Полихедра ежелгі дәуірде де математиктер мен ғалымдардың назарын аударған. Египеттіктер пирамидаларды салған. Ал гректер «тұрақты көп қырлыларды» зерттеген. Оларды кейде платондық қатты денелер деп те атайды. «Дәстүрлі көп қырлы» жалпақ беттерден, түзу жиектерден және шыңдардан тұрады. Бірақ басты мәселе әрқашан бұл бөлек бөліктер қандай ережелерді орындауы керек, сондай-ақ объект полиэдр ретінде квалификациялануы үшін қандай қосымша жаһандық шарттарды орындау керек болды. Бұл сұрақтың жауабы мақалада беріледі.
Анықтамадағы мәселелер
Бұл сан неден тұрады? Полиэдр - бұл жалпақ беттері мен тік жиектері бар жабық қатты пішін. Сондықтан оны анықтаудың бірінші мәселесін дәл фигураның жақтары деп атауға болады. Ұшақтарда жатқан барлық беттер әрқашан көпбұрыштың белгісі емес. Мысал ретінде «үшбұрышты цилиндрді» алайық. Ол неден тұрады? Оның бетінің бөлігі үш жұпқиылысатын тік жазықтықтарды көпбұрыш деп санауға болмайды. Себебі оның төбелері жоқ. Мұндай фигураның беті бір нүктеде түйісетін үш сәуленің негізінде қалыптасады.
Тағы бір мәселе – ұшақтар. «Үшбұрышты цилиндр» жағдайында ол олардың шексіз бөліктерінде жатыр. Фигураның кез келген екі нүктесін қосатын кесінді де оның ішінде болса, ол дөңес деп есептеледі. Олардың маңызды қасиеттерінің бірін көрсетейік. Дөңес жиындар үшін жиынға ортақ нүктелер жиыны бірдей болады. Фигураның тағы бір түрі бар. Бұл дөңес емес 2D көп қырлы, ойықтары немесе тесіктері бар.
Көп қырлы емес пішіндер
Нүктелердің жалпақ жиыны әртүрлі болуы мүмкін (мысалы, дөңес емес) және көпбұрыштың әдеттегі анықтамасын қанағаттандырмайды. Тіпті ол арқылы ол сызықтардың бөліктерімен шектеледі. Дөңес көп қырлы сызықтар дөңес фигуралардан тұрады. Дегенмен, анықтамаға бұл тәсіл шексіздікке баратын фигураны жоққа шығарады. Бұған мысал ретінде бір нүктеде кездеспейтін үш сәулені келтіруге болады. Бірақ сонымен бірге олар басқа фигураның шыңдарына қосылады. Дәстүрлі түрде полиэдр үшін оның тегіс беттерден тұруы маңызды болды. Бірақ уақыт өте келе тұжырымдама кеңейді, бұл көп қырлылардың бастапқы «тар» класын түсінудің айтарлықтай жақсаруына, сондай-ақ жаңа, кеңірек анықтаманың пайда болуына әкелді.
Дұрыс
Тағы бір анықтаманы енгізейік. Дұрыс көп қырлы деп әр беті конгруентті регулярлы болып табылатын көпбұрышты айтадыдөңес көпбұрыштар және барлық шыңдар «бірдей». Бұл әрбір төбеде дұрыс көпбұрыштардың бірдей саны бар екенін білдіреді. Осы анықтаманы пайдаланыңыз. Осылайша сіз бес кәдімгі көпбұрышты таба аласыз.
