңай дәлелденеді. Алынған BES және AED үшбұрыштары ұқсас және inолардың әрқайсысы ET және EZH медианалары Е төбесіндегі бұрышты тең бөліктерге бөледі. Демек, E, T және W нүктелері бір түзудің бойында жатыр. Сол сияқты T, O, G нүктелері бір түзудің бойында орналасқан. Осының барлығы BOS және AOD үшбұрыштарының ұқсастығынан туындайды. Бұдан біз барлық төрт нүкте - E, T, O және W - бір түзуде болады деген қорытындыға келдік.
Ұқсас трапецияларды пайдалана отырып, оқушыларға фигураны екі ұқсас кесіндіге бөлетін кесіндінің ұзындығын (LF) табуды ұсынуға болады. Бұл сегмент негіздерге параллель болуы керек. Алынған ALFD және LBSF трапециялары ұқсас болғандықтан, BS/LF=LF/AD болады. Бұдан LF=√(BSBP) болатыны шығады. Біз трапецияны екі ұқсас кесіндіге бөлетін кесіндінің ұзындығы фигураның табандарының ұзындықтарының геометриялық ортасына тең екенін аламыз.
Келесі ұқсастық қасиетін қарастырыңыз. Ол трапецияны екі бірдей өлшемді фигураға бөлетін сегментке негізделген. Біз трапеция ABSD EN кесіндісі бойынша екі ұқсасқа бөлінгенін қабылдаймыз. В шыңынан EH сегментімен екі бөлікке - B1 және B2 бөлетін биіктік алынып тасталады. Біз аламыз: PABSD / 2 \u003d (BS + EH)B1 / 2 \u003d (AD + EH)B2 / 2 және PABSD \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / 2. Әрі қарай, біз бірінші теңдеуі (BS + EH)B1 \u003d (AD + EH)B2 және екіншісі (BS + EH)B1 \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / болатын жүйені құрамыз. 2. Бұдан B2/ B1=(BS+EN)/(AD+EN) және BS+EN=((BS+AD)/2)(1+B2/ B1) болатыны шығады. Біз трапецияны екі тең бөлікке бөлетін кесіндінің ұзындығы табандарының ұзындығының орташа түбір квадратына тең екенін аламыз: √((BS2+AD2)/2).
Ұқсастық туралы қорытындылар
Осылайша, біз мынаны дәлелдедік:
1. Трапецияның бүйір жақтарының ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді AD және BS-ке параллель және оған теңBS және BP арифметикалық ортасы (трапеция табанының ұзындығы).
2. AD және BS параллель диагональдардың қиылысуының О нүктесі арқылы өтетін түзу AD және BS сандарының гармоникалық ортасына тең болады (2BSAD/(BS+AD)).
3. Трапецияның ұқсас бөліктерге бөлетін кесіндісі BS және AD негіздерінің геометриялық ортасының ұзындығына ие.
4. Фигураны тең екіге бөлетін элементте AD және BS орташа квадрат сандарының ұзындығы бар.
Материалды бекіту және қарастырылатын кесінділер арасындағы байланысты түсіну үшін студент оларды белгілі бір трапеция үшін салу керек. Ол ортаңғы сызықты және О нүктесі арқылы өтетін кесіндіні – фигураның диагональдарының қиылысын – табандарына параллельді оңай бейнелей алады. Бірақ үшінші және төртінші қайда болады? Бұл жауап студентті орташа мәндер арасындағы қажетті қатынасты табуға жетелейді.
Трапецияның диагональдарының ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді
Осы фигураның келесі қасиетін қарастырыңыз. MH кесіндісі табандарына параллель және диагональдарды екіге бөлетінін қабылдаймыз. Қиылысу нүктелерін W және W деп атаймыз. Бұл кесінді табандарының жарты айырымы болады. Мұны толығырақ талдап көрейік. MSH - ABS үшбұрышының ортаңғы сызығы, ол BS / 2-ге тең. MS – ABD үшбұрышының ортаңғы сызығы, ол AD/2-ге тең. Сонда біз ShSh=MSh-MSh аламыз, сондықтан ShSh=AD/2-BS/2=(AD+VS)/2.
Ауырлық орталығы
Берілген геометриялық фигура үшін бұл элемент қалай анықталғанын қарастырайық. Ол үшін негіздерді қарама-қарсы бағытта ұзарту қажет. Бұл нені білдіреді? Төменгі негізді үстіңгі негізге қосу керек - ішкеекі жағында, мысалы, оң жақта. Ал төменгі жағы үстіңгі жағының ұзындығына солға қарай ұзартылады. Әрі қарай, біз оларды диагональмен байланыстырамыз. Бұл кесіндінің фигураның ортаңғы сызығымен қиылысу нүктесі трапецияның ауырлық центрі болып табылады.
Ішілген және сызылған трапециялар
Осындай фигуралардың ерекшеліктерін атап өтейік:
1. Трапеция тек тең қабырғалы болса ғана шеңберге сызылуы мүмкін.
2. Трапецияны шеңбер бойымен сипаттауға болады, егер олардың табандарының ұзындықтарының қосындысы қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына тең болса.
Жазылған шеңбердің салдары:
1. Шектелген трапецияның биіктігі әрқашан екі радиусқа тең.
2. Шеңбердің ортасынан тік бұрышпен шектелген трапецияның бүйір жағы байқалады.
Бірінші нәтиже анық, бірақ екіншісін дәлелдеу үшін SOD бұрышының дұрыс екенін анықтау қажет, бұл да қиын болмайды. Бірақ бұл сипатты білу есептерді шешу кезінде тік бұрышты үшбұрышты пайдалануға мүмкіндік береді.
Енді біз бұл салдарды шеңберге сызылған тең қабырғалы трапеция үшін көрсетеміз. Биіктігі фигураның табандарының геометриялық ортасы екенін аламыз: H=2R=√(BSAD). Трапецияға есептер шығарудың негізгі әдістемесін (екі биіктіктің сызу принципі) жаттықтыра отырып, студент келесі тапсырманы шешуі керек. Біз BT ABSD тең қабырғалы фигураның биіктігі деп қабылдаймыз. AT және TD сегменттерін табу керек. Жоғарыдағы формуланы пайдалану қиын болмауы керек.
Енді сызылған трапеция ауданын пайдаланып шеңбердің радиусын қалай анықтау керектігін анықтайық. В шыңынан түсубиіктігі қан қысымының негізіне дейін. Шеңбер трапецияға жазылғандықтан, BS + AD \u003d 2AB немесе AB \u003d (BS + AD) / 2. ABN үшбұрышынан sinα=BN / AB=2BN / (BS + AD) табамыз. PABSD \u003d (BS + AD)BN / 2, BN \u003d 2R. Біз PABSD \u003d (BS + AD)R аламыз, бұл R \u003d PABSD / (BS + AD).
Трапецияның ортаңғы сызығының барлық формулалары
Енді осы геометриялық фигураның соңғы элементіне көшу уақыты келді. Трапецияның ортаңғы сызығы (M) неге тең екенін анықтайық:
1. Негіздер арқылы: M=(A+B)/2.
2. Биіктік, негіз және бұрыштар арқылы:
• M=A-H(ctgα+ctgβ)/2;
• M=B+N(ctgα+ctgβ)/2.
3. Биіктік, диагональдар және олардың арасындағы бұрыш арқылы. Мысалы, D1 және D2 трапецияның диагональдары; α, β - олардың арасындағы бұрыштар:
M=D1D2sinα/2N=D1D2sinβ/2N.
4. Ауданы мен биіктігі бойынша: M=P / N.
