Күнделікті өмірдің көптеген салаларында геометрия адамдарға маңызды сұрақтарға жауап беруге және өмірлік мәселелерді шешуге көмектеседі. Кем дегенде 4 мың жыл бұрын бұл білім, мысалы, Ежелгі Египетте жерді басқару үшін қолданылған. Ал бүгінде дизайнерлерден бастап сәулетшілерге дейінгі көптеген мамандықтар аумақты есептеуді білу үшін геометрияның негізгі білімін қажет етеді.
Дененің беті және оның ауданы
Бұл жалпақ пішіннің ішінде қанша орын бар екенін көрсететін өлшем. Жалпы алғанда, бет ауданы - бұл заттың бетін жабатын геометриялық пішіндердің барлық аудандарының қосындысы. Дене бетінің ауданын есептеу күнделікті өмірде жиі қажет, мысалы, қабырғаны жабу үшін қанша бояу немесе үйдің шатырын жөндеу үшін шифер сатып алу керектігін білу үшін.
Адамдар тор әдісімен жалпақ геометриялық фигуралардың ауданын анықтауды бұрыннан үйренген. Ол ең қарапайым масштабты тордан тұрадышаршылар, мысалы, 1x1 см. Осыдан кейін пішіннің ішіндегі тор квадраттарының санын санау арқылы шаршы алаңды оңай есептеуге болады. Бұл жағдайда тордың әрбір шаршысының ені 1 см және биіктігі 1 см, ал бұл тор квадратының ауданы бір шаршы сантиметр.
Пішіндегі шаршыларды санау үшін торды пайдалану - ауданды анықтаудың өте қарапайым әдісі, бірақ оны күрделі фигуралар ауданын анықтау үшін пайдалану мүмкін емес. Мұндай күрделі объектілердің ауданын қарапайым математикалық формулалар арқылы есептеуге болады. Өмірдегі ең қарапайым және ең көп қолданылатын есептеулер шаршылар мен тіктөртбұрыштардың аудандары болып табылады және сіз ауданды метрмен қалай есептеу керектігін білуіңіз керек.
Нақты есептеулер жиі күрделірек болуы мүмкін. Мысалы, бөлмеге арналған әдеттегі еден жоспары қарапайым тіктөртбұрыш немесе шаршы болмауы мүмкін. Бұл жағдайда жалпы ауданды есептемес бұрын өлшенген күрделі бетті бірнеше қарапайым геометриялық пішіндерге бөлу керек.
Қарапайым тіктөртбұрышты есептеу
Айналаңызға мұқият қарасаңыз, тіктөртбұрыштардың көптеген мысалдарын көре аласыз. Анықтау бойынша тіктөртбұрыш - бұрыштары 90 градус тік бұрышта орналасқан төрт жақты көпбұрыш. Тіктөртбұрыштың денесінің бетінің ауданын есептеу - бұл адам күнделікті өмірде жиі қолданатын қарапайым математикалық операция. Аудан формуласын білу неліктен маңызды? Адамды қоршап тұрған көптеген заттар мен орталар бартөртбұрыш пішіні: үй, қабырғалар, еден, шатыр. Және жиі құрылыс немесе жөндеу үшін олардың аумағын білу қажет.
Тік төртбұрыштың ұзындығы b және ені h болса, енін оның ұзындығына көбейту арқылы S ауданын таба аламыз. Сондықтан: S=bxh.
Мысал. Тіктөртбұрыштың ауданын қалай есептеу керек, егер қабырғасы мен ені белгілі болса, мысалы, ұзындығы 4 см және ені 3 см болса, онда: S=4x3=12.
Жауабы: 12 см2.
Шаршы - бұрыштары мен қабырғалары бірдей тіктөртбұрыштың бір түрі.
S=bxb=b2.
Мысал. Егер шаршының қабырғалары 3 см болса, қабырғасының мәнін квадраттау арқылы S таба аламыз. Сондықтан бізде: S=3х3=9.
