Геометрия аксиомаларының бірі кез келген екі нүкте арқылы бір түзу сызық жүргізуге болатынын айтады. Бұл аксиома көрсетілген бір өлшемді геометриялық нысанды бірегей сипаттайтын бірегей сандық өрнек бар екенін куәландырады. Мақалада екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін қалай жазу керек деген сұрақты қарастырайық.
Нүкте және түзу дегеніміз не?
Кеңістікте және жазықтықта әртүрлі нүктелер жұбынан өтетін теңдеудің түзу сызығын салу мәселесін қарастырмас бұрын, көрсетілген геометриялық объектілерді анықтау керек.
Нүкте координаталар осінің берілген жүйесіндегі координаталар жиынымен бірегей түрде анықталады. Олардан басқа, нүкте үшін артық сипаттамалар жоқ. Ол нөл өлшемді нысан.
Түзу туралы айтқанда, әр адам ақ қағазда бейнеленген сызықты елестетеді. Бұл ретте дәл геометриялық анықтама беруге боладыбұл нысан. Түзу сызық деп олардың әрқайсысының басқаларымен байланысы параллель векторлар жиынын беретін нүктелердің жиынтығын айтады.
Бұл анықтама түзудің векторлық теңдеуін орнату кезінде пайдаланылады, ол төменде талқыланады.
Кез келген сызықты ерікті ұзындықтағы кесіндімен белгілеуге болатындықтан, ол бір өлшемді геометриялық нысан деп аталады.
Сан векторы функциясы
Өтетін түзудің екі нүктесі арқылы өтетін теңдеуді әртүрлі формада жазуға болады. Үш өлшемді және екі өлшемді кеңістіктерде негізгі және интуитивті түсінікті сандық өрнек вектор болып табылады.
Бағытталған u¯(a; b; c) сегменті бар деп есептейік. 3D кеңістігінде u¯ векторы кез келген нүктеден басталуы мүмкін, сондықтан оның координаттары параллель векторлардың шексіз жиынын анықтайды. Дегенмен, егер біз белгілі бір нүктені таңдасақ P(x0; y0; z0) және ол u¯ векторының басы ретінде, онда бұл векторды ерікті нақты λ санына көбейткенде, кеңістіктегі бір түзудің барлық нүктелерін алуға болады. Яғни, векторлық теңдеу былай жазылады:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Жазықтықтағы жағдай үшін сандық функция келесі пішінді алатыны анық:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Теңдеудің бұл түрінің басқалармен салыстырғандағы артықшылығы (сегменттерде, канондық,жалпы нысаны) бағыт векторының координаталарын анық қамтитынында жатыр. Соңғысы көбінесе түзулердің параллель немесе перпендикуляр екенін анықтау үшін қолданылады.
Екі өлшемді кеңістіктегі түзу үшін сегменттердегі жалпы және канондық функция
Есептерді шығарғанда кейде екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін белгілі, нақты формада жазу керек. Сондықтан екі өлшемді кеңістікте бұл геометриялық нысанды көрсетудің басқа тәсілдерін беру керек (қарапайымдылық үшін жағдайды жазықтықта қарастырамыз).
Жалпы теңдеуден бастайық. Оның пішіні бар:
Ax + By + C=0
Ереже бойынша, жазықтықта түзу теңдеуі осы түрде жазылады, тек y x арқылы анық анықталады.
Енді жоғарыдағы өрнекті келесідей түрлендіріңіз:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Бұл өрнек сегменттердегі теңдеу деп аталады, өйткені әрбір айнымалыға арналған бөлгіш түзу сегментінің бастапқы нүктеге (0; 0) қатысты сәйкес координат осінде қанша уақыт қиылғанын көрсетеді.
Канондық теңдеуге мысал келтіру қалды. Ол үшін вектор теңдігін анық жазамыз:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Осыдан λ параметрін өрнектеп, алынған теңдіктерді теңестірейік:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - ж0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Соңғы теңдік канондық немесе симметриялық түрдегі теңдеу деп аталады.
Олардың әрқайсысын векторға және керісінше түрлендіруге болады.
Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі: құрастыру техникасы
Мақаланың сұрағына оралу. Кеңістікте екі нүкте бар делік:
M(x1; y1; z1) және N(x 2; y2; z2)
Олар арқылы жалғыз түзу өтеді, олардың теңдеуін векторлық түрде құру өте оңай. Ол үшін MN¯ бағытталған сегментінің координаталарын есептейміз, бізде:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Бұл вектор теңдеуі алынуы керек түзу сызық үшін бағыттаушы болатынын болжау қиын емес. Оның M және N арқылы да өтетінін біле отырып, векторлық өрнек үшін олардың кез келгенінің координаталарын пайдалануға болады. Содан кейін қажетті теңдеу мына пішінді алады:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Екі өлшемді кеңістіктегі жағдай үшін z айнымалысының қатысуынсыз ұқсас теңдік аламыз.
Сызықтың векторлық теңдігі жазылғаннан кейін оны мәселенің сұрағы талап ететін кез келген басқа пішінге аударуға болады.
Тапсырма:жалпы теңдеуді жазыңыз
Координаталары (-1; 4) және (3; 2) нүктелер арқылы түзу өтетіні белгілі. Олар арқылы өтетін түзудің теңдеуін жалпы түрде у-ны х арқылы өрнектейтін теңдеу құру керек.
Есепті шешу үшін алдымен теңдеуді векторлық түрде жазамыз. Вектор (бағыттаушы) координаталары:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Онда түзу теңдеуінің векторлық түрі келесідей болады:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Оны жалпы түрде y(x) түрінде жазу қалды. Біз бұл теңдікті нақты түрде қайта жазып, λ параметрін өрнектеп, оны теңдеуден шығарамыз:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-ж)/2
Алынған канондық теңдеуден у-ны өрнектеп, есептің сұрағына жауап береміз:
y=-0,5x + 3,5
Бұл теңдіктің дұрыстығын мәселе мәлімдемесінде көрсетілген нүктелердің координаталарын ауыстыру арқылы тексеруге болады.
Мәселе: кесіндінің ортасынан өтетін түзу
Енді бір қызықты мәселені шешейік. Екі M(2; 1) және N(5; 0) нүктелері берілген делік. Нүктелерді қосатын кесіндінің ортасынан түзу өтетіні және оған перпендикуляр болатыны белгілі. Кесіндінің ортасынан өтетін түзудің теңдеуін векторлық түрде жазыңыз.
Қажетті сандық өрнекті осы центрдің координатасын есептеу және бағыт векторын анықтау арқылы құруға болады.сегмент 90o бұрыш жасайды.
Сегменттің ортаңғы нүктесі:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Енді MN¯ векторының координаталарын есептейік:
MN¯=N - M=(3; -1)
Қажетті түзудің бағыт векторы MN¯-ге перпендикуляр болғандықтан, олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең. Бұл рульдік вектордың белгісіз координаттарын (a; b) есептеуге мүмкіндік береді:
a3 - b=0=>
b=3a
Енді вектор теңдеуін жаз:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Мұнда біз aλ өнімін жаңа β параметрімен ауыстырдық.
Осылайша, кесіндінің ортасынан өтетін түзудің теңдеуін жасадық.
