Леонхард Эйлер (1707-1783) - атақты швейцариялық және орыс математигі, Санкт-Петербург Ғылым академиясының мүшесі, өмірінің көп бөлігін Ресейде өткізді. Математикалық талдауда, статистикада, информатикада және логикада ең танымалы - ұғымдар ауқымын және элементтер жиынын белгілеу үшін қолданылатын Эйлер шеңбері (Эйлер-Венн диаграммасы).
Джон Венн (1834-1923) - ағылшын философы және логикасы, Эйлер-Венн диаграммасының авторларының бірі.
Үйлесімді және үйлеспейтін ұғымдар
Логикада концепция бойынша біртекті объектілер класының маңызды белгілерін көрсететін ойлау формасы түсініледі. Олар бір немесе бірнеше сөздер тобымен белгіленеді: «әлем картасы», «доминант бесінші-жетінші аккорд», «дүйсенбі» т.б.
Бір ұғымның шеңберінің элементтері басқа бір ұғымның аясына толық немесе ішінара жататын жағдайда, бірін-бірі үйлесетін ұғымдар туралы айтады. Алайда, белгілі бір ұғымның шеңберінің бірде-бір элементі басқасының ауқымына жатпаса, бізде үйлесімсіз ұғымдар бар.
Өз кезегінде концепцияның әрбір түрі мүмкін болатын қарым-қатынастардың өз жиынтығына ие. Үйлесімді тұжырымдамалар үшін мыналар:
- томдардың сәйкестігі (эквиваленттілігі);
- қиылысу (ішінара сәйкестік)томдар;
- субординация (бағыну).
Сәйкес келмейтіндер үшін:
- субординация (үйлестіру);
- қарсы (қарсылық);
- қайшылық (қайшылық).
Схемалық түрде логикадағы ұғымдар арасындағы қатынастар әдетте Эйлер-Венн шеңберлері арқылы белгіленеді.
Баламалы қатынастар
Бұл жағдайда ұғымдар бір тақырыпты білдіреді. Тиісінше, бұл ұғымдардың көлемдері толығымен бірдей. Мысалы:
A - Зигмунд Фрейд;
В – психоанализдің негізін салушы.
Немесе:
A - шаршы;
B - теңбүйірлі тіктөртбұрыш;
C - теңбұрышты ромб.
Тағайындау үшін толық сәйкес келетін Эйлер шеңберлері пайдаланылады.
Қиылыс (ішінара сәйкестік)
Бұл санат кесіп өтуге қатысты ортақ элементтері бар ұғымдарды қамтиды. Яғни, бір ұғымның көлемі екіншісінің көлеміне ішінара кіреді:
A - мұғалім;
В - музыка әуесқой.
Бұл мысалдан көріп отырғанымыздай, ұғымдардың көлемдері ішінара сәйкес келеді: мұғалімдердің белгілі бір тобы музыка әуесқойлары болып шығуы мүмкін, ал керісінше - музыка әуесқойларының арасында мұғалімдік мамандықтың өкілдері болуы мүмкін. Осыған ұқсас көзқарас А ұғымы, мысалы, «азамат», ал В - «жүргізуші» болған жағдайда болады.
Бағыну (бағыну)
Схемалық түрде әртүрлі масштабтағы Эйлер шеңберлері ретінде белгіленген. Қарым-қатынастарұғымдар арасындағы бұл жағдайда бағыныңқы ұғымның (көлемі жағынан кішірек) толық бағыныңқыға (көлемі үлкен) енуімен сипатталады. Сонымен қатар бағыныңқы ұғым бағыныңқысын толық тауспайды.
Мысалы:
A - ағаш;
B - қарағай.
В концепциясы А ұғымына бағынатын болады. Қарағай ағаштарға жататындықтан, бұл мысалдағы А ұғымы В ұғымының ауқымын «жұтатын» бағыныңқыға айналады.
Координация (үйлестіру)
Қарым-қатынас бір-бірін жоққа шығаратын, бірақ белгілі бір жалпы жалпы шеңберге жататын екі немесе одан да көп ұғымдарды сипаттайды. Мысалы:
A – кларнет;
B - гитара;
C - скрипка;
D - музыкалық аспап.
А, В, С ұғымдары бір-біріне қатысты қиылыспайды, дегенмен олардың барлығы музыкалық аспаптар категориясына жатады (D ұғымы).
Қарама-қарсы (керісінше)
Ұғымдар арасындағы қарама-қарсы қатынастар бұл ұғымдардың бір текке жататынын білдіреді. Сонымен бірге ұғымдардың бірі белгілі бір қасиеттерге (белгілерге) ие болса, екіншісі оларды жоққа шығарады, табиғатта қарама-қарсы ұғымдармен алмастырады. Осылайша, біз антонимдермен айналысамыз. Мысалы:
А - ергежейлі;
В - алып.
Ұғымдар арасындағы қарама-қарсы қатынастары бар Эйлер шеңберіүш сегментке бөлінеді, олардың біріншісі А тұжырымдамасына, екіншісі В тұжырымдамасына және үшіншісі басқа барлық мүмкін ұғымдарға сәйкес келеді.