Жауабы: 9 см2.
Параллелограмм формулалары
Параллелограмм - ұзындығы бірдей екі жұп параллель қабырғалары бар төрт жақты көпбұрыш. Анықтау бойынша тіктөртбұрыш та параллелограмның бір түрі болып табылады, бірақ бұрыштары бірдей. Параллелограмның ауданы тіктөртбұрыш сияқты есептеледі (биіктігі × ені), бірақ биіктік тік жақтардың ұзындығын емес, қабырғалар арасындағы қашықтықты білдіретінін түсіну маңызды.
Суреттен көруге болады, биіктік параллелограмның екі параллель қабырғасының арақашықтығы, олардың арасында тік бұрышта орналасқан. S=ADxh. S=bxh, мұндағы AD=b - негіз, h - биіктік.
Мысал. Егер параллелограмның табаны 3 см, биіктігі 2 см болса, онда S ауданы табан мен биіктіктің көбейтіндісіне тең. Сондықтан бізде: S=3х2=6.
Жауабы: 6 см2.
Трапеция негізі
Трапецияның ауданын қалай дұрыс есептеу керектігін қарастырайық. Трапеция - бір жұп параллель қабырғалары бар төрт жақты көпбұрыш. Екі параллель емес қабырғалардың ұзындығы бірдей болса, пішін тең қабырғалы немесе дұрыс трапеция деп аталады. Параллель емес қабырғалардың ұзындығы әртүрлі болса, оны тең қабырғалы емес деп атайды. Дегенмен, анықтамадағы осы қосымша күрделілікке қарамастан, тұрақты емес трапецияның ауданын қарапайым формула арқылы есептеуге болады.
Трапецияның ауданын есептеуге арналған өлшемдер:
- Транспортирдің тік жиегін екі параллель жақтың қысқасы бойымен туралаңыз.
- Трапецияның табанынан қарама-қарсы параллель жағына дейін перпендикуляр сызу үшін транспортирді пайдаланыңыз.
- Биіктік қашықтықты сызғышпен өлшеңіз.
- Қысқа параллель жағының ұзындығын өлшеңіз.
- Ұзынырақ параллель жақтың ұзындығын өлшеңіз.
- Трапецияның ауданын табу үшін алдымен оның екі параллель қабырғасының орташа мәнін есептеу керек: (a+b)/2.
- Тең бүйірлі (немесе кез келген) трапецияның ауданы табан мен төбенің орташа ұзындығының биіктікке көбейтіндісіне тең.
- Трапеция ауданы: S=1/2×h×(a + b).
Трапецияның биіктігі параллелограмның биіктігі сияқты әрқашан табанына перпендикуляр болатынын ескеріңіз. Мысалы: a=3cm, b=5cm, h=4cm. S=4x(3+5)/2=16.
Жауабы: 16 см2.
Үшбұрыштар түрлері
Үшбұрыш – үш қабырғасы бар және келесі түрлерге жіктелуі мүмкін көпбұрыш:
- Теңбүйірлі үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары бірдей.
- Тең қабырғалы үшбұрыштың екі бірдей қабырғасы және екі бірдей бұрышы бар.
- Масштабты үшбұрыштың үш бірдей емес қабырғасы және үш бірдей емес бұрышы бар.
- Тікбұрышты үшбұрыштың бір тік бұрышы 90 градус болады.
- Сүйірбұрышты үшбұрыштың барлық бұрыштары 90 градустан аз болады.
- Доғал үшбұрыштың бір бұрышы 90 градустан үлкен.
Кез келген үшбұрыштың ауданы формулалармен анықталады.
1. Үшбұрыштың биіктігі мен табанын білсеңіз, оның ауданын қалай есептеуге болады:
- S=1⁄2×a×h, мұндағы: h – биіктік, a – негіз.
- S=1⁄2xa×b×sinα, мұндағы: a, b кез келген екі қабырға, α – олардың арасындағы бұрыш.
