Пифагор сан негізгі элементтермен бірге дүниенің негізінде жатыр деп дәлелдеді. Платон сан құбылыс пен ноуменді байланыстырады, тануға, өлшеуге және қорытынды жасауға көмектеседі деп есептеді. Арифметика «арифмос» сөзінен шыққан – сан, математикадағы бастаулардың басы. Ол кез келген нысанды сипаттай алады - қарапайым алмадан абстрактілі бос орындарға дейін.
Даму факторы ретіндегі қажеттіліктер
Қоғамның қалыптасуының алғашқы кезеңдерінде адамдардың қажеттіліктері есеп жүргізу қажеттілігімен шектелді - бір қап астық, екі қап астық және т.б. Бұл үшін натурал сандар жеткілікті болды, олардың жиынтығы бүтін сандардың шексіз оң тізбегі N.
Кейінірек, математиканың ғылым ретінде дамуымен Z бүтін сандарының жеке өрісіне қажеттілік туындады - ол теріс мәндерді және нөлді қамтиды. Оның шаруашылық деңгейінде пайда болуы бастапқы бухгалтерлік есепте қандай да бір жолмен түзету қажет екендігімен байланысты болды.қарыздар мен шығындар. Ғылыми деңгейде теріс сандар қарапайым сызықтық теңдеулерді шешуге мүмкіндік берді. Басқа нәрселермен қатар, тривиальды координаттар жүйесінің кескіні қазір мүмкін болды, өйткені сілтеме нүктесі пайда болды.
Келесі қадам бөлшек сандарды енгізу қажеттілігі болды, өйткені ғылым бір орнында тұрмағандықтан, жаңа өсу серпіні үшін теориялық негізді қажет ететін жаңалықтар көбейіп келеді. Рационал сандар өрісі осылай пайда болды Q.
Соңында ұтымдылық сұраныстарды қанағаттандыруды тоқтатты, өйткені барлық жаңа тұжырымдар негіздеуді қажет етті. Нақты сандардың R өрісі, Евклидтің кейбір шамалардың иррационалдылығына байланысты салыстырылмайтындығы туралы еңбектері пайда болды. Яғни, ежелгі грек математиктері санды тұрақты шама ретінде ғана емес, сонымен бірге салыстыруға келмейтін шамалардың қатынасымен сипатталатын абстрактілі шама ретінде де орналастырған. Нақты сандар пайда болуына байланысты «пи» және «е» «жарықты көрді» сияқты шамалар, онсыз қазіргі математика жүзеге аса алмайды.
Соңғы инновация C күрделі саны болды. Ол бірқатар сұрақтарға жауап берді және бұрын енгізілген постулаттар жоққа шығарылды. Алгебраның қарқынды дамуына байланысты нәтиже болжамды болды - нақты сандарға ие болу, көптеген есептерді шешу мүмкін болмады. Мысалы, күрделі сандардың арқасында жолдар мен хаос теориясы көзге түсті, ал гидродинамика теңдеулері кеңейді.
Жиындар теориясы. Кантор
Әр уақытта шексіздік ұғымыдәлелдеу де, жоққа шығару да мүмкін болмағандықтан дау тудырды. Қатаң тексерілген постулаттармен жұмыс істейтін математика контекстінде бұл өте айқын көрінді, әсіресе теологиялық аспект ғылымда әлі де салмақты болғандықтан.
Алайда математик Георг Кантордың еңбегінің арқасында уақыт өте бәрі өз орнына келді. Ол шексіз көп жиындар бар екенін және олардың екеуінің де соңы болмаса да, R өрісі N өрісінен үлкен екенін дәлелдеді. 19 ғасырдың ортасында оның идеялары бос сөз және классикалық, мызғымас канондарға қарсы қылмыс деп аталды, бірақ уақыт бәрін өз орнына қойды.
Өрістің негізгі қасиеттері R
Нақты сандар өздеріне кіретін ішкі жиындармен бірдей қасиеттерге ие ғана емес, сонымен қатар элементтерінің масштабына байланысты басқалармен толықтырылады:
- Нөл бар және R өрісіне жатады. R кез келген c үшін c + 0=c.
- Нөл бар және R өрісіне жатады. R кез келген c үшін c x 0=0.
