Кеңістіктегі геометриялық есептерді шығарған кезде әртүрлі кеңістіктік объектілер арасындағы бұрыштарды есептеу қажет болатын жағдайлар жиі кездеседі. Бұл мақалада жазықтықтар мен олардың арасындағы және түзу арасындағы бұрыштарды табу мәселесін қарастырамыз.
Кеңістіктегі сызық
Жазықтықтағы абсолютті кез келген түзуді келесі теңдікпен анықтауға болатыны белгілі:
y=ax + b
Мұнда a және b кейбір сандар. Кеңістікте бірдей өрнекпен түзуді бейнелесек, онда z осіне параллель жазықтық аламыз. Кеңістіктік сызықтың математикалық анықтамасы үшін екі өлшемді жағдайға қарағанда басқа шешім әдісі қолданылады. Ол "бағыт векторы" ұғымын қолданудан тұрады.
Түзудің бағыттаушы векторы оның кеңістіктегі бағытын көрсетеді. Бұл параметр сызыққа жатады. Кеңістікте параллель векторлардың шексіз жиыны болғандықтан, қарастырылатын геометриялық объектіні бірегей түрде анықтау үшін оған жататын нүктенің координаталарын да білу қажет.
Бар деп есептейікP нүктесі(x0; y0; z0) және бағыт векторы v¯(a; b; c), онда түзудің теңдеуін былай беруге болады:
(x; y; z)=P + αv¯ немесе
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Бұл өрнек түзудің параметрлік вектор теңдеуі деп аталады. α коэффициенті абсолютті кез келген нақты мәндерді қабылдай алатын параметр. Сызықтың координаталарын мына теңдікті кеңейту арқылы анық көрсетуге болады:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Ұшақтың теңдеуі
Кеңістіктегі жазықтықтың теңдеуін жазудың бірнеше түрі бар. Мұнда біз олардың бірін қарастырамыз, ол көбінесе екі жазықтық арасындағы немесе олардың біреуі мен түзу арасындағы бұрыштарды есептеу кезінде қолданылады.
Егер қандай да бір n¯(A; B; C) векторы белгілі болса, ол қалаған жазықтыққа перпендикуляр және P(x0; y соған жататын 0; z0), соңғысының жалпы теңдеуі:
Ax + By + Cz + D=0 мұнда D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Бұл өрнектің туындысын алып тастадық, ол өте қарапайым. Мұнда тек жазықтықтың теңдеуіндегі айнымалылардың коэффициенттерін біле отырып, оған перпендикуляр болатын барлық векторларды оңай табуға болатынын ғана айтамыз. Соңғысы нормаль деп аталады және олар көлбеу мен жазықтық арасындағы және арасындағы бұрыштарды есептеуде қолданылады.ерікті аналогтар.
Ұшақтардың орны және олардың арасындағы бұрыштың формуласы
Екі ұшақ бар делік. Олардың кеңістіктегі салыстырмалы орналасуының нұсқалары қандай. Ұшақтың екі шексіз өлшемі және бір нөл болғандықтан, олардың өзара бағдарлануының тек екі нұсқасы мүмкін:
- олар бір-біріне параллель болады;
- олар қабаттасуы мүмкін.
Жазықтықтар арасындағы бұрыш - олардың бағыт векторлары арасындағы индекс, яғни олардың n1¯ және n2¯ арасындағы норма.
Әрине, егер олар жазықтыққа параллель болса, онда олардың арасындағы қиылысу бұрышы нөлге тең болады. Егер олар қиылысатын болса, онда ол нөлге тең емес, бірақ әрқашан өткір. Жазықтықтар бір-біріне перпендикуляр болған кезде қиылысудың ерекше жағдайы 90o бұрышы болады.
n1¯ және n2¯ арасындағы α бұрышы осы векторлардың скаляр көбейтіндісі арқылы оңай анықталады. Яғни, формула орын алады:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Бұл векторлардың координаталары: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Содан кейін координаталары арқылы векторлардың скаляр көбейтіндісін және модульдерін есептеу формулаларын пайдаланып, жоғарыдағы өрнекті келесі түрде қайта жазуға болады:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b №2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Нөлімдегі модуль доғал бұрыштардың мәндерін алып тастау үшін пайда болды.
Жазықтықтардың қиылысу бұрышын анықтауға есептер шығару мысалдары
Жазықтықтар арасындағы бұрышты табуды біле отырып, келесі есепті шығарамыз. Екі жазықтық берілген, олардың теңдеулері:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Жазықтықтар арасындағы бұрыш неге тең?