- S=p×r, мұндағы: p=(a+b+c) / 2 - жарты периметр, a, b, c - үш жағы, r - шеңбер радиусы.
Теңбүйірлі үшбұрыштың ауданы:
S=a2х√3 ⁄4, мұндағы a=b=c.
Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданы:
S=1⁄4xbx√(4a2-b2).
2. Екі қабырғасы берілген үшбұрыштың ауданын және олардың арасындағы бұрышты қалай есептеуге болады:
S=1⁄2xaxbxsinC=1⁄2xbxcxsinA=1⁄2xaxcxsinB
1-мысал: Қабырғасы 14 см, биіктігі 10 см болатын үшбұрыштың S нүктесін табыңыз.
Шешімі: b=14 см, h=10 см,A=1⁄2х14х10=70
Жауабы: 70 см2.
2-мысал. Қабырғалары мен олардың арасындағы бұрыш келесі түрде берілген үшбұрыштың ауданын табыңыз: a=5 см және b=7 см, C=45 градус.
Шешімі: үшбұрыштың ауданы=1⁄2xaxbxsin 45.
Аудан=1⁄2×5×7×0,707 (sin45=0,707 болғандықтан)
Аудан=1⁄2×24, 745=12, 3725
Жауабы: 12, 3725 см2.
3-мысал. Қабырғалары 10 м, табаны 12 м тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын (m2 түрінде) табыңыз.
Шешімі: Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданы мынамен анықталады:
A=1⁄4xbx√(4a2-b2)A=1⁄4x12x√(4x(10) 2-(12)2)А=48
Жауабы: 48 м2.
4-мысал. Қабырғалары сәйкесінше 8, 9 және 11 болатын үшбұрыштың ауданын табыңыз. Барлық бірліктер метрмен (м) берілген.
Шешімі: a=8, b=9 және c=11 жақтары. Герон формуласы бойынша үшбұрыштың ауданын келесі формуламен анықтауға болады: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). Ең алдымен, үшбұрыштың жарты периметрі болып табылатын s мәнін анықтауымыз керек: s=1⁄2x(a+b+c)=1⁄2x(8+9+11)=14.
Енді Герон формуласына жартылай периметрдің мәнін енгізу арқылы үшбұрыштың ауданын анықтауға болады: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). A=√(14x(14-8)x(14-9)x(14-11)). A=√(1260)=35, 50
Жауабы: 35, 50 м2.
Ромбтың ауданын өлшеу
Ромб – қабырғалары тең және тең параллелограммның ерекше түріқарама-қарсы бұрыштар. Ромбтың ауданын үш әдіс арқылы анықтауға болады.
1. Негізгі биіктік әдісі. Біріншіден, негіз ретінде кез келген жағын таңдаңыз, өйткені олардың ұзындығы бірдей. Содан кейін биіктікті анықтаңыз - таңдалған негізден қарсы жаққа дейінгі перпендикуляр қашықтық.
Аудан осы екі шаманың көбейтіндісі болып табылады және мына формуламен анықталады: S=a×h, мұндағы: S – ромбтың ауданы, h – ромбтың биіктігі, AB=BC=AD=DC=a - ромбтың жағы
2. диагональ әдісі. Диагональдардың ұзындықтары белгілі болған кезде ромбтың ауданы үшін тағы бір қарапайым формула. Аудан диагональдардың жарты көбейтіндісі.
