Дифференциация және интеграция: анықтамасы, түсінігі, формалары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-08 04:57

Дифференциалдау және интегралдау – туындылары бар теңдеу. Соңғылары, егер математикалық қасиеттерді ұстанатын болсақ, қарапайым және жеке болып бөлінеді. Туындылар өзгеру жылдамдығын білдіреді, ал дифференциалдық теңдеу жаңа айнымалыларды құра отырып, шешім процесі кезінде үнемі өзгеретін шама арасындағы байланысты сипаттайды.

Университет профессоры интегралдармен күрделі операцияларды оңай шарлай алады, оларды бір бүтінге түрлендіреді, содан кейін кері әдіспен есептеуді дәлелдей алады. Дегенмен, күрделі формулалардың мәліметтерін жылдам еске түсіру мүмкіндігі барлығына бірдей қолжетімді емес, сондықтан жадты жаңарту немесе жаңа материалды ашу ұсынылады.

Мағынасы және негізгі қолданылуы

Ғылыми әдебиеттерде туынды функция оның айнымалыларының біріне негізделген түрлендіруге жататын жылдамдық ретінде анықталады. Дифференциация - бұл нүктеге жанама іздеудің басымен салыстыруға болатын есептеудің мәні. Өздеріңіз білетіндей, соңғысының әртүрлі түрлері баріздеу үшін есептеу формулаларын қажет етеді. Р нүктесіндегі графикке жанаманың еңісін табу керек делік. Мұны қалай жасауға болады? Белгіленген нысан арқылы доғалы жолақ сызып, бөлінген сызық алғанша оны жоғары көтеру жеткілікті.

Х нүктесіндегі f функциясы, егер f '(a) туындысы оның доменінің әрбір белгілеуінде бар болса, x=a нүктесінде дифференциалданатын деп аталады. Мысал көрсетейік:

f '(а)=lim (h=0) × f(а + h) – f(а)/h

Теңдеуді дифференциалдау мен функцияларды интегралдауға бағындыру үшін оның орналасуы кез келген x нүктесінде мүмкін болатындай етіп, оны үзбеу керек. Схематикалық кескінді алдын ала құрастыру арқылы сіз мәлімдеменің дұрыстығын тексере аласыз. Дәл осы себепті f'(x) домені оның шектерінің болуымен анықталады.

y=f(x) х-тің функциясы деп есептейік, онда f(x) туындысы dy/dx түрінде берілген. Ол сондай-ақ сызықтық теңдеу ретінде анықталады, мұнда y бойынша қажетті деректерді табу қажет.

Алайда бірінші жағдайда у-ның туындысын іздесек, келесі жағдайда x-тің f(x) мәнін табу керек.

d/dx × (f(x)) l_a немесе df/dx l_a

Демек, f(x) функциясының оның бетінде жатқан а нүктесіндегі х-ке қатысты өзгеру жылдамдығының белгіленуі.

Егер біз өз облысы бойынша дифференциалданатын f' туындысын білсек, онда оның f мәнін таба аламыз. Интегралдық есептеуде f' функциясының антитуынды немесе примитивін f деп атаймыз. Оны есептеу әдісі антидифференциация ретінде белгілі.немесе интеграция.

Түрлері мен пішіндері

Тәуелсізге қатысты тәуелді айнымалының туындыларын қамтитын бір немесе бірнеше мүшесі бар теңдеу дифференциал деп аталады. Басқаша айтқанда, ол шешу процесінде өзгеруі мүмкін қарапайым немесе жеке сандық мәндер жинағынан тұрады.

Қазіргі таңда дифференциалдық теңдеулердің келесі түрлері бар.

Қарапайым. Айнымалыға тікелей тәуелді қарапайым теңдік:

dy/dx + 5x=5y

Ішінара туындылар:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²y/dx² – c² × d² y/dt²

Ең жоғары коэффициент. Бұл түр төмендегі мысалда көрсетілгендей дифференциалдық теңдеу ретіне қатысумен сипатталады, мұнда ол 3-ке тең. Бұл сан қатысқандардың ең үлкені болып саналады:

d³y/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

Функциялар бірнеше пішінде болуы мүмкін, дегенмен интегралдау және дифференциалдау формулалары бар бір тырнақшаны қолданған дұрыс.

y’=dy/dx

y''=d²y/dx²

y'''=d³y/dx³

Сызықтық. Теңдеудегі айнымалы бір дәрежеге дейін көтеріледі. Мұндай функцияның графигі әдетте түзу болады. Мысалы, (3x + 5), бірақ (x³ + 4x^{2) бұл түрге жатпайды, себебі ол басқа шешімді қажет етеді.}

dy/dx + xy=5x

Сызықты емес. Кез келген интегралдау және теңдікті алудың қосарлы жолдары бар қатарларды дифференциалдау - қарастырылатын пішінді қараңыз:

d²y/dx^{2- ln y=10}

Нәтижелерді жылдам алу әдістері

Алған білімді тәжірибеде қалай жеңуге және қолдануға болатынын анықтау үшін пішінге қарау жеткіліксіз. Қазіргі уақытта дифференциалдық теңдеуді шешудің бірнеше жолы бар.

