Матрицалар: Гаусс әдісі. Гаусс матрицасын есептеу: Мысалдар

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Университеттерде әртүрлі мамандықтар бойынша оқытылатын сызықтық алгебра көптеген күрделі тақырыптарды біріктіреді. Олардың кейбіреулері матрицаларға, сонымен қатар сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс және Гаусс-Джордан әдістерімен шешуге қатысты. Бұл тақырыптарды, әртүрлі есептерді шешу алгоритмдерін барлық студенттер түсіне бермейді. Гаусс пен Гаусс-Джорданның матрицалары мен әдістерін бірге түсінейік.

Негізгі ұғымдар

Сызықтық алгебрадағы матрица элементтердің тікбұрышты массиві (кесте). Төменде жақшаға алынған элементтер жиыны берілген. Бұл матрицалар. Жоғарыда келтірілген мысалдан тікбұрышты массивтердегі элементтер тек сандар ғана емес екенін көруге болады. Матрица математикалық функциялардан, алгебралық белгілерден тұруы мүмкін.

Кейбір ұғымдарды түсіну үшін a_ij элементтерінен А матрицасын құрастырайық. Индекстер жай әріптер емес: i - кестедегі жолдың нөмірі, j - элемент орналасқан қиылысу аймағындағы бағанның нөміріa_ij. Сонымен, бізде a₁₁, a₂₁, a₁₂, a сияқты элементтер матрицасы бар екенін көреміз. ₂₂ және т.б.. n әрпі бағандар санын, ал m әрпі жолдар санын білдіреді. m × n таңбасы матрицаның өлшемін білдіреді. Бұл элементтердің тікбұрышты массивіндегі жолдар мен бағандардың санын анықтайтын тұжырымдама.

Міндетті түрде матрицада бірнеше бағандар мен жолдар болуы керек. 1 × n өлшемімен элементтер массиві бір жолды, ал m × 1 өлшемімен ол бір бағаналы массив болып табылады. Жолдар саны мен бағандар саны тең болған кезде матрица шаршы деп аталады. Әрбір шаршы матрицаның анықтауышы болады (дет А). Бұл термин A матрицасына тағайындалған санды білдіреді.

Матрицаларды сәтті шешу үшін есте сақтау керек тағы бірнеше маңызды ұғымдар негізгі және қосымша диагоналдар болып табылады. Матрицаның негізгі диагоналы кестенің жоғарғы сол жақ бұрышынан оң жақ бұрышына түсетін диагональ болып табылады. Бүйірлік диагональ төменнен сол жақ бұрыштан жоғары оң жақ бұрышқа жылжиды.

Қадамды матрицалық көрініс

Төмендегі суретке қараңыз. Онда сіз матрица мен диаграмманы көресіз. Алдымен матрицамен айналысайық. Сызықтық алгебрада мұндай матрица қадамдық матрица деп аталады. Оның бір қасиеті бар: егер a_ij i-ші жолдағы бірінші нөл емес элемент болса, онда төмендегі және a_{ij матрицасының сол жағындағы барлық басқа элементтер.} , нөл (яғни, a_kl әріптік белгісі берілуі мүмкін барлық элементтер, мұнда k>i жәнеl<j).

Енді диаграмманы қарастырыңыз. Ол матрицаның сатылы түрін көрсетеді. Схемада ұяшықтардың 3 түрі көрсетілген. Әрбір түр белгілі бір элементтерді білдіреді:

• бос ұяшықтар - матрицаның нөлдік элементтері;
• көлеңкеленген ұяшықтар нөлдік және нөлдік емес болуы мүмкін ерікті элементтер;
• қара шаршылар нөлдік емес элементтер болып табылады, олар бұрыштық элементтер, «қадамдар» деп аталады (олардың жанында көрсетілген матрицада мұндай элементтер –1, 5, 3, 8 сандары болып табылады).

Матрицаларды шешу кезінде кейде нәтиже қадамның «ұзындығы» 1-ден үлкен болады. Бұған рұқсат етіледі. Тек қадамдардың «биіктігі» маңызды. Қадамдық матрицада бұл параметр әрқашан біреуге тең болуы керек.