Формула ретінде: S=1/2xACxBD, мұндағы: S – ромбтың ауданы, AC – үлкен диагональ, BD – кіші диагональ
3. Тригонометрияны қолдану. Тригонометрияда бүйір ұзындығы мен кез келген бұрыш белгілі болған кезде ыңғайлы формула бар:
S=a2×sin α, мұндағы: S – ромбтың ауданы, B=BC=AD=DC=a – ромбтың қабырғасы, α – сүйір бұрыш, β – доғал бұрыш бұрыш
Шеңбер беті
Дөңгелек - тұйық қисық сызықтан тұратын пішін. Сызықтың әрбір бөлігі радиус деп аталатын ауданның ортасынан бірдей қашықтықта орналасқан. Ежелгі заманнан бері радиусы берілген шеңбердің ауданын қалай есептеу керектігі белгілі болды. Шеңбердің ауданы S=πxr2 формуласымен есептеледі, мұндағы: S – шеңбердің ауданы, π - pi (3,1415), r - шеңбер радиусы.
Шеңбердің ауданын табу үшін келесі әрекеттерді орындаңыз. Берілген радиусты немесе диаметрді r немесе d түрінде жазыңызтиісінше. Диаметрі берілген шеңбердің ауданын қалай есептеуге болады? Бұл мүлдем қиын емес, диаметрді 2-ге бөлу арқылы радиусты есептеу керек, ал деректерді калькулятордың көмегімен немесе қолмен көбейту керек. Жауабыңыз шаршы бірлікте болады.
Есеп: радиусы 10 см шеңбердің ауданын табыңыз.
Шешімі: Шеңбердің радиусы=10 см Шеңбердің ауданы=3, 1416×10×10=314, 16.
Жауабы: 314, 16 см2.
Диаметрі 15 см шеңбердің ауданын табыңыз.
Шешімі: Шеңбердің диаметрі=15 см. Радиусы=15/2=7,5 см. Шеңбердің ауданы=3, 14x7, 5x7, 5=176, 625=176, 63 (2 таңбадан кейін дөңгелектеу) үтір).
Жауабы: 176,63 см2.
Төбелердің қарапайым геометриялық пішіндері
Төбені жабатын жұмыстарды жасамас бұрын, қанша материал қажет екенін анықтау үшін шатырдың ауданын қалай есептеу керектігін білуіңіз керек. Оның мөлшері әрқашан маржамен алынуы керек және құрылыс қалдықтарын есепке алу үшін шатырдың жалпы алаңының кемінде 10 пайызын қосу керек.
Есептеу алдында шатырдың схемасы қарапайым геометриялық пішіндерге бөлінген, біздің мысалда бұл екі трапеция және екі үшбұрыш. Трапеция элементтері үшін шатырдың ауданын қалай есептеу керек? Аудан келесі формула бойынша есептеледі: S=(a+b)xh/2, мұндағы: а - төменгі асудың ені - 10 м, b - жота бойындағы ені - 7 м, h - биіктігі - 5 м..
Үшбұрышты элементтер үшін формула қолданылады: S=axh/2, мұндағы: a - төменгі асу бойындағы еңіс ені - 7 м, h - еңіс биіктігі - 3 м.
Өлшеу реті:
- Ұзындығын, енін және өлшемін өлшеңізжел терезелерін қоса алғанда, шатырдың әрбір геометриялық пішінінің биіктігі. Бұл ақпарат үйдің бастапқы құрылыс жоспарында болуы мүмкін немесе шатырдың беті салыстырмалы түрде төмен және тегіс болса, оны өзіңіз өлшей аласыз. Егер үй иесінің өзі шатырға қауіпсіз көтеріле алмаса, есептеуді ғимараттың сыртқы өлшемдері бойынша жасауға болады.
- Әр үшбұрышты немесе трапеция тәрізді жазықтықтың ұзындығы мен енін бөлек көбейтіңіз.
- Симметриялы үшбұрышты жазықтықтардың ауданын үшбұрыш табанының ұзындығын (ең ұзын қабырғасы) биіктігіне (ең ұзын қабырғасының ортасынан қарама-қарсы бұрышқа дейінгі қашықтық) көбейту арқылы есептеңіз.
- Сосын нәтижені шаршы метрмен алу үшін 2-ге бөліңіз. S=axh/2=7х3/2=10,5 м2.