Есептің сұрағына жауап беру үшін жазықтықтың жалпы теңдеуіндегі айнымалылардың коэффициенттері бағыттаушы вектордың координаталары екенін еске түсірейік. Көрсетілген жазықтықтар үшін олардың қалыпты координаталары бар:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Енді осы векторлар мен олардың модульдерінің скаляр көбейтіндісін табамыз, бізде:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Енді алдыңғы абзацта берілген формулаға табылған сандарды ауыстыруға болады. Біз аламыз:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Алынған мән шартта көрсетілген жазықтықтардың қиылысуының сүйір бұрышына сәйкес келедітапсырмалар.
Енді басқа мысалды қарастырайық. Екі ұшақ берілген:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Олар қиылыса ма? Олардың бағыт векторларының координаталарының мәндерін жазып, олардың скалярлық көбейтіндісін және модульдерін есептейік:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Онда қиылысу бұрышы:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Бұл бұрыш жазықтықтардың қиылыспайтынын, бірақ параллель екенін көрсетеді. Олардың бір-біріне сәйкес келмейтінін тексеру оңай. Бұл үшін олардың біріншісіне жататын ерікті нүктені алайық, мысалы, P(0; 3; 2). Оның координаталарын екінші теңдеуге қойсақ, мынаны аламыз:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Яғни, P нүктесі тек бірінші жазықтыққа жатады.
Сондықтан екі жазықтық олардың нормальдары болғанда параллель болады.
Жазық және түзу
Жазықтық пен түзу арасындағы салыстырмалы орынды қарастырған жағдайда, екі жазықтыққа қарағанда бірнеше нұсқа көбірек болады. Бұл факт түзудің бір өлшемді нысан болуымен байланысты. Түзу және жазықтық болуы мүмкін:
- өзара параллель, бұл жағдайда жазықтық түзуді қимайды;
- соңғысы жазықтыққа тиесілі болуы мүмкін, сонымен бірге ол оған параллель болады;
- екеуі де мүмкінкейбір бұрышпен қиылысыңыз.
Алдымен соңғы жағдайды қарастырайық, өйткені ол қиылысу бұрышы ұғымын енгізуді қажет етеді.
Түзу мен жазықтық, олардың арасындағы бұрыш
Егер түзу жазықтықты қиып өтсе, онда оны оған қатысты көлбеу деп атайды. Қиылысу нүктесі еңістің табаны деп аталады. Осы геометриялық объектілердің арасындағы бұрышты анықтау үшін кез келген нүктеден жазықтыққа перпендикуляр түзу түсіру керек. Сонда перпендикулярдың жазықтықпен қиылысу нүктесі және онымен көлбеу түзудің қиылысу орны түзу түзеді. Соңғысы бастапқы түзудің қарастырылып отырған жазықтыққа проекциясы деп аталады. Түзу мен оның проекциясы арасындағы сүйір бұрыш - қажетті бұрыш.
Жазықтық пен көлбеу арасындағы бұрыштың біршама шатастыратын анықтамасы төмендегі суретті түсіндіреді.
Мұндағы ABO бұрышы AB түзуі мен a жазықтығы арасындағы бұрыш.
Оның формуласын жазу үшін мысалды қарастырыңыз. Теңдеулермен сипатталатын түзу мен жазықтық болсын:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Түзу мен жазықтықтың бағыт векторлары арасындағы скаляр көбейтіндіні тапсаңыз, бұл нысандар үшін қажетті бұрышты есептеу оңай. Алынған сүйір бұрышты 90o-дан алып тастау керек, содан кейін ол түзу мен жазықтық арасында алынады.
Жоғарыдағы суретте табудың сипатталған алгоритмі көрсетілгенбұрышы қарастырылады. Мұндағы β нормаль мен түзудің арасындағы бұрыш, ал α түзу мен оның жазықтыққа проекциясы арасындағы бұрыш. Олардың қосындысы 90o екенін көруге болады.
Жоғарыда жазықтықтар арасындағы бұрышты қалай табуға болады деген сұраққа жауап беретін формула ұсынылды. Енді түзу мен жазықтық жағдайына сәйкес өрнекті береміз:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Формуладағы модуль тек сүйір бұрыштарды есептеуге мүмкіндік береді. Арксинус функциясы тригонометриялық функциялар (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)) арасында сәйкес келтіру формуласын қолдануға байланысты арккосинустың орнына пайда болды.
Мәселе: жазықтық түзуді қиып жатыр
Енді жоғарыдағы формуламен қалай жұмыс істеу керектігін көрсетейік. Есепті шешейік: у осі мен теңдеумен берілген жазықтық арасындағы бұрышты есептеу керек:
y - z + 12=0
Бұл ұшақ суретте көрсетілген.