Көп қырлыларға арналған Эйлер теоремасының алғашқы қадамдары
Гректер бүгінде пентаграмма деп аталатын көпбұрыш туралы білген. Бұл көпбұрышты дұрыс деп атауға болады, өйткені оның барлық қабырғаларының ұзындығы бірдей. Тағы бір маңызды ескерту бар. Тізбектелген екі қабырға арасындағы бұрыш әрқашан бірдей. Бірақ жазықтықта сызған кезде ол дөңес жиынды анықтамайды және көпбұрыштың қабырғалары бір-бірімен қиылысады. Алайда, бұл әрқашан болған жоқ. Математиктер «дөңес емес» тұрақты көп қырлылар идеясын бұрыннан қарастырған. Пентаграмма солардың бірі болды. «Жұлдызды көпбұрыштарға» да рұқсат етілді. «Тұрақты көп қырлылардың» бірнеше жаңа мысалдары ашылды. Енді олар Кеплер-Пуинсо көп қырлы деп аталады. Кейінірек G. S. M. Coxeter және Бранко Грюнбаум ережелерді кеңейтіп, басқа "тұрақты көпбұрыштарды" ашты.
Көп қырлы формула
Бұл сандарды жүйелі түрде зерттеу математика тарихында салыстырмалы түрде ерте басталды. Леонхард Эйлер олардың төбелерінің, беттерінің және жиектерінің санына қатысты формула дөңес 3D көпбұрыштар үшін орындалатынын бірінші байқады.
Ол келесідей:
V + F - E=2, мұндағы V – көп қырлы төбелердің саны, F – көп қырларының саны, E – беттердің саны.
Леонхард Эйлер швейцариялықбарлық уақыттағы ең үлкен және ең өнімді ғалымдардың бірі болып саналатын математик. Ол өмірінің көп бөлігін соқыр болды, бірақ көру қабілетінің жоғалуы оған одан да өнімді болуға себеп болды. Оның атымен аталған бірнеше формулалар бар және біз жаңа ғана қарастырған формуланы кейде Эйлер көп қырлы формуласы деп те атайды.
Бір түсініктеме бар. Алайда Эйлер формуласы белгілі бір ережелерді сақтайтын көп қырлылар үшін ғана жұмыс істейді. Олар пішінде ешқандай тесік болмауы керек деп жатыр. Және оның өзінен-өзі кесіп өтуіне жол берілмейді. Көпбұрышты төбесі бірдей екі текше сияқты біріктірілген екі бөліктен де құра алмайды. Эйлер өзінің зерттеу нәтижесін 1750 жылы Кристиан Голдбахқа жазған хатында атап өтті. Кейінірек ол өзінің жаңа ашқанының дәлелін қалай табуға тырысқанын сипаттайтын екі мақаланы жариялады. Шындығында V + F - E әр түрлі жауап беретін формалар бар. F + V - E=X қосындысының жауабы Эйлер сипаттамасы деп аталады. Оның басқа қыры бар. Кейбір фигуралар тіпті теріс Эйлер сипатына ие болуы мүмкін
График теориясы
Кейде Декарт Эйлер теоремасын ертерек шығарған деп айтылады. Бұл ғалым қажетті формуланы алуға мүмкіндік беретін үш өлшемді көпбұрыштар туралы фактілерді ашқанымен, ол бұл қосымша қадамға бармады. Бүгінгі күні Эйлер графтар теориясының «әкесі» саналады. Ол өз идеяларын пайдалана отырып, Конигсберг көпірі мәселесін шешті. Бірақ ғалым көпбұрышты контексте қарастырған жоқграфикалық теория. Эйлер көпбұрыштың қарапайым бөліктерге ыдырауына негізделген формуланы дәлелдеуге тырысты. Бұл әрекет дәлелдеудің заманауи стандарттарына сәйкес келмейді. Эйлер өз формуласының алғашқы дұрыс негіздемесін бермегенімен, жасалмаған болжамдарды дәлелдей алмайды. Алайда кейінірек дәлелденген нәтижелер Эйлер теоремасын қазіргі уақытта да қолдануға мүмкіндік береді. Бірінші дәлелді математик Адриан Мари Леджендре алған.
