Нәтижесі физикада, химияда және басқа салаларда маңызды болып табылатын геометрияның ең қызықты есептерінің бірі - көлемдерді анықтау. Мектепте математикамен айналыса отырып, балалар өздеріне жиі сұрақ қояды: «Бұл бізге не үшін керек?» Айналадағы дүние қарапайым және түсінікті болып көрінетіндіктен, мектептегі белгілі бір білімдер «қажет емес» деп жіктеледі. Бірақ, мысалы, тасымалдауға тап болу керек және жүк көлемін қалай есептеу керек деген сұрақ туындайды. Оңай ештеңе жоқ дейсіз бе? Сіз қателесесіз. Есептеу формулаларын, «заттың тығыздығы», «денелердің массалық тығыздығы» ұғымдарын білу қажет болады.
Мектеп білімі практикалық негіз
Геометрия негіздерінен сабақ беретін мектеп мұғалімдері бізге көлемнің мынадай анықтамасын ұсынады: дене алып жатқан кеңістік бөлігі. Сонымен қатар, көлемді анықтауға арналған формулалар бұрыннан жазылған және оларды анықтамалық кітаптардан табуға болады. Адамзат дұрыс пішіндегі дененің көлемін анықтауды Архимед трактаттары пайда болғанға дейін үйренді. Бірақ тек осы ұлы грек ойшылы кез келген фигураның көлемін анықтауға мүмкіндік беретін әдістемені енгізді. Оның тұжырымдары интегралдық есептеудің негізі болды. Көлемдік фигуралар жазық геометриялық фигураларды айналдыру процесінде алынған болып саналады.
Евклидтікбелгілі бір дәлдікпен геометрия көлемді анықтауға мүмкіндік береді:
| Геометриялық дене | Есептеу формуласы | Негізгі параметрлер |
|
Тікбұрышты қорап |
V=lbh | l – ұзындығы, b – ені, h – биіктігі |
| Куби | V=a3 | а – текше жиегі |
| Цилиндр | V=Sh | S – негізгі ауданы, h – биіктігі |
| Сфера | V=4πR3/3 | R- шар радиусы |
Тегіс және үш өлшемді фигуралар арасындағы айырмашылық кейбір зардап шеккендердің тіктөртбұрыштың көлемін қалай есептеу керектігі туралы сұрағына жауап беруге мүмкіндік бермейді. Бұл бірдеңе табумен бірдей, мен не екенін білмеймін. Геометриялық материалда шатасу болуы мүмкін, ал тіктөртбұрышты кейде куб тәрізді деп те атайды.
Дене пішіні соншалықты анық болмаса, не істеу керек?
Күрделі геометриялық құрылымдардың көлемін анықтау оңай жұмыс емес. Бірнеше мызғымас қағидаларды басшылыққа алған жөн.
- Кез келген денені қарапайым бөліктерге бөлуге болады. Көлем оның жеке бөліктерінің көлемінің қосындысына тең.
- Тең денелердің көлемі бірдей, денелердің параллель тасымалдануы оның көлемін өзгертпейді.
- Көлемнің өлшем бірлігі – шеті бірлік ұзындықтағы текшенің көлемі.
Дұрыс емес пішінді денелердің болуы (Герон патшаның атышулы тәжін есте сақтаңыз) проблемаға айналмайды. Денелердің көлемдерін гидростатикалық салмақпен анықтау әбден мүмкін. Бұл сұйықтықтың көлемін оған батырылған денемен тікелей өлшеу процесі, ол төменде талқыланады.
Дыбыс деңгейін анықтауға арналған әртүрлі қолданбалар
Мәселеге қайта оралайық: тасымалданатын жүк көлемін қалай есептеу керек. Жүк дегеніміз не: буып-түйілген ме, әлде сусымалы ма? Контейнердің параметрлері қандай? Жауаптардан гөрі сұрақтар көп. Жүктің массасы мәселесі маңызды болады, өйткені көлік жүк көтергіштігімен, ал маршруттар көліктің максималды салмағымен ерекшеленеді. Тасымалдау ережелерін бұзу айыппұлдармен қорқытады.
Мәселе 1. Жүк тауарлармен толтырылған төртбұрышты контейнерлер болсын. Тауардың және контейнердің салмағын біле отырып, жалпы салмақты оңай анықтауға болады. Контейнердің көлемі тікбұрышты параллелепипедтің көлемі ретінде анықталады.
Көліктің жүк көтергіштігін, оның өлшемдерін біле отырып, тасымалданатын жүктің мүмкін көлемін есептей аласыз. Бұл параметрлердің дұрыс қатынасы апатты, көліктің мерзімінен бұрын істен шығуын болдырмауға мүмкіндік береді.
2-тапсырма. Жүк – сусымалы материал: құм, қиыршық тас және сол сияқтылар. Бұл кезеңде жүкті тасымалдау тәжірибесі тасымалдауға рұқсат етілген максималды көлемді интуитивті түрде анықтауға мүмкіндік беретін физиканы білмей-ақ тамаша маман ғана жасай алады.
Ғылыми әдіс тығыздық (көлемдік тығыздық) сияқты параметрді білуді талап етедіжүк.