Матрицаны қадамдық пішінге келтіру

Кез келген тікбұрышты матрицаны сатылы пішінге түрлендіруге болады. Бұл элементар түрлендірулер арқылы жүзеге асады. Оларға мыналар кіреді:

• жолдарды қайта реттеу;
• Бір жолға басқа жолды қосу, қажет болса кейбір санға көбейту (алу амалын орындауға да болады).

Нақты есепті шешуде элементар түрлендірулерді қарастырайық. Төмендегі суретте A матрицасы көрсетілген, оны сатылы пішінге келтіру керек.

Мәселені шешу үшін біз алгоритмді орындаймыз:

• Матрицада түрлендірулерді орындау ыңғайлыжоғарғы сол жақ бұрыштағы бірінші элемент (яғни, «жетекші» элемент) 1 немесе -1. Біздің жағдайда, жоғарғы жолдағы бірінші элемент 2, сондықтан бірінші және екінші жолдарды ауыстырайық.
• 2, 3 және 4-жолдарға әсер ететін азайту амалдарын орындайық. Бірінші бағандағы «жетекші» элементтің астындағы нөлдерді алуымыз керек. Бұл нәтижеге жету үшін: No 2 жолдың элементтерінен 2-ге көбейтілген No 1 жолдың элементтерін ретімен шегереміз; No 3 жолдың элементтерінен 4-ке көбейтілген No 1 жолдың элементтерін ретімен шегереміз; №4 жолдың элементтерінен №1 жолдың элементтерін ретімен шегереміз.
• Келесі, біз қысқартылған матрицамен жұмыс істейміз (№1 бағансыз және №1 жолсыз). Екінші баған мен екінші жолдың қиылысында тұрған жаңа «жетекші» элемент -1-ге тең. Жолдарды қайта реттеудің қажеті жоқ, сондықтан біз бірінші бағанды және бірінші және екінші жолдарды өзгеріссіз қайта жазамыз. «Жетекші» элементтің астындағы екінші бағандағы нөлдерді алу үшін алу амалдарын орындайық: үшінші жолдың элементтерінен 3-ке көбейтілген екінші жолдың элементтерін ретімен шегереміз; төртінші жолдың элементтерінен 2-ге көбейтілген екінші жолдың элементтерін алып тастаңыз.
• Соңғы жолды өзгерту қалды. Оның элементтерінен үшінші қатардағы элементтерді кезекпен алып тастаймыз. Осылайша біз сатылы матрицаны алдық.

Матрицаларды сатылы түрге келтіру Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін (SLE) шешуде қолданылады. Бұл әдісті қарастырмас бұрын, SLN-ге қатысты кейбір терминдерді түсініп алайық.

Матрицалар мен сызықтық теңдеулер жүйесі

Матрицалар әртүрлі ғылымдарда қолданылады. Сандар кестелерін пайдалана отырып, мысалы, жүйеге біріктірілген сызықтық теңдеулерді Гаусс әдісі арқылы шешуге болады. Алдымен, бірнеше терминдермен және олардың анықтамаларымен танысайық, сонымен қатар бірнеше сызықтық теңдеулерді біріктіретін жүйеден матрица қалай құрылатынын көрейік.

SLU – бірінші қуаты белгісіз және туынды мүшелері жоқ бірнеше біріктірілген алгебралық теңдеулер.

SLE шешімі – жүйедегі теңдеулер сәйкестендіруге айналатын белгісіздердің табылған мәндері.

Бірлескен SLE – кемінде бір шешімі бар теңдеулер жүйесі.

Сәйкес емес SLE - шешімі жоқ теңдеулер жүйесі.

