Сызық пен жазықтық – 2D және 3D кеңістігінде әртүрлі пішіндерді салу үшін пайдалануға болатын ең маңызды екі геометриялық элемент. Параллель түзулер мен параллель жазықтықтар арасындағы қашықтықты қалай табуға болатынын қарастырыңыз.
Математикалық тапсырма түзу
Мектептегі геометрия курсынан екі өлшемді тікбұрышты координаталар жүйесінде түзуді келесі формада көрсетуге болатыны белгілі:
y=kx + b.
Мұндағы k және b сандар (параметрлер). Жазықтықтағы түзуді бейнелеудің жазбаша түрі үш өлшемді кеңістікте z осіне параллель болатын жазықтық болып табылады. Осыны ескере отырып, бұл мақалада түзудің математикалық тағайындалуы үшін біз ыңғайлырақ және әмбебап пішінді - векторды қолданамыз.
Түзуіміз қандай да бір u¯(a, b, c) векторына параллель және P(x0,нүктесі арқылы өтеді делік.y0, z0). Бұл жағдайда векторлық түрде оның теңдеуі келесідей көрсетіледі:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Мұнда λ кез келген сан. Жазбаша өрнекті кеңейту арқылы координаталарды анық көрсетсек, онда түзу жазудың параметрлік түрін аламыз.
Параллель түзулер арасындағы қашықтықты анықтау қажет болатын әртүрлі есептерді шешу кезінде векторлық теңдеумен жұмыс істеу ыңғайлы.
Сызықтар және олардың арасындағы қашықтық
Сызықтар арасындағы қашықтық туралы олар параллель болған кезде ғана айтудың мәні бар (үш өлшемді жағдайда қиғаш сызықтар арасында нөлдік емес қашықтық та бар). Егер сызықтар қиылысатын болса, олардың бір-бірінен нөлдік қашықтықта екені анық.
Параллель түзулердің арақашықтығы – оларды қосатын перпендикулярдың ұзындығы. Бұл көрсеткішті анықтау үшін түзулердің бірінде ерікті нүктені таңдап, одан екіншісіне перпендикуляр түсіру жеткілікті.
Қажетті қашықтықты табу процедурасын қысқаша сипаттайық. Келесі жалпы формада берілген екі жолдың векторлық теңдеулерін білеміз делік:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Осы түзулерге бір қабырғасы PQ, ал екіншісі, мысалы, u болатындай параллелограмм сал. Әлбетте, бұл фигураның P нүктесінен түсірілген биіктігі қажетті перпендикулярдың ұзындығы болып табылады. Оны табу үшін келесі қарапайым әрекетті қолдануға боладыформула:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Түзулер арасындағы қашықтық олардың арасындағы перпендикуляр кесіндінің ұзындығы болғандықтан, жазбаша өрнекке сәйкес PQ¯ және u¯ векторлық көбейтіндісінің модулін тауып, нәтижені келесіге бөлу жеткілікті. u¯ векторының ұзындығы.
Түзулер арасындағы қашықтықты анықтауға арналған тапсырманың мысалы
Екі түзу келесі векторлық теңдеулер арқылы берілген:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Жазылған өрнектерден бізде екі параллель түзу бар екені көрініп тұр. Шынында да, егер бірінші жолдың бағыт векторының координаталарын -1-ге көбейтсек, екінші жолдың бағыт векторының координаталарын аламыз, бұл олардың параллельдігін көрсетеді.
Түзулер арасындағы қашықтық мақаланың алдыңғы абзацында жазылған формула бойынша есептелетін болады. Бізде:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Сонда біз аламыз:
|u¯|=√14см;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 см.
Есепті шешу үшін P және Q нүктелерінің орнына осы сызықтарға жататын кез келген нүктені қолдануға болатынын ескеріңіз. Бұл жағдайда біз бірдей қашықтықты аламыз d.
Геометрияда жазықтық орнату
Сызықтар арасындағы қашықтық мәселесі жоғарыда егжей-тегжейлі талқыланды. Енді параллель жазықтықтар арасындағы қашықтықты қалай табуға болатынын көрсетейік.