V=m/ρ формуласы пайдаланылады, мұнда m – жүктің массасы, ρ – материалдың тығыздығы. Көлемді есептемес бұрын, жүктің тығыздығын білу керек, бұл да қиын емес (кестелер, зертханалық анықтама).
Бұл әдіс сұйық жүк көлемдерінде де жақсы жұмыс істейді. Бұл жағдайда өлшем бірлігі ретінде литр пайдаланылады.
Құрылыс пішіндерінің көлемін анықтау
Құрылыста көлемді анықтау мәселесі маңызды рөл атқарады. Үйлер мен басқа құрылыстарды салу - қымбат жұмыс, құрылыс материалдары мұқият назар аударуды және өте дәл есептеуді қажет етеді.
Ғимараттың негізі – іргетасы – әдетте бетонмен толтырылған құйма конструкция. Бетон көлемін есептемес бұрын, іргетастың түрін анықтау керек.
Тақта іргетасы – тік бұрышты параллелепипед түріндегі тақта. Бағаналы негіз - белгілі бір секцияның тікбұрышты немесе цилиндрлік тіректері. Бір бағанның көлемін анықтап, оны мөлшерге көбейту арқылы сіз бүкіл іргетас үшін бетонның текше сыйымдылығын есептей аласыз.
Қабырғаларға немесе төбеге арналған бетонның көлемін есептегенде, олар мұны өте қарапайым етеді: ұзындығын ені мен биіктігіне көбейте отырып, бүкіл қабырғаның көлемін анықтаңыз, содан кейін терезе мен есік саңылауларының көлемдерін бөлек анықтаңыз. Қабырға көлемі мен саңылаулардың жалпы көлемі арасындағы айырмашылық бетон көлемі болып табылады.
Ғимарат көлемін қалай анықтауға болады?
Кейбір қолданбалы тапсырмалар ғимараттар мен құрылыстардың көлемі туралы білімді қажет етеді. Оларға жөндеу, қайта құру, ылғалдылықты анықтау мәселелері жатадыауа, жылумен жабдықтау және желдету мәселелері.
Ғимараттың көлемін қалай есептеу керек деген сұраққа жауап бермес бұрын оның сыртқы жағынан өлшемдер алынады: көлденең қимасының ауданы (ұзындығы еніне көбейтілген), ғимараттың төменгі бөлігінен биіктігі. бірінші қабат шатырға дейін.
Жылытылатын бөлмелердің ішкі көлемін анықтау ішкі штрихтармен жүзеге асырылады.
Жылу жүйелерін жобалау
Қазіргі заманғы пәтерлер мен кеңселерді жылу жүйесінсіз елестету мүмкін емес. Жүйелердің негізгі бөлігі батареялар мен қосылатын құбырлар болып табылады. Жылыту жүйесінің көлемін қалай есептеу керек? Радиатордың өзінде көрсетілген барлық қыздыру бөлімдерінің жалпы көлемін құбырлар көлеміне қосу керек.
Ал осы кезеңде мәселе туындайды: құбырдың көлемін қалай есептеу керек. Құбырдың цилиндр екенін елестетіңіз, шешім өздігінен келеді: біз цилиндрдің көлемін есептеу үшін формуланы қолданамыз. Жылыту жүйелерінде құбырлар сумен толтырылады, сондықтан құбырдың ішкі бөлігінің ауданын білу қажет. Ол үшін оның ішкі радиусын (R) анықтаймыз. Шеңбердің ауданын анықтау формуласы: S=πR2. Құбырлардың жалпы ұзындығы олардың бөлмедегі ұзындығына байланысты анықталады.
Үйдегі кәріз - құбыр жүйесі
Дренажға арналған құбырларды төсеу кезінде құбырдың көлемін де білу керек. Бұл кезеңде сыртқы диаметр қажет, қадамдар алдыңғыларға ұқсас.
Құбырды өндіруге түсетін металл көлемін анықтау да қызықты мәселе. Геометриялық тұрғыдан құбыр - бос жерлері бар цилиндр. Оның кесіндісінде жатқан сақинаның ауданын анықтаңыз -Тапсырма өте қиын, бірақ шешілетін. Шығудың қарапайым жолы - құбырдың сыртқы және ішкі көлемін анықтау, бұл мәндер арасындағы айырмашылық металдың көлемі болады.
Физика есептерінің көлемдерін анықтау
Херон патшаның тәжі туралы әйгілі аңыз ұры зергерлерді «таза суға» апару мәселесін шешу нәтижесінде ғана белгілі болды. Архимедтің күрделі психикалық қызметінің нәтижесі дұрыс емес геометриялық пішінді денелердің көлемдерін анықтау болып табылады. Философтың шығарған негізгі идеясы: дене ығыстыратын сұйықтық көлемі дененің көлеміне тең.
Зертханалық зерттеулерде өлшеуіш цилиндр (мензурка) қолданылады. Сұйықтықтың көлемін анықтаңыз (V1), оған денені батырыңыз, қайталама өлшемдерді орындаңыз (V2). Көлем қосымша және негізгі өлшемдер арасындағы айырмашылыққа тең: Vt=V2 – V1.