Оның y және z осін сәйкесінше (0; -12; 0) және (0; 0; 12) нүктелерінде қиып өтетінін және x осіне параллель екенін көруге болады.
y түзуінің бағыт векторының координаталары бар (0; 1; 0). Берілген жазықтыққа перпендикуляр вектор координаталарымен (0; 1; -1) сипатталады. Түзу мен жазықтықтың қиылысу бұрышының формуласын қолданамыз, аламыз:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Мәселе: жазықтыққа параллель түзу
Енді шешемізалдыңғы мәселеге ұқсас, оның сұрағы басқаша қойылады. Жазықтық пен түзудің теңдеулері белгілі:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Осы геометриялық заттардың бір-біріне параллель екенін анықтау керек.
Бізде екі вектор бар: түзудің бағыты (0; 2; 2) және жазықтықтың бағыты (1; 1; -1). Олардың нүктелік өнімін табыңыз:
01 + 12 - 12=0
Алынған нөл осы векторлар арасындағы бұрыштың 90o екенін көрсетеді, бұл түзу мен жазықтықтың параллель екенін дәлелдейді.
Енді бұл түзудің тек параллель немесе жазықтықта жатқанын тексерейік. Ол үшін түзудің еркін нүктесін таңдап, оның жазықтыққа жататынын тексеріңіз. Мысалы, λ=0 алайық, онда Р(1; 0; 0) нүктесі түзуге жатады. P жазықтығының теңдеуіне ауыстырыңыз:
1 - 3=-2 ≠ 0
Р нүктесі жазықтыққа жатпайды, яғни бүкіл түзу онда да жатпайды.
Қарап жатқан геометриялық нысандар арасындағы бұрыштарды білу қай жерде маңызды?
Жоғарыда келтірілген формулалар мен есептерді шешу мысалдары тек теориялық қызығушылық тудырмайды. Олар көбінесе призмалар немесе пирамидалар сияқты нақты үш өлшемді фигуралардың маңызды физикалық шамаларын анықтау үшін қолданылады. Фигуралардың көлемдерін және олардың беттерінің аудандарын есептегенде жазықтықтар арасындағы бұрышты анықтай білу маңызды. Оның үстіне, егер түзу призма жағдайында анықтау үшін бұл формулаларды қолданбау мүмкін болсакөрсетілген мәндер болса, пирамиданың кез келген түрі үшін оларды пайдалану сөзсіз.
Төменде төртбұрышты табаны бар пирамиданың бұрыштарын анықтау үшін жоғарыдағы теорияны пайдаланудың мысалын қарастырыңыз.
Пирамида және оның бұрыштары
Төмендегі суретте пирамида көрсетілген, оның табанында қабырғасы а болатын шаршы орналасқан. Фигураның биіктігі h. Екі бұрышты табу керек:
- бүйір беті мен негіз арасында;
- бүйір қабырғасы мен негізі арасында.
Мәселені шешу үшін алдымен координаталар жүйесін енгізіп, сәйкес шыңдардың параметрлерін анықтау керек. Суретте координаталар басы квадрат негізінің центріндегі нүктемен сәйкес келетіні көрсетілген. Бұл жағдайда базалық жазықтық мына теңдеумен сипатталады:
z=0
Яғни, кез келген x және y үшін үшінші координатаның мәні әрқашан нөлге тең. ABC бүйірлік жазықтығы z осін B(0; 0; h) нүктесінде, ал у осін координаталары (0; a/2; 0) нүктесінде қиып өтеді. Ол х осін кесіп өтпейді. Бұл ABC жазықтығының теңдеуін былай жазуға болатынын білдіреді:
y / (a / 2) + z / h=1 немесе
2hy + az - ah=0
AB¯ векторы – бүйірлік жиек. Оның бастапқы және соңғы координаталары: A(a/2; a/2; 0) және B(0; 0; h). Сонда вектордың координаталары:
AB¯(-a/2; -a/2; с)
Біз барлық қажетті теңдеулер мен векторларды таптық. Енді қарастырылған формулаларды пайдалану қалды.
Алдымен пирамидада негіз жазықтықтары арасындағы бұрышты есептеймізжәне жағы. Сәйкес қалыпты векторлар: n1¯(0; 0; 1) және n2¯(0; 2h; a). Сонда бұрыш: болады
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Жазықтық пен AB жиегі арасындағы бұрыш:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Қажетті бұрыштарды алу үшін негіздің а жағы мен h биіктігінің нақты мәндерін ауыстыру қалады.