Ұшақтың не екенін әркім көрсетеді. Математикалық анықтамаға сәйкес, көрсетілген геометриялық элемент нүктелер жиынтығы болып табылады. Сонымен қатар, егер сіз осы нүктелерді пайдаланып барлық мүмкін векторларды құрасаңыз, онда олардың барлығы бір векторға перпендикуляр болады. Соңғысы әдетте жазықтықтың қалыптысы деп аталады.
Үшөлшемді кеңістіктегі жазықтықтың теңдеуін көрсету үшін теңдеудің жалпы түрі жиі қолданылады. Мынадай көрінеді:
Ax + By + Cz + D=0.
Мұндағы бас латын әріптері кейбір сандар. Жазық теңдеудің мұндай түрін қолдану ыңғайлы, өйткені онда қалыпты вектордың координаталары анық берілген. Олар A, B, C.
Екі жазықтықтың нормальдары параллель болғанда ғана параллель екенін байқау оңай.
Екі параллель жазықтықтың арақашықтығын қалай табуға болады?
Көрсетілген қашықтықты анықтау үшін не қауіп төніп тұрғанын анық түсіну керек. Бір-біріне параллель орналасқан жазықтықтар арасындағы қашықтық деп оларға перпендикуляр кесіндінің ұзындығы түсініледі. Бұл сегменттің ұштары ұшақтарға жатады.
Мұндай есептерді шешу алгоритмі қарапайым. Ол үшін екі жазықтықтың біріне жататын абсолютті кез келген нүктенің координаталарын табу керек. Содан кейін мына формуланы пайдалану керек:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Қашықтығы оң мән болғандықтан, модуль таңбасы алымдағы. Жазбаша формула әмбебап болып табылады, өйткені ол жазықтықтан кез келген геометриялық элементке дейінгі қашықтықты есептеуге мүмкіндік береді. Бұл элементтің бір нүктесінің координаталарын білу жеткілікті.
Толық болу үшін, егер екі жазықтықтың нормальдары бір-біріне параллель болмаса, онда мұндай жазықтықтар қиылысатынын ескереміз. Сонда олардың арасындағы қашықтық нөлге тең болады.
Ұшақтар арасындағы қашықтықты анықтау мәселесі
Екі жазықтық келесі өрнектермен берілгені белгілі:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Жазықтықтардың параллель екенін дәлелдеу, сонымен қатар олардың арасындағы қашықтықты анықтау керек.
Есептің бірінші бөлігіне жауап беру үшін бірінші теңдеуді жалпы пішінге келтіру керек. Оның кесінділердегі теңдеу деп аталатын түрінде берілгенін ескеріңіз. Оның сол және оң бөліктерін 15-ке көбейтіп, барлық мүшелерін теңдеудің бір жағына жылжытсақ, біз мынаны аламыз:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Жазықтықтардың екі нормаль векторының координаталарын жазайық:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Егер n2¯ 5-ке көбейтілсе, n1¯ координаталары дәл келетінін көруге болады. Осылайша, қарастырылатын жазықтықтарпараллель.
Параллель жазықтықтар арасындағы қашықтықты есептеу үшін олардың біріншісінің ерікті нүктесін таңдап, жоғарыдағы формуланы пайдаланыңыз. Мысалы, бірінші жазықтыққа жататын нүктені (0, 0, 1) алайық. Сонда біз аламыз:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 см.
Қажет қашықтық - 31 мм.
Ұшақ пен сызық арасындағы қашықтық
Берілген теориялық білім түзу мен жазықтықтың арақашықтығын анықтау мәселесін де шешуге мүмкіндік береді. Жазықтықтар арасындағы есептеулер үшін жарамды формула әмбебап екендігі жоғарыда айтылған болатын. Оны мәселені шешу үшін де қолдануға болады. Ол үшін берілген сызыққа жататын кез келген нүктені таңдаңыз.
Қарастырылып отырған геометриялық элементтердің арақашықтығын анықтаудағы негізгі мәселе олардың параллельдігін дәлелдеу болып табылады (егер олай болмаса, онда d=0). Норманың скаляр көбейтіндісін және сызық үшін бағыт векторын есептесеңіз, параллелизмді дәлелдеу оңай. Қарастырылып отырған элементтер параллель болса, бұл көбейтінді нөлге тең болады.