- Трапецияның ауданын есептеңіз, оның биіктігіне (ең ұзын жақтың ортасынан қарама-қарсы бұрышқа дейінгі арақашықтық) төменгі саңылаудың енін және жотаның енін көбейтіңіз.
- Одан кейін шаршы метрдегі нәтижені алу үшін жиынтықты 2-ге бөліңіз.
- Төбе материалының қоры үшін 10 пайыздық үстеме алу үшін ауданды 0,1-ге көбейтіңіз S=(a+b)xh/2=(10+7)5/2=42,5м2.
- Барлық пішіндердің аумақтарын бірге қосыңыз. S=10, 5+10, 5+42, 5+42, 5=106м2.
- Нәтиже – төбенің жалпы ауданы 106 м2, шегі 116 м2.
Үйдегі аспаптық өлшемдер
Үйдің ауданын өлшеу үшін сізге негіз құра алатын өте дәл есептеулер жасауға арналған құралдар қажет боладыүйді жөндеу, сатып алу-сату немесе сақтандыруды жүзеге асыруға. Ауданды есептемес бұрын, үй жоспарының қарапайым схемасын сызу үшін таспа шарасын, қарындашты және дәптерді алу керек. Оны әзірлеушінің төлқұжатынан немесе басқа жобалық құжаттардан алуға болады. Соңғы көзбен абай болу керек, көрсетілген сандар әрқашан дәл болмауы мүмкін, мысалы, оларда кейбір жөндеулер ескерілмеуі мүмкін. Сондықтан аумақты өзіңіз өлшегеніңіз дұрысырақ.
Үйдің ауданын қолмен қалай есептеуге болады? Еденнің ауданын қолмен өлшеу қажет болса, әртүрлі құрылыс ойықтарын, қосалқы бөлмелерді, жоғарғы қабаттарды, жеке ғимараттарды немесе гараждарды ұмытпай, сыртқы қабырғаларды өлшеу жақсы. Қарапайым негізгі өлшемдерді орындаған кезде аудан үйдің ұзындығын еніне көбейту арқылы есептеледі.
Құрылыс жоспарының пішініне байланысты оны қарапайым геометриялық пішіндерге бөлу қажет болуы мүмкін. Бұл мысалда үй 9 метрден 12 метрге, бізге 108 шаршы метрді береді. Гараж 6 метрге 3 метр, ол 18 шаршы метр, жалпы ауданы 126 шаршы метр.
Жөндеу алдындағы еден өлшемдері
Жөндеу жұмыстарын жүргізбес бұрын, мысалы, линолеумды ауыстыру немесе бояу сияқты еденнің ауданын қалай есептеу керек? Шаршы немесе тікбұрышты бөлме үшін алдымен бөлменің ұзындығы мен енін өлшеу керек. Содан кейін ұзындығы мен енін көбейтеміз, біз ұзындық x ені=ауданды аламыз. Осылайша, егер бөлме ені 3 метр және ұзындығы 5 метр болса, жалпы ауданы15 шаршы метр болады.
Бұл өлшемді иесі өз жобасы үшін пайдалануды жоспарлап отырған плитка ерітіндісінің, герметиктің, линолеумның қажетті мөлшерін есептеу үшін пайдалануға болады. Материалдарды таңдау үшін аумақты есептеу үшін әдетте 10% қауіпсіздік коэффициентін қосу керек: аумақты 1, 1-ге көбейтіп, содан кейін бүтін санға дейін дөңгелектеңіз.
Жалпы ауданы 15м2 болатын мысалда 16,5 шаршы метрге қосымша плиткалар мен ерітіндіге тапсырыс беру керек. Бөлме тікбұрышты болмаса, жалпы ауданды есептеу үшін оны екі немесе одан да көп қарапайым геометриялық фигураға бөлу керек.
Тұрыс емес пішін калькуляторы
Өте жиі өлшенетін кеңістік өте күрделі пішінге ие, оны әрқашан қарапайым элементтерге бөлуге болмайды.