Бұл:

1. Айнымалыларды бөлу. Мысалды dy / dx=f(y) g(x) ретінде салуға болатын кезде орындалады. Ерекшелік мынада: f және g олардың мәндеріне жататын функциялар. Осыған байланысты есепті түрлендіру керек: 1/ f(y) dy=g(x) dx. Содан кейін ғана келесі элементке өтіңіз.
2. Интеграциялық фактор әдісі. Мысал dy / dx + p(x) y=q(x) болғанда пайдаланылады, мұнда p және q тек x функциясы болып табылады.

Бірінші ретті дифференциалдық есептеулер y'+ P(x) y=Q(x) сияқты көрінеді, өйткені оларда қажетті функциялар мен y туындысы бар. Атаудың кейінгі көбеюі сол принцип бойынша жұмыс істейді. Мысалы, белгісіз функцияның туындылары жеке және қарапайым болуы мүмкін.

Анықталмаған интегралдар

Сізге серуендеуге шыққанда, уақытқа байланысты велосипедіңіздің жылдамдығы берілсе - жұмсалған минуттар арқылы жүріп өткен жолды есептей аласыз ба? Бұл тапсырма ауыр жүк сияқты көрінеді, бірақ интегралдарнәтижеге қол жеткізіп, осы қасиеттермен мүмкіндігінше тиімді күресуге көмектесіңіз.

Ғылыми әдебиеттерде олардың дифференциацияның екінші жағы екенін атап өтеді. Шынында да, интеграция - заттарды біріктіру әдісі. Ол бөлшектерді бір-бірімен байланыстырады, жаңа нәрсе жасайды - тұтас. Кез келген ұқсас мысалдағы ең бастысы анықталмаған интегралдарды табу және дифференциалдау арқылы интегралдау нәтижелерін тексеру. Бұл қажетсіз қателерді болдырмауға көмектеседі.

Егер кез келген кездейсоқ қисықтың ауданын тапқыңыз келсе, мысалы, y=f(x), онда осы әдісті пайдаланыңыз. Есіңізде болсын, тек мұқият болу ғана сізді қателіктен құтқарады.

Шешім формулалары

Сонымен, дифференциалдау және интегралдаудың негізгі ұғымымен – функциялар арқылы кері есептеумен танысқан соң, кейбір негіздерге қысқаша шолу жасау қажет. Олар төменде берілген.

Негізгі есептеу ережелері

f (x) сияқты интегралды функцияларды теңдікке оңай аударуға болады, егер теңдеу келесі түрде өрнектелсе:

∫ f(x) dx=F(x) + C.

Мұнда F (x) антитуынды немесе қарабайыр деп аталады. f(x) - интеграл. dx - қосымша сандық агент ретінде әрекет етеді. С – интегралды немесе ерікті тұрақты. x - теңдік жағына байланысты әрекет етеді.

Жоғарыдағы тұжырымнан біз қатарлардың интегралдауы мен дифференциалдануы қарама-қарсы екі процесс деген қорытынды жасауға болады. Олар бірге бағытталған операциялардың бір түрі ретінде әрекет етедітеңдеудің өзінде орындалған соңғы нәтижені алу.

Енді біз есептеудің мүмкіндіктері туралы көбірек білеміз, әрі қарай түсіну үшін қажетті негізгі айырмашылықтарды бөліп көрсету ұсынылады:

1. Дифференциалдау және интеграция бір уақытта сызықтық ережелерді қанағаттандыра алады.
2. Операциялар ең дәл шешімді табуға бағытталған, дегенмен олардың анықтауында шектеулер бар.
3. Көпмүшелік мысалды дифференциалдау кезінде нәтиже функцияның дәрежесінен 1-ге кем болады, ал интегралдау жағдайында алынған нәтиже керісінше әрекет ететін басқа нәтижеге түрлендіріледі.
4. Екі шешім түрі, бұрын айтылғандай, бір-біріне қарама-қарсы. Олар интегралдау және дифференциалдау формулалары арқылы есептеледі.
5. Кез келген функцияның туындысы бірегей, бірақ, екінші жағынан, бір мысалдағы екі интеграл тұрақты мәнмен ерекшеленуі мүмкін. Дәл осы ереже тапсырмаларды орындау кезінде негізгі қиындық тудырады.
6. Туынды құралдармен жұмыс істегенде, біз бір нүктеде туынды құралдарды қарастыра аламыз. Интегралдар сияқты, олар аралықта функцияларды қамтамасыз етеді.
7. Геометриялық түрде туынды шаманың басқа шамаға қатысты өзгеру жылдамдығын сипаттайды, ал анықталмаған интеграл қисық сызықты көрсетеді. Ол параллель бағытта орналастырылған және айнымалы мәнді білдіретін оське ортогональды басқа сызықтармен қиылысатын кезде жанамалары болады.

