Типтік геометриялық есеп – сызықтар арасындағы бұрышты табу. Жазықтықта түзулердің теңдеулері белгілі болса, оларды сызып, бұрышты транспортирмен өлшеуге болады. Дегенмен, бұл әдіс өте қиын және әрқашан мүмкін емес. Атаулы бұрышты білу үшін түзу сызықтарды салудың қажеті жоқ, оны есептеуге болады. Мұның қалай жасалатынына осы мақала жауап береді.
Түзу және оның вектор теңдеуі
Кез келген түзуді -∞ нүктесінен басталып, +∞ нүктесінде аяқталатын вектор ретінде көрсетуге болады. Бұл жағдайда вектор кеңістіктегі қандай да бір нүкте арқылы өтеді. Сонымен, түзудің кез келген екі нүктесінің арасына салуға болатын барлық векторлар бір-біріне параллель болады. Бұл анықтама векторлық түрдегі түзу теңдеуін орнатуға мүмкіндік береді:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Мұнда координаталары (a; b; c) векторы (x0; y0) нүктесі арқылы өтетін осы түзу үшін бағыттаушы болып табылады.; z0).α параметрі көрсетілген нүктені осы сызық үшін кез келген басқа нүктеге ауыстыруға мүмкіндік береді. Бұл теңдеу интуитивті және 3D кеңістігінде де, жазықтықта да жұмыс істеуге оңай. Жазықтық үшін ол z координаттарын және үшінші бағыттағы вектор компонентін қамтымайды.
Векторлық теңдеуді қолдану есебінен есептеулерді орындау және түзулердің салыстырмалы орнын зерттеу ыңғайлылығы оның бағыттаушы векторының белгілі болуына байланысты. Оның координаттары сызықтар арасындағы бұрыш пен олардың арасындағы қашықтықты есептеу үшін пайдаланылады.
Жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі
Екі өлшемді жағдай үшін түзудің векторлық теңдеуін анық жазайық. Мынадай көрінеді:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Енді әрбір теңдік үшін α параметрін есептеп, алынған теңдіктердің дұрыс бөліктерін теңестіреміз:
α=(x - x0)/a;
α=(y - ж0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Жақшаларды ашып, барлық шарттарды теңдіктің бір жағына көшірсек, біз мынаны аламыз:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, мұндағы A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Алынған өрнек екі өлшемді кеңістікте берілген түзудің жалпы теңдеуі деп аталады (үшөлшемді жағдайда бұл теңдеу түзу емес, z осіне параллель жазықтыққа сәйкес келеді).
Егер біз осы өрнекте у-дан x-ке дейін анық жазсақ, онда біз белгілі форманы аламыз.әрбір студент:
y=kx + p, мұнда k=-A/B, p=-C/B
Бұл сызықтық теңдеу жазықтықтағы түзуді бірегей түрде анықтайды. Оны белгілі теңдеу бойынша салу өте оңай, ол үшін кезекпен х=0 және у=0 қойып, координаталар жүйесіндегі сәйкес нүктелерді белгілеп, алынған нүктелерді қосатын түзу сызу керек.
Түзулер арасындағы бұрыш формуласы
Жазықтықта екі түзу бір-бірімен қиылысуы немесе параллель болуы мүