Қарапайым және қысқаша айтқанда, ауқым кез келген функция қабылдай алатын мәндер болып табылады. Бұл тақырыпты толық ашу үшін келесі тармақтар мен түсініктерді біртіндеп бөлшектеу керек. Алдымен функцияның анықтамасын және оның пайда болу тарихын түсінейік.
Функция дегеніміз не
Барлық нақты ғылымдар бізге қарастырылып отырған айнымалылар қандай да бір түрде бір-біріне тәуелді болатын көптеген мысалдар береді. Мысалы, заттың тығыздығы оның массасы мен көлемімен толығымен анықталады. Тұрақты көлемдегі идеал газдың қысымы температураға байланысты өзгереді. Бұл мысалдар барлық формулалардың функционалдық деп аталатын айнымалылар арасындағы тәуелділіктерімен біріктірілген.
Функция – бір шаманың екінші шамаға тәуелділігін білдіретін ұғым. Оның y=f(x) пішіні бар, мұндағы у – функцияның мәні, ол х – аргументке тәуелді. Осылайша, у – х мәніне тәуелді айнымалы деп айта аламыз. x бірге қабылдай алатын мәндерберілген функцияның анықталу облысы (D(y) немесе D(f)) және тиісінше y мәндері функция мәндерінің жиынын (E(f) немесе E(y)) құрайды. Функция қандай да бір формуламен берілетін жағдайлар бар. Бұл жағдайда анықтау облысы формуласы бар белгілеу мағынасы бар осындай айнымалылардың мәнінен тұрады.
Сәйкес немесе тең мүмкіндіктер бар. Бұл жарамды мәндердің тең диапазонына ие екі функция, сонымен қатар функцияның мәндері бірдей аргументтердің барлығына тең.
Нақты ғылымдардың көптеген заңдары нақты өмірдегі жағдайларға ұқсас аталады. Математикалық функция туралы да осындай қызықты факт бар. Функцияның шегі туралы теорема бар, оларда бірдей шегі бар басқа екеуінің арасында - екі полицей туралы. Олар мұны былай түсіндіреді: екі полицей тұтқынды олардың арасындағы камераға апарып жатқандықтан, қылмыскер сол жерге баруға мәжбүр болады және оның амалы жоқ.
Тарихи мүмкіндік анықтамасы
Функция ұғымы бірден түпкілікті және нақты болған жоқ, ол болу үшін ұзақ жолдан өтті. Біріншіден, Ферманың 17 ғасырдың аяғында жарияланған «Жазық және қатты орындарды енгізу және зерттеу» кітабында мыналар айтылған:
Қорытынды теңдеуде екі белгісіз болса, бос орын бар.
Жалпы, бұл жұмыста функционалдық тәуелділік және оның материалдық бейнесі (орын=сызық) туралы айтылады.
Сонымен қатар шамамен сол уақытта Рене Декарт өзінің «Геометрия» (1637) еңбегінде сызықтарды олардың теңдеулері бойынша зерттеді, мұнда тағы да фактекі шаманың бір-біріне тәуелділігі.
«Функция» терминінің аталуының өзі тек 17 ғасырдың аяғында Лейбницте пайда болды, бірақ оның қазіргі түсіндірмесінде емес. Ол өзінің ғылыми жұмысында функцияны қисық сызықпен байланысты әр түрлі сегменттер деп есептеді.
Бірақ 18 ғасырда функция дұрысырақ анықтала бастады. Бернулли мынаны жазды:
Функция айнымалы мен тұрақтыдан тұратын мән болып табылады.
Эйлердің ойлары да осыған жақын болды:
Айнымалы шама функциясы - бұл айнымалы шама мен сандар немесе тұрақты шамалар қандай да бір жолмен жасалған аналитикалық өрнек.
Кейбір шамалар басқаларға тәуелді болса, соңғысы өзгергенде, өзі де өзгереді, онда біріншісі соңғысының функциялары деп аталады.