Қосу әдістері

Қосындылау әдісіне қатысты мәселе туындасаИнтегралдауды дифференциалдаудың математикалық амалдары, негізгі формулалармен мұқият танысу керек. Олар оқытудағы аксиома болып табылады, сондықтан олар барлық жерде қолданылады. Өз мысалдарыңызға қолданылғанда, формулалар i=1-ден басталса ғана дұрыс болатынын ескеріңіз.

Бір бөлікті шешу

Кейде функция түпкілікті нәтижеге жету және теңдік шарттарын қанағаттандыру үшін стандартты емес тәсілді қажет етеді. Терминдік интегралдау және қатарларды дифференциалдау сәйкестендіруге негізделген, ол мына түрде өрнектеледі: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

Қарастырылған техниканың алгоритмі келесідей:

1. Біріктірілген функцияны екі өрнектің туындысы ретінде өрнектеңіз. Олардың біреуін f (x), екіншісін g' (x) деп белгілейік.
2. Енді бірінші абзацта қолдануға болатын басқа екі формуланы анықтауды жалғастырыңыз. Сызық өзгереді. Дифференциалдау арқылы f(x) өрнектерін алу үшін f '(x) түрлендіреміз. Басқа бөлікке көшейік - g (x) g'(x) интегралданған. Бұл жағдайда dx бастапқы түрінде қалады және пайдаланылмайды.
3. Алынған өрнектерді формулаға бөліктерге бөліп енгізіңіз. Бұл процедураны аяқтайды және енді оң жақтағы жаңа интегралды бағалауға болады, өйткені оны түсіну оңайырақ болды.

Бұрын бұл әдіс матрицаны пайдаланып бөліктер бойынша біріктіруді қамтыды. Әдіс сәтті болды, бірақ көп уақытты алды, өйткені қазіргі уақытта ол сирек қолданылады, арнайышешімін табу мүмкін емес дерлік жағдайларда. Ол үшін бірінші жолға f және g' сандарын қойып, екіншісіне f ' және g сандарын есептеңіз.

Бөлшектерге біріктіру не үшін қажет?

Жағдайлар басқаша болады. Кейде шешімдер бірінші көзқарасқа қарағанда әлдеқайда қиын. Сондықтан дәрежелік қатарларды терминдік интегралдау және дифференциалдау кезінде жиі кездесетін негізгі мәселелерді бөліп көрсету қажет. Екі негізгі ережені қарастырыңыз.

Біріншіден, біз біріктіруге ниеттеніп отырған бөлікті, яғни g '(x) үшін таңдалған бөлікті түрлендіруге қабілетті болуымыз керек. Мұны мүмкіндігінше тезірек жасау маңызды. Мәселе мынада, g үшін күрделі интеграция сирек күрделілікті арттыра отырып, жақсартылған интегралға әкеледі. Мұның бәрі шешім қабылдау кезіндегі әрекеттеріміздің еркіндігіне теріс әсер етеді, сонымен қатар қуаттарға, синустарға және косинустарға байланысты. Дұрыс жауапты табу үшін уақыт қажет, бірақ шатастыратын жауапқа емес, дұрыс жауапқа жетелеңіз.

Екіншіден, қалғанның бәрі, яғни F-ді ажыратуға және белгілеуге ниет білдірген бөлік түрлендіруден кейін айтарлықтай ерекшеленуі керек. Қарапайым процедурадан кейін біз жаңа интеграл оның алдындағыға қарағанда жеңілдетілгенін байқаймыз.

Сонымен, біз екі ережені біріктіріп, оны шешу үшін пайдаланған кезде, қуат функцияларының дифференциациясын және интеграциясын пайдалану мүмкіндігін аламыз, бұл бөліктерде қарастыру мағынасы бар.

Түрлі түрлендірулерді тиімді пайдалануға мүмкіндік беретін x-ті жою әдісі де бар.жағдайлар. Мысалы, функцияны көпмүшеге көбейту арқылы оңай интегралдауға болады, оны дифференциалдау арқылы жоямыз.