- d ≠ 0 үшін c: d қатынасы бар және R кез келген c, d үшін жарамды.
- R өрісі реттелген, яғни c ≦ d, d ≦ c болса, R-дан кез келген c, d үшін c=d.
- R өрісіндегі қосу коммутативті, яғни R үшін кез келген c, d үшін c + d=d + c.
- R өрісіндегі көбейту коммутативті, яғни R үшін кез келген c, d үшін c x d=d x c.
- R өрісіндегі қосу ассоциативті, яғни (c + d) + f=c + (d + f) кез келген c, d, f үшін R.
- R өрісіндегі көбейту ассоциативті, яғни (c x d) x f=c x (d x f) кез келген c, d, f үшін R.
- R өрісіндегі әрбір сан үшін c + (-c)=0 болатындай қарама-қарсы мән бар, мұндағы c, -c R мәнінен.
- R өрісіндегі әрбір сан үшін оның кері мәні бар, c x c-1 =1, мұндағы c, c-1 бастап R.
- Бірлік бар және R-ге тиесілі, сондықтан c x 1=c, R кез келген c үшін.
- Таралу заңы жарамды, сондықтан c x (d + f)=c x d + c x f, кез келген c, d, f үшін R.
- R өрісінде нөл бірге тең емес.
- R өрісі өтпелі: егер c ≦ d, d ≦ f болса, онда R кез келген c, d, f үшін c ≦ f.
- R өрісінде реттілік пен қосу өзара байланысты: егер c ≦ d болса, онда R кез келген c, d, f үшін c + f ≦ d + f.
- R өрісінде реттілік пен көбейту өзара байланысты: егер 0 ≦ c, 0 ≦ d болса, онда R-дан кез келген c, d үшін 0 ≦ c x d.
- Теріс және оң нақты сандар үздіксіз, яғни R-дан кез келген c, d үшін R-дан c ≦ f ≦ d болатындай f бар.
R өрісіндегі модуль
Нақты сандар модульді қамтиды.
|f| ретінде белгіленеді кез келген f үшін R. |f|=f, егер 0 ≦ f және |f|=-f, егер 0 > f. Егер модульді геометриялық шама ретінде қарастырсақ, онда ол жүріп өткен жол - нөлден минусқа «өттіңіз» бе, әлде плюсқа алға қарайсыз ба маңызды емес.
Күрделі және нақты сандар. Қандай ұқсастықтар және қандай айырмашылықтар бар?
Жалпы, күрделі және нақты сандар бір және бірдей, тек басқаКвадраты -1 болатын елестетілген i бірлік. R және C өрістерінің элементтерін келесі формула ретінде көрсетуге болады:
c=d + f x i, мұндағы d, f R өрісіне жатады және i – елестетілген бірлік
Бұл жағдайда R-дан c алу үшін f жай ғана нөлге тең болады, яғни санның нақты бөлігі ғана қалады. Күрделі сандар өрісі нақты сандар өрісімен бірдей қасиеттер жиынына ие болғандықтан, f x i=0, егер f=0 болса.
Практикалық айырмашылықтарға келетін болсақ, мысалы, R өрісінде дискриминант теріс болса квадрат теңдеу шешілмейді, ал С өрісі i елестету бірлігін енгізуге байланысты мұндай шектеуді енгізбейді.
Нәтижелер
Математика негізделген аксиомалар мен постулаттардың «кірпіштері» өзгермейді. Ақпараттың көбеюіне және жаңа теориялардың енгізілуіне байланысты олардың кейбіріне келесі «кірпіштер» салынып, болашақта келесі қадамға негіз бола алады. Мысалы, натурал сандар R нақты өрісінің ішкі жиыны болғанымен, өзектілігін жоғалтпайды. Барлық қарапайым арифметика соларға негізделеді, адамның дүниені тануы осыдан басталады.
Практикалық тұрғыдан нақты сандар түзу сызыққа ұқсайды. Онда сіз бағытты таңдай аласыз, шығу тегі мен қадамын белгілей аласыз. Түзу нүктелердің шексіз санынан тұрады, олардың әрқайсысы бір нақты санға сәйкес келеді, ол рационал немесе жоқ. Сипаттамадан біз жалпы математика да, жалпы математикалық талдау да құрылатын тұжырымдама туралы болып отырғаны анық.ерекше.