Функция графигі
Функция графигі абсциссалары аргумент мәндерін қабылдайтын координаталық жазықтықтың осьтеріне жататын барлық нүктелерден тұрады, ал функцияның осы нүктелердегі мәндері ордината болып табылады.
Функцияның ауқымы оның графигімен тікелей байланысты, өйткені жарамды мәндер диапазонында қандай да бір абсциссалар алынып тасталса, онда графикке бос нүктелер салу немесе белгілі бір шектерде графикті салу қажет. Мысалы, y=tgx түріндегі график алынса, онда x=pi / 2 + pin, n∉R мәні анықтау аймағынан алынып тасталады, жанама граф жағдайында сызу керек.±pi/2 нүктелері арқылы өтетін у осіне параллель тік түзулер (олар асимптоталар деп аталады).
Функцияларды кез келген мұқият және мұқият зерттеу математиканың есептеу деп аталатын үлкен саласын құрайды. Бастауыш математикада функциялар туралы қарапайым сұрақтар да қозғалады, мысалы, қарапайым график құру және функцияның кейбір негізгі қасиеттерін орнату.
Қандай функцияны орнатуға болады
Функция мүмкін:
- формула бол, мысалы: y=cos x;
- пішіннің кез келген жұп кестесімен орнатылады (x; y);
- бірден графикалық көрініске ие болыңыз, ол үшін пішіннің алдыңғы тармағының (x; y) жұптары координаталық осьтерде көрсетілуі керек.
Кейбір жоғары деңгейлі есептерді шешкенде абай болыңыз, кез келген дерлік өрнек y (x) функциясының мәніне қатысты кейбір аргументке қатысты функция ретінде қарастырылуы мүмкін. Мұндай тапсырмаларда анықтау аймағын табу шешімнің кілті болуы мүмкін.
Қандай мүмкіндік бар?
Функцияны зерттеу немесе құру үшін ең бірінші білуіңіз керек нәрсе - оның қолданылу аясы. Графикте функция болуы мүмкін нүктелер ғана болуы керек. Анықтау доменін (x) қолайлы мәндер домені (ODZ ретінде қысқартылған) деп те атауға болады.
Функциялар графигін дұрыс және жылдам құру үшін бұл функцияның облысын білу керек, өйткені графиктің көрінісі мен нақтылығы соған байланыстықұрылыс. Мысалы, y=√x функциясын құру үшін x тек оң мәндерді қабылдай алатынын білу керек. Сондықтан ол тек бірінші координаталық квадрантта салынған.
Элементар функциялар мысалындағы анықтама көлемі
Өзінің арсеналында математика қарапайым, анықталған функциялардың аз санына ие. Олардың шектеулі ауқымы бар. Бұл мәселенің шешімі сіздің алдыңызда күрделі функция деп аталатын болса да, қиындық тудырмайды. Бұл бірнеше қарапайымдардың қосындысы ғана.
- Сонымен, функция бөлшек болуы мүмкін, мысалы: f(x)=1/x. Осылайша, айнымалы (біздің аргумент) бөлгіште болады және бөлшектің бөлгіші 0-ге тең бола алмайтынын бәрі біледі, сондықтан аргумент 0-ден басқа кез келген мәнді қабылдай алады. Белгілеу келесідей болады: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Егер бөлгіште айнымалысы бар қандай да бір өрнек болса, онда сіз x теңдеуін шешіп, бөлгішті 0-ге айналдыратын мәндерді алып тастауыңыз керек. Схематикалық бейнелеу үшін жақсы таңдалған 5 нүкте жеткілікті. Бұл функцияның графигі тік асимптотасы (0; 0) нүктесі арқылы және комбинацияда Ox және Oy осьтері арқылы өтетін гипербола болады. Егер графикалық кескін асимптоттармен қиылыса, онда мұндай қате ең өрескел болып саналады.