∫ x^{2 sin(3x) dx}

∫ x^{7 cos(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

f үшін біз x-тің дәрежесін аламыз (жалпы жағдайда, көпмүше), сондай-ақ g’ пайдаланамыз. Әлбетте, әрбір дифференциалдау санның дәрежесін бір-біріне азайтады, сондықтан мысалда ол жеткілікті жоғары болса, термин бойынша интеграцияны бірнеше рет қолданыңыз. Бұл уақытты үнемдеуге көмектеседі.

Кейбір теңдеулердің күрделілігі

Бұл жағдайда біз дәрежелік қатарларды дифференциалдау және біріктіру туралы айтып отырмыз. Функцияны x нүктелердің жинақтылық интервалының ауданы ретінде қарастыруға болады. Рас, әдіс бәріне жарамайды. Өйткені кез келген функцияларды сызықтық құрылымға түрленетін дәрежелік қатарлар түрінде көрсетуге болады және керісінше.

Мысалы, e_{x берілген. Біз оны теңдеу ретінде көрсете аламыз, ол шын мәнінде шексіз көпмүше болып табылады. Қуат қатарын есептеу арқылы оңай көруге болады, бірақ ол әрқашан тиімді бола бермейді.}

Анықталған интеграл қосындының шегі ретінде

Келесі графикалық интеграция мен дифференциацияны қараңыз.

Күрделі функцияны оңай түсіну үшін оны мұқият түсіну жеткілікті. y=f (x) қисығы, x осі және «x=a» және «x=b» координаталары арасындағы PRSQP ауданын бағалайық. Енді [a, b] аралығын келесімен белгіленген 'n' тең ішкі интервалдарға бөліңізосылайша:

[x₀, x₁], [x₁, x ₂], [x₂, x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Мұнда x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2сағ, x₃=a + 3сағ….. x_r=a + rh және x =b=a + nh немесе n=(b - a) / h. (бір).

Н → ∞ h → 0 ретінде ескеріңіз.

Қарастырылған PRSQP кеңістігі – әрқайсысы белгілі бір орташалықпен анықталған барлық «n» қосалқы домендерінің қосындысы [x_r-1, x_{r], r=1, 2, 3…n. Дұрыс тәсілмен бұл функцияларды жылдам шешу үшін саралауға және біріктіруге болады.}

Енді суреттегі ABDM-ге қараңыз. Осыған сүйене отырып, аймақтар туралы келесі ескертулерді жасаған жөн: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Сонымен қатар h → 0 немесе x_r - x_{r-1 → 0 болғанда, барлық үш аймақ бір-біріне дерлік тең болатынын ескеріңіз. дос. Сондықтан бізде:}

s =сағ [f(x₀) + f(x₁) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

немесе S =h [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

Бұл жағдайда s және S [х аралықтарынан жоғары көтерілген барлық төменгі және жоғарғы төртбұрыштардың аудандарының қосындысын білдіреді. _r–1, x_{r] r=1, 2, 3, …, n сәйкесінше. Мұны перспективаға келтіру үшін (1) теңдеуді келесі түрде қайта жазуға боладыпішін:}

s < аймақ аймағы (PRSQP) < S_{… (4)}

Сонымен қатар, шекті мәндер (2) және (3) екі жағдайда да бірдей және тек қисық астындағы аудан ортақ деп есептеледі. Нәтижесінде бізде:

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=PRSQP аймақтары=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

Аумақ сонымен қатар қисық астындағы және қисық үстіндегі тіктөртбұрыштар арасындағы кеңістіктің шегі болып табылады. Ыңғайлы болу үшін әр субинтервалдың сол жақ шетіндегі қисыққа тең фигураның биіктігіне назар аудару керек. Сондықтан теңдеу соңғы нұсқаға қайта жазылады:

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞сағ [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}сағ)]}

немесе ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}сағ)]}

Қорытынды

Дифференциация мен интеграция бір-бірінен бірқатар қасиеттерімен, формулаларымен және қарама-қарсы өзгерістерімен ерекшеленеді. Біреуінің көмегінсіз екіншісіне айналуы мүмкін емес. Егер дифференциалдау туындыны табуға көмектессе, онда интеграция мүлде басқа әрекетті орындайды. Ол кейбір бөліктерді қосады, оларды азайту арқылы дәрежелерге көмектесе алады немесе жеңілдету арқылы мысалды жақсартады.

Ол сонымен қатар дифференциалданған теңдеулерді тексеру үшін қолданылады. Басқаша айтқанда, олар бір-бірін толықтыратындықтан, бөлек өмір сүре алмайтын біртұтас бірлік ретінде әрекет етеді. Ережелерді қолдану, көптеген әдістерді білу, енді сізге шешуге кепілдік беріледіқиын тапсырмалар.