Сызықтық теңдеулерді біріктіретін жүйе негізінде матрица қалай құрылады? Жүйенің негізгі және кеңейтілген матрицалары сияқты ұғымдар бар. Жүйенің негізгі матрицасын алу үшін кестеге белгісіздер үшін барлық коэффициенттерді қою керек. Кеңейтілген матрица негізгі матрицаға бос терминдер бағанасын қосу арқылы алынады (ол жүйедегі әрбір теңдеу теңестірілетін белгілі элементтерді қамтиды). Төмендегі суретті зерделеу арқылы осы процесті толық түсінуге болады.

Суретте біз бірінші кезекте сызықтық теңдеулерді қамтитын жүйені көреміз. Оның элементтері: a_ij – сандық коэффициенттер, x_j – белгісіз мәндер, b_i – тұрақты мүшелер (мұндағы i=1, 2, …, m және j=1, 2, …, n). Суреттегі екінші элемент коэффициенттердің негізгі матрицасы болып табылады. Әрбір теңдеуден коэффициенттер қатарға жазылады. Нәтижесінде жүйеде теңдеулер қанша болса, матрицада сонша жол бар. Бағандар саны кез келген теңдеудегі коэффициенттердің ең үлкен санына тең. Суреттегі үшінші элемент - бос шарттар бағанасы бар кеңейтілген матрица.

Гаусс әдісі туралы жалпы ақпарат

Сызықтық алгебрада Гаусс әдісі SLE шешудің классикалық әдісі болып табылады. Ол 18-19 ғасырларда өмір сүрген Карл Фридрих Гаусстың есімімен аталады. Бұл барлық уақыттағы ең ұлы математиктердің бірі. Гаусс әдісінің мәні сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінде элементар түрлендірулерді орындау болып табылады. Трансформациялардың көмегімен SLE барлық айнымалы мәндерді табуға болатын үшбұрышты (сатылы) түрдегі эквивалентті жүйеге келтіріледі.

Айта кетейік, Карл Фридрих Гаусс сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің классикалық әдісін ашушы емес. Бұл әдіс әлдеқайда ертерек ойлап табылған. Оның алғашқы сипаттамасы «9 кітаптағы математика» деп аталатын ежелгі қытай математиктерінің білім энциклопедиясында кездеседі.

SLE-ны Гаусс әдісімен шешудің мысалы

Нақты мысалда жүйелерді Гаусс әдісімен шешуді қарастырайық. Біз суретте көрсетілген SLU-мен жұмыс істейміз.

Шешу алгоритмі:

1. Гаусс әдісінің тікелей қозғалысы арқылы жүйені сатылы пішінге келтіреміз, бірақ алдыменбіз сандық коэффициенттер мен бос мүшелердің кеңейтілген матрицасын жасаймыз.
2. Матрицаны Гаусс әдісімен шешу үшін (яғни оны сатылы пішінге келтіру) екінші және үшінші жолдың элементтерінен бірінші жолдың элементтерін ретімен шегереміз. Бірінші бағандағы «жетекші» элементтің астындағы нөлдерді аламыз. Әрі қарай ыңғайлы болу үшін екінші және үшінші жолдарды орындарда өзгертеміз. Соңғы жолдың элементтеріне 3-ке көбейтілген екінші жолдың элементтерін ретімен қосыңыз.
3. Матрицаны Гаусс әдісімен есептеу нәтижесінде элементтердің сатылы массивін алдық. Оның негізінде біз жаңа сызықтық теңдеулер жүйесін құрастырамыз. Гаусс әдісінің кері бағыты бойынша біз белгісіз мүшелердің мәндерін табамыз. Соңғы сызықтық теңдеуден x₃ 1-ге тең екенін көруге болады. Бұл мәнді жүйенің екінші жолына ауыстырамыз. Сіз x₂ – 4=–4 теңдеуін аласыз. Бұдан x₂ 0 болатыны шығады. Жүйенің бірінші теңдеуіне x₂ және x₃ ауыстырыңыз: x1 _{+ 0 +3=2. Белгісіз термин -1.}

Жауап: матрицаны, Гаусс әдісін пайдаланып, белгісіздердің мәндерін таптық; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Гаусс-Джордан әдісі

Сызықтық алгебрада Гаусс-Джордан әдісі сияқты нәрсе де бар. Ол Гаусс әдісінің модификациясы болып саналады және кері матрицаны табу, алгебралық сызықтық теңдеулер квадрат жүйесінің белгісіз мүшелерін есептеу үшін қолданылады. Гаусс-Джордан әдісі ыңғайлы, өйткені ол SLE-ді бір қадаммен шешуге мүмкіндік береді (тікелей және кері әдістерді қолданбай).жылжытады).