Эйлер формуласының дәлелі
Эйлер алдымен көп қырлы формуланы көп қырлылар туралы теорема ретінде тұжырымдады. Бүгінгі күні ол жиі байланысты графиктердің жалпы контекстінде қарастырылады. Мысалы, бір бөлікте орналасқан нүктелер мен оларды қосатын түзу кесінділерінен тұратын құрылымдар ретінде. Огустин Луи Коши осы маңызды байланысты тапқан бірінші адам болды. Ол Эйлер теоремасының дәлелі болды. Ол, мәні бойынша, дөңес көпбұрыштың графигі (немесе бүгінгі күні мұндай деп аталады) сфераға топологиялық гомеоморфты, жазық қосылған графы бар екенін байқады. Бұл не? Жазық график деп жазықтықта оның шеттері тек төбесінде түйісетін немесе қиылысатындай етіп сызылған графикті айтады. Осы жерден Эйлер теоремасы мен графиктер арасындағы байланыс табылды.
Нәтиженің маңыздылығының бір көрсеткіші Дэвид Эпштейннің он жеті түрлі дәлелдер жинай алуы. Эйлердің көп қырлы формуласын негіздеудің көптеген жолдары бар. Белгілі бір мағынада, ең айқын дәлелдер математикалық индукцияны қолданатын әдістер болып табылады. Нәтижесін дәлелдеуге боладыоны графиктің жиектерінің, беттерінің немесе төбелерінің саны бойынша салу.
Радемахер мен Тоеплиц дәлелі
Радемахер мен Тоеплицтің фон Штаудт көзқарасына негізделген келесі дәлелі ерекше тартымды. Эйлер теоремасын негіздеу үшін G жазықтыққа енгізілген байланысқан график болсын делік. Егер оның схемалары болса, оның қосылып қалатын қасиетін сақтайтындай етіп олардың әрқайсысынан бір жиекті алып тастауға болады. Тұйықталусыз қосылған графикке өту үшін жойылған бөліктер мен шексіз шет емес бөліктер арасында бір-бір сәйкестік бар. Бұл зерттеу Эйлер сипаттамасы деп аталатын термин бойынша "бағдарланатын беттерді" жіктеуге әкелді.
Джордан қисығы.теоремасы
Графиктер үшін Эйлер теоремасының көп қырлы формуласын дәлелдеуде тікелей немесе жанама түрде қолданылатын негізгі тезис Иордан қисығына тәуелді. Бұл идея жалпылаумен байланысты. Онда кез келген қарапайым тұйық қисық жазықтықты үш жиынға бөлетіні айтылады: ондағы нүктелер, оның ішінде және сыртында. ХІХ ғасырда Эйлердің көп қырлы формуласына қызығушылық пайда болған сайын, оны жалпылауға көптеген әрекеттер жасалды. Бұл зерттеу алгебралық топологияның дамуының негізін қалады және оны алгебра және сандар теориясымен байланыстырды.
Моебиус тобы
Кейбір беттерді жаһандық деңгейде емес, тек жергілікті деңгейде «бағдарлауға» болатыны көп ұзамай анықталды. Белгілі Möbius тобының мысалы ретінде қызмет етедібеттер. Оны Иоганн Листинг біраз бұрын ашқан. Бұл концепция графтың тектік түсінігін қамтиды: дескрипторлардың ең аз саны g. Оны шардың бетіне қосу керек және оны ұзартылған бетке жиектер тек шыңдарда түйісетіндей етіп салуға болады. Евклидтік кеңістіктегі кез келген бағдарланатын бетті тұтқаларының белгілі бір саны бар шар ретінде қарастыруға болады екен.
Эйлер диаграммасы
Ғалым тағы бір жаңалық ашты, ол әлі күнге дейін қолданылуда. Бұл Эйлер диаграммасы деп аталатын шеңберлердің графикалық көрінісі, әдетте жиындар немесе топтар арасындағы қатынастарды суреттеу үшін қолданылады. Диаграммалар әдетте шеңберлер қабаттасатын аумақтарда араласатын түстерді қамтиды. Жиындар дәл шеңберлермен немесе сопақтармен бейнеленген, бірақ олар үшін басқа фигураларды да қолдануға болады. Қосылым Эйлер шеңберлері деп аталатын эллипстердің қабаттасуымен ұсынылған.