- Бірақ түбірдің домені қандай? Құрамында айнымалысы бар (f(x)=√(2x + 5)) радикалды өрнегі бар функцияның анықталу облысы да өз нюанстарына ие (тек жұп дәрежелі түбірге қатысты). ретіндеарифметикалық түбір оң өрнек немесе 0-ге тең болса, онда түбір өрнек 0-ден үлкен немесе тең болуы керек, келесі теңсіздікті шешеміз: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, сондықтан осының анықталу облысы функциясы: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). График - параболаның 90 градусқа бұрылған тармақтарының бірі, бірінші координаталық квадрантта орналасқан.
- Егер біз логарифмдік функциямен айналысатын болсақ, онда логарифм негізіне және логарифм таңбасының астындағы өрнекке қатысты шектеу бар екенін есте ұстаған жөн, бұл жағдайда анықтау облысын келесідей табуға болады: артынан. Бізде функция бар: y=loga(x + 7), теңсіздікті шешеміз: x + 7 > 0, x > -7. Сонда бұл функцияның анықталу облысы D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Сонымен қатар y=tgx және y=ctgx түріндегі тригонометриялық функцияларға назар аударыңыз, өйткені y=tgx=sinx/cos/x және y=ctgx=cosx/sinx, сондықтан мәндерді алып тастау керек онда бөлгіш нөлге тең болуы мүмкін. Егер сіз тригонометриялық функциялардың графиктерімен таныс болсаңыз, олардың анықталу облысын түсіну қарапайым тапсырма болып табылады.
Күрделі функциялармен жұмыс істеу қалай ерекшеленеді
Бірнеше негізгі ережелерді есте сақтаңыз. Егер біз күрделі функциямен жұмыс жасайтын болсақ, онда бірдеңені шешудің, жеңілдетудің, бөлшектерді қосудың, ең кіші ортақ бөлімге келтірудің және түбірлерді алудың қажеті жоқ. Біз бұл функцияны зерттеуіміз керек, себебі әртүрлі (тіпті бірдей) әрекеттер функцияның ауқымын өзгертіп, қате жауап беруі мүмкін.
Мысалы, бізде күрделі функция бар: y=(x2 - 4)/(x - 2). Бөлшектің алымы мен бөлімін азайта алмаймыз, өйткені бұл тек x ≠ 2 болғанда ғана мүмкін болады және бұл функцияның анықталу облысын табу міндеті, сондықтан алымға көбейткіштерді қоспаймыз және ешқандай теңсіздіктерді шешпейміз, өйткені көзге көрінетін функция жоқ мән. Бұл жағдайда х 2 мәнін қабылдай алмайды, азайғыш 0-ге бара алмайтындықтан, белгілеу келесідей болады: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Қатар функциялар
Бастау үшін функция тек ұлғаю немесе азаю интервалында ғана қайтымды бола алатынын айта кеткен жөн. Кері функцияны табу үшін белгілеудегі х пен уды ауыстырып, х теңдеуін шешу керек. Анықтау домендері мен мән домендері жай ғана керісінше.
Қайтымдылықтың негізгі шарты функцияның монотонды интервалы болып табылады, егер функцияның өсу және кему интервалдары болса, онда кез келген бір интервалдың кері функциясын (өсу немесе кему) құруға болады.
Мысалы, y=exкөрсеткіштік функция үшін y=logea=lna. Тригонометрия үшін бұл arc- префиксі бар функциялар болады: y=sinx және y=arcsinx және т.б. Графиктер кейбір осьтерге немесе асимптоттарға қатысты симметриялы түрде орналастырылады.
Қорытынды
Қабылданатын мәндер диапазонын іздеу функциялар графигін (егер бар болса) зерттеуге жатады.теңсіздіктердің қажетті нақты жүйесін жазу және шешу.
Сонымен, бұл мақала функцияның ауқымы не үшін екенін және оны қалай табуға болатынын түсінуге көмектесті. Бұл сізге негізгі мектеп курсын жақсы түсінуге көмектеседі деп үміттенеміз.