Қарама-қайшылық (қайшылық)
Бұл жағдайда екі ұғым да бір тектес түрлер болып табылады. Алдыңғы мысалдағыдай ұғымдардың бірі белгілі бір қасиеттерді (ерекшеліктерді) көрсетсе, екіншісі оларды жоққа шығарады. Алайда, қарама-қарсылықтардың қатынасынан айырмашылығы, екінші, қарама-қарсы ұғым теріске шығарылған қасиеттерді басқа, баламалармен алмастырмайды. Мысалы:
А қиын тапсырма;
B оңай тапсырма (А емес).
Осындай ұғымдардың көлемін білдіре отырып, Эйлер шеңбері екі бөлікке бөлінеді – үшінші, аралық буын бұл жағдайда жоқ. Сонымен, ұғымдар да антоним болып табылады. Сонымен бірге олардың біреуі (А) оң болады (кейбір белгіні растайды), ал екіншісі (В немесе А емес) теріс болады (тиісті белгіні жоққа шығарады): «ақ қағаз» - «ақ қағаз емес», « ұлттық тарих» – «шетел тарихы» және т.б.
Осылайша, бір-біріне қатысты ұғымдар көлемдерінің қатынасы Эйлер шеңберлерін анықтайтын негізгі сипаттама болып табылады.
Жиындар арасындағы байланыс
Сонымен қатар көлемі Эйлер шеңберлері арқылы көрсетілетін элементтер мен жиындар ұғымдарын ажырату қажет. Жиын ұғымы математика ғылымынан алынған және өте кең мағынаға ие. Логика мен математикадағы мысалдар оны белгілі бір объектілер жиынтығы ретінде көрсетеді. Объектілердің өздеріосы жиынның элементтері. «Көпті біртұтас ой санайды» (Георг Кантор, жиындар теориясының негізін салушы).
Жиындар бас әріптермен белгіленеді: A, B, C, D… т.б., жиындардың элементтері кіші әріптермен белгіленеді: a, b, c, d… т.б. бір сыныпта, белгілі бір сөредегі кітаптар (немесе, мысалы, белгілі бір кітапханадағы барлық кітаптар), күнделік беттері, орман алқабындағы жидектер және т.б.
Өз кезегінде белгілі бір жиында бір элемент болмаса, онда ол бос деп аталады және Ø белгісімен белгіленеді. Мысалы, параллель түзулердің қиылысу нүктелерінің жиыны, x2=-5.
теңдеуінің шешімдер жиыны.
Мәселені шешу
Эйлер шеңберлері көптеген есептерді шешу үшін белсенді қолданылады. Логикадағы мысалдар логикалық операциялар мен жиындар теориясы арасындағы байланысты анық көрсетеді. Бұл жағдайда ұғымдардың ақиқат кестелері қолданылады. Мысалы, A деп белгіленген шеңбер ақиқат аймағын білдіреді. Осылайша, шеңберден тыс аймақ жалғанды білдіреді. Логикалық операция үшін диаграмманың ауданын анықтау үшін Эйлер шеңберін анықтайтын аймақтарды көлеңкелеу керек, онда оның А және В элементтері үшін мәндері ақиқат болады.
Эйлер шеңберлерін пайдалану әртүрлі салаларда кең практикалық қолдануды тапты. Мысалы, кәсіби таңдау жағдайында. Егер зерттелуші болашақ мамандығын таңдауға қатысты болса, ол келесі критерийлерді басшылыққа алады:
W – мен не істегенді ұнатамын?
D – мен не істеп жатырмын?
Б– мен қалай жақсы ақша таба аламын?
Мұны диаграмма ретінде салайық: Эйлер шеңберлері (логикадағы мысалдар - қиылысу қатынасы):
Нәтиже үш шеңбердің қиылысында болатын мамандықтар болады.
Эйлер-Венн шеңберлері комбинациялар мен қасиеттерді есептеу кезінде математикада (жиын теориясы) бөлек орын алады. Элементтер жиынының Эйлер шеңберлері әмбебап жиынды (U) белгілейтін тіктөртбұрыштың суретіне салынған. Шеңберлердің орнына басқа жабық фигураларды да қолдануға болады, бірақ оның мәні өзгермейді. Фигуралар есептің шарттарына сәйкес бір-бірімен қиылысады (ең жалпы жағдайда). Сондай-ақ, бұл сандар сәйкесінше белгіленуі керек. Қарастырылып отырған жиындардың элементтері диаграмманың әртүрлі сегменттерінің ішінде орналасқан нүктелер болуы мүмкін. Оның негізінде сіз белгілі бір аймақтарды көлеңкелеп, жаңадан құрылған жиынтықтарды белгілей аласыз.
Бұл жиындармен негізгі математикалық амалдарды орындауға болады: қосу (элементтер жиынының қосындысы), алу (айырымы), көбейту (көбейту). Сонымен қатар, Эйлер-Венн диаграммаларының арқасында жиындарды есепке алмай, олардың құрамына кіретін элементтер саны бойынша салыстыруға болады.