Мұндай аумақты оңай анықтау үшін SketchAndCalc интернет қолданбасын пайдалану керек. Бұл кескіннің кез келген пішіні үшін дұрыс емес пішіндерге арналған аумақ калькуляторы. Бұл жүктелген суреттерден есептеуге қабілетті жалғыз аймақ калькуляторы, оның бірегей мүмкіндігі бар, ол пайдаланушыға периметрді сызу алдында кез келген кескіннің сызба масштабын орнатуға мүмкіндік береді. Осылайша, дұрыс емес фигураның бұрыштары немесе қисықтары оңай есептеледі.
Қарапайым тілмен айтсақ, жүктеп салуға арналған сурет немесе іздеуге арналған карта мекенжайы болса, дұрыс емес пішіннің ауданын ол қаншалықты күрделі болса да, тек сызу арқылы есептей аласыз.аумақтың периметрі. Калькулятор тіпті қабаттарды салу арқылы бірнеше аумақты есептеулерді қоса алады. Бірінші аумақты есептегеннен кейін, аумақты есептеулердің шексіз санын орындауға мүмкіндік беретін жаңа сызба қабатын қосуға болады.
Аумақты калькулятордың нәтижелері дюйммен және метрмен көрсетіледі, бұл оның пайдалылығын арттырады және түрлендіру қажеттілігін жояды. Бұл дәл сурет салу және масштабтау құралдарымен бірге әрбір дұрыс емес пішіннің аумақтарын дәл есептеуді қамтамасыз етеді. Ол сондай-ақ бекітілген бұрыштары мен дәл сызықтары бар тұрақты көпбұрыш пішіндерін орналастыра алады.
Шектеулі үлгі құралы жалпы бұрыштарға бекітіледі және ұзындық сызығын пернетақта арқылы қолмен өңдеуге болады. Өлшенетін аумақтың түзу жағы немесе ұзындығы болса, қолданба пайдалы. SketchAndCalc TM тағы бір бірегей ерекшелігі оның дұрыс емес фигуралар үшін қисық сызудың жетілдірілген құралы бар. Кейбір аумақтық калькулятор қолданбалары карта бойынша іздеуге мүмкіндік береді.
SketchAndCalc мұны бойлық пен ендік іздеулерін пайдаланып өте дәл жасайды. Өлшенетін аумақ ауылшаруашылық жерінде немесе теңізде болса да, пайдаланушы іздеуге аз уақыт жұмсайды және аумақты есептеуге көп уақыт жұмсайды. Бұл көптеген салаларда, құрылыста, көгалдандыруда қолданылатын әмбебап утилита. Оны энтузиастар өз үйін және жергілікті аумақты жақсарту үшін пайдаланады. Ландшафттық калькулятор немесе жер аумағы калькуляторы да табылдыЖерге орналастырушылар арасында оны пайдаланушылар. Енді олар учаскенің ауданын тез және оңай есептеуді біледі.
Дегенмен, осы кең таралған қолданбалардан басқа, білім, медицина, ғылым және зерттеу салаларында жұмыс істейтін көптеген адамдар жасуша мембраналары немесе биологияда кездесетін басқа нысандар сияқты дұрыс емес пішіндердің ауданын есептеп, пайдалануды ұнатуы керек. бұл қолданба.
Математиканы күнделікті өмірде қолдану үшін бір плюс бірді санай білу жеткіліксіз. Қоршаған ортаның маңызды аспектісі - геометриялық құрылымдар, яғни күнделікті заттарды тікбұрышты, шаршы, дөңгелек немесе үшбұрышты пішінде бейнелеу. Және қажетті аумақты есептей білу керек.
Сонымен қатар геометриялық фигуралар сызба, сызба, презентация құрастыруда да қолданылады. Сондықтан әртүрлі есептеулерді, соның ішінде ауданды есептеуді жасай білу өте маңызды.