«Кері матрица» терминінен бастайық. Бізде А матрицасы бар делік. Оған кері мән A^-1 матрицасы болады, ал шарт міндетті түрде орындалса: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, яғни бұл матрицалардың көбейтіндісі сәйкестік матрицаға тең (сәйкестік матрицаның негізгі диагоналінің элементтері бір, ал қалған элементтері нөлге тең).}

Маңызды нюанс: сызықтық алгебрада кері матрицаның бар екендігі туралы теорема бар. A^-1 матрицасының бар болуының жеткілікті және қажетті шарты А матрицасының дара емес болуы болып табылады.

Гаусс-Джордан әдісі негізделген негізгі қадамдар:

1. Нақты матрицаның бірінші жолын қараңыз. Егер бірінші мән нөлге тең болмаса, Гаусс-Джордан әдісін бастауға болады. Егер бірінші орын 0 болса, бірінші элемент нөлдік емес мәнге ие болатындай жолдарды ауыстырыңыз (санның біреуге жақын болғаны жөн).
2. Бірінші жолдың барлық элементтерін бірінші санға бөліңіз. Бір жолдан басталатын жолды аяқтайсыз.
3. Екінші жолдан екінші жолдың бірінші элементіне көбейтілген бірінші жолды алып тастаңыз, яғни соңында нөлден басталатын жолды аласыз. Қалған жолдар үшін де солай жасаңыз. Диагональ бойынша 1 алу үшін әрбір жолды нөлден басқа бірінші элементіне бөліңіз.
4. Нәтижесінде Гаусс - Джордан әдісі арқылы жоғарғы үшбұрышты матрицаны аласыз. Онда негізгі диагональ бірліктермен берілген. Төменгі бұрыш нөлдермен толтырылады, жәнежоғарғы бұрыш - әртүрлі мәндер.
5. Соңғы жолдан қажетті коэффициентке көбейтілген соңғы жолды алып тастаңыз. Сіз нөлдер мен бір жолды алуыңыз керек. Қалған жолдар үшін бірдей әрекетті қайталаңыз. Барлық түрлендірулерден кейін сәйкестік матрицасы алынады.

Гаусс-Джордан әдісі арқылы кері матрицаны табу мысалы

Кері матрицаны есептеу үшін кеңейтілген A|E матрицасын жазып, қажетті түрлендірулерді орындау керек. Қарапайым мысалды қарастырайық. Төмендегі суретте A матрицасы көрсетілген.

Шешімі:

1. Біріншіден, Гаусс әдісі арқылы матрица анықтаушысын табайық (дет A). Егер бұл параметр нөлге тең болмаса, онда матрица ерекше емес болып саналады. Бұл А-да міндетті түрде A^-1 бар деген қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Анықтаушыны есептеу үшін элементар түрлендірулер арқылы матрицаны сатылы түрге түрлендіреміз. Жол ауыстырулар санына тең K санын есептейік. Біз жолдарды тек 1 рет ауыстырдық. Анықтаушыны есептейік. Оның мәні негізгі диагональ элементтерінің көбейтіндісіне (–1)^K көбейтіндісіне тең болады. Есептеу нәтижесі: det A=2.
2. Бастапқы матрицаға сәйкестік матрицасын қосу арқылы кеңейтілген матрицаны құрастырыңыз. Алынған элементтер массиві кері матрицаны Гаусс-Джордан әдісімен табу үшін пайдаланылады.
3. Бірінші жолдағы бірінші элемент біреуге тең. Бұл бізге сәйкес келеді, өйткені сызықтарды қайта орналастырудың және берілген жолды қандай да бір санға бөлудің қажеті жоқ. Жұмысты бастайықекінші және үшінші жолдармен. Екінші жолдағы бірінші элементті 0-ге айналдыру үшін екінші жолдан бірінші көбейтілген жолды 3-ке көбейтіңіз. Үшінші жолдан бірінші жолды шегеріңіз (көбейту қажет емес).
4. Алынған матрицада екінші жолдың екінші элементі -4, ал үшінші жолдың екінші элементі -1. Ыңғайлы болу үшін сызықтарды ауыстырайық. Үшінші қатардан 4-ке көбейтілген екінші жолды алып тастаңыз. Екінші жолды -1-ге және үшінші жолды 2-ге бөліңіз. Біз жоғарғы үшбұрышты матрицаны аламыз.
5. Екінші жолдан 4-ке көбейтілген соңғы жолды, ал бірінші жолдан 5-ке көбейтілген соңғы жолды алып тастаймыз. Содан кейін бірінші жолдан 2-ге көбейтілген екінші жолды алып тастаймыз. Сол жақта біз алдық. сәйкестік матрицасы. Оң жақта кері матрица.