Денелердің көлемін анықтаудың бұл әдісі сусымалы ерімейтін материалдардың көлемдік тығыздығын есептеу үшін қолданылады. Бұл қорытпалардың тығыздығын анықтауда өте пайдалы.
Осы әдісті пайдаланып түйреуіштің көлемін есептей аласыз. Штырь немесе түйіршік сияқты кішкентай дененің көлемін анықтау қиынға соғады. Оны сызғышпен өлшеу мүмкін емес, өлшеу цилиндрі де жеткілікті үлкен.
Бірақ бірнеше толығымен бірдей түйреуіштерді (n) пайдалансаңыз, олардың жалпы көлемін анықтау үшін деңгейлі цилиндрді пайдалануға болады (Vt=V2 – V1). Содан кейін алынған мәнді түйреуіштер санына бөліңіз. V=Vtn.
Бұл тапсырма боладыбір үлкен қорғасыннан көптеген түйіршіктер құйылуы керек болса, түсінікті.
Сұйық көлем бірліктері
Халықаралық бірлік жүйесі көлемдерді m3 арқылы өлшеуді болжайды. Күнделікті өмірде жүйеден тыс бірліктер жиі қолданылады: литр, миллилитр. Көлемді литрмен есептеу әдісін анықтау кезінде түрлендіру жүйесін пайдаланыңыз: 1 м3=1000 литр.
Күнделікті өмірде басқа жүйелі емес шараларды қолдану қиындықтар туғызуы мүмкін. Британдықтар көбірек таныс бөшкелерді, галлондарды, бушельдерді пайдаланады.
Аударма жүйесі:
| Ағылшынша өлшемдер | Ресей шаралары | ||
| Buschel | 36, 4 l | Шелек | 12 l |
| Галлон | 4, 5 l | Бөшке | 490 l |
| Бөшке(құрғақ) | 115, 628L | Дамаск | 1, 23 л |
| Бөшке (мұнай) | 158, 988L | Кубок | 0, 123 л |
| Ағылшын сусымалы бөшке | 163, 65 L | Масштаб | 0,06 л |
Стандартты емес деректерге қатысты мәселелер
1-тапсырма. Биіктігі мен ауданын біле отырып, көлемді қалай есептеуге болады? Бұл мәселе әдетте анықтау арқылы шешіледімырыштау арқылы әртүрлі бөлшектерді жабу мөлшері. Бөлшектің бетінің ауданы (S) белгілі. Қабат қалыңдығы (h) - биіктігі. Көлем аудан мен биіктіктің көбейтіндісі арқылы анықталады: V=Sh.
2-мәселе. Текшелер үшін көлемді анықтау мәселесі, егер бір беттің ауданы белгілі болса, математикалық тұрғыдан қызықты көрінуі мүмкін. Текшенің көлемі: V=a3 болатыны белгілі, мұндағы a – оның бетінің ұзындығы. Кубтың бүйір бетінің ауданы S=a2. Ауданның квадрат түбірін алып, текше бетінің ұзындығын аламыз. Біз көлем формуласын қолданамыз, оның мәнін есептейміз.
3-тапсырма. Ауданы белгілі және кейбір параметрлері берілген болса, фигураның көлемін есептеңіз. Қосымша параметрлерге жақтардың арақатынасы, биіктіктер, негіз диаметрлері және т.б. үшін шарттар кіреді.
Нақты есептерді шешу үшін сізге көлемді есептеу формулаларын ғана емес, сонымен қатар басқа геометриялық формулаларды білу қажет.
Жад өлшемдерін анықтау
Геометрияға мүлдем қатысы жоқ тапсырма: электронды құрылғылардың жады көлемін анықтау. Қазіргі, жеткілікті түрде компьютерленген әлемде бұл мәселе артық емес. Дербес компьютерлер сияқты дәлдіктегі құрылғылар жуықтауды қабылдамайды.
Флэш-дискінің немесе басқа дискінің жады көлемін білу ақпаратты көшіру, жылжыту кезінде пайдалы.
Компьютердегі жедел жады мен тұрақты жад көлемін білу маңызды. Көбінесе пайдаланушы «ойын жұмыс істемейді», «бағдарлама ілулі тұрған» жағдайға тап болады. Жад көлемі аз болған кезде мәселе туындауы мүмкін.
Ақпарат бірлігі – байт және оныңтуындылар (килобайт, мегабайт, терабайт).
1 кБ=1024 B
1 МБ=1024 КБ
1 ГБ=1024 МБ
Бұл қайта есептеу жүйесіндегі оғаштық екілік ақпаратты кодтау жүйесінен туындайды.
Сақтау құрылғысының жад көлемі оның негізгі сипаттамасы болып табылады. Тасымалданатын ақпарат көлемі мен дискінің жады көлемін салыстыра отырып, оның әрі қарай жұмыс істеу мүмкіндігін анықтауға болады.
«Көлем» түсінігінің кеңдігі сонша, оның жан-жақтылығын қолданбалы, қызықты және тартымды есептерді шешу арқылы ғана толық түсінуге болады.