Олар жиындар мен ішкі жиындарды білдіреді. Ерекшелік - қабаттаспайтын шеңберлер. Эйлер диаграммалары басқа графикалық бейнелеумен тығыз байланысты. Олар жиі шатастырады. Бұл графикалық кескін Венн диаграммасы деп аталады. Қарастырылып отырған жиынтықтарға байланысты екі нұсқа да бірдей көрінуі мүмкін. Дегенмен, Венн диаграммаларында қабаттасатын шеңберлер міндетті түрде жиындар арасындағы ортақтікті көрсетпейді, бірақ олардың белгілері болмаса, мүмкін болатын логикалық қатынасты ғана көрсетеді.қиылысатын шеңбер. Екі нұсқа да 1960 жылдардағы жаңа математикалық қозғалыстың бөлігі ретінде жиынтық теориясын оқыту үшін қабылданған.
Ферма және Эйлер теоремалары
Эйлер математика ғылымында елеулі із қалдырды. Алгебралық сандар теориясы оның атымен аталған теоремамен байытылды. Бұл тағы бір маңызды жаңалықтың салдары. Бұл жалпы алгебралық Лагранж теоремасы деп аталады. Эйлердің есімі Ферманың кіші теоремасымен де байланысты. Онда егер р жай сан болса және а бүтін p санына бөлінбейтін болса, онда:
ap-1 - 1 б. бөлінеді
Кейде бір жаңалықтың аты басқаша болады, көбінесе шетел әдебиетінде кездеседі. Бұл Ферманың Рождество теоремасы сияқты естіледі. Мәселе мынада, бұл жаңалық 1640 жылдың 25 желтоқсаны қарсаңында жіберілген ғалымның хатының арқасында белгілі болды. Бірақ мәлімдеменің өзі бұрын да кездесті. Оны Альберт Жирард деген басқа ғалым қолданған. Ферма тек өз теориясын дәлелдеуге тырысты. Автор тағы бір хатында шексіз түсу әдісінен шабыттанғанын меңзейді. Бірақ ол ешқандай дәлел келтірмеді. Кейін Эйдер де сол әдіске бет бұрды. Ал одан кейін - көптеген басқа атақты ғалымдар, соның ішінде Лагранж, Гаусс және Минкоски.
Сәйкестік ерекшеліктері
Ферманың кіші теоремасы Эйлерге байланысты сандар теориясынан алынған теореманың ерекше жағдайы деп те аталады. Бұл теорияда Эйлердің сәйкестік функциясы берілген n бүтін санына дейінгі оң бүтін сандарды санайды. Оларға қатысты өте жақсыn. Сандар теориясындағы Эйлер теоремасы гректің φ әрпі арқылы жазылған және φ(n) сияқты көрінеді. Оны 1 ≦ k ≦ n диапазонындағы gcd(n, k) ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болатын k бүтін сандар саны ретінде ресми түрде анықтауға болады. φ(n) белгісін Эйлердің phi функциясы деп те атауға болады. Бұл түрдегі k бүтін сандары кейде жиынтық деп аталады. Сандар теориясының негізінде Эйлердің сәйкестік функциясы мультипликативті болып табылады, яғни егер m және n екі саны қос жай болса, онда φ(mn)=φ(m)φ(n) болады. Ол сонымен қатар RSA шифрлау жүйесін анықтауда маңызды рөл атқарады.
Эйлер функциясы 1763 жылы енгізілді. Алайда ол кезде математик ол үшін ешқандай нақты таңба таңдаған жоқ. 1784 жылғы басылымда Эйлер бұл функцияны егжей-тегжейлі зерттеп, оны көрсету үшін гректің π әрпін таңдады. Джеймс Сильвестр бұл функция үшін «жалпы» терминін енгізді. Сондықтан оны Эйлердің қосындысы деп те атайды. 1-ден үлкен n натурал санның жалпы φ(n) мәні n-ге дейін салыстырмалы жай болатын n-ден кіші натурал сандар саны.φ(1) 1 ретінде анықталады. Эйлер функциясы немесе phi(φ) функциясы өте маңызды сан – жай сандармен және бүтін сандар реті деп аталатын функциямен терең байланысты функция.