SLE-ті Гаусс-Джордан әдісімен шешу мысалы

Суретте сызықтық теңдеулер жүйесі көрсетілген. Белгісіз айнымалылардың мәндерін Гаусс-Джордан әдісі арқылы матрица арқылы табу қажет.

Шешімі:

1. Толықтырылған матрицаны жасайық. Ол үшін кестеге коэффициенттер мен бос шарттарды қоямыз.
2. Матрицаны Гаусс-Джордан әдісі арқылы шешіңіз. No 2 жолдан No 1 жолды шегереміз. № 3 жолдан бұрын 2-ге көбейтілген № 1 жолды шегереміз.
3. 2 және 3-жолдарды ауыстыру.
4. №3 жолдан №2 жолды 2-ге көбейтуді алып тастаңыз. Алынған үшінші жолды –1-ге бөліңіз.
5. 2-жолдан 3-жолды шегеріңіз.
6. №1 жолдан №1 жолды шегеріңіз2 рет -1. Бүйір жағында біз 0, 1 және -1 сандарынан тұратын бағанды алдық. Бұдан x₁=0, x₂=1 және x₃ =–1.

Қаласаңыз, есептелген мәндерді теңдеулерге ауыстыру арқылы шешімнің дұрыстығын тексеруге болады:

• 0 – 1=–1, жүйенің бірінші сәйкестігі дұрыс;
• 0 + 1 + (–1)=0, жүйенің екінші сәйкестігі дұрыс;
• 0 – 1 + (–1)=–2, жүйедегі үшінші сәйкестік дұрыс.

Қорытынды: Гаусс-Джордан әдісін қолдана отырып, сызықтық алгебралық теңдеулерді біріктіретін квадрат жүйенің дұрыс шешімін таптық.

Онлайн калькуляторлар

Жоғары оқу орындарында білім алып, сызықтық алгебраны оқитын бүгінгі жастардың өмірі айтарлықтай жеңілдетілді. Бірнеше жыл бұрын бізге Гаусс және Гаусс-Джордан әдістерін қолданатын жүйелердің шешімдерін өз бетінше іздеуге тура келді. Кейбір оқушылар тапсырмаларды сәтті орындаса, басқалары шешуде жаңылысып, қателіктер жіберді, сыныптастарынан көмек сұрады. Бүгінгі таңда үй тапсырмасын орындау кезінде онлайн калькуляторларды пайдалануға болады. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу, кері матрицаларды іздеу үшін тек дұрыс жауаптарды ғана емес, сонымен қатар белгілі бір есептің шешілу барысын көрсететін бағдарламалар жазылды.

Интернетте кірістірілген онлайн калькуляторлары бар көптеген ресурстар бар. Гаусс матрицалары, теңдеулер жүйесі бұл бағдарламалар арқылы бірнеше секундта шешіледі. Студенттерге тек қажетті параметрлерді көрсету керек (мысалы, теңдеулер саны,айнымалылар саны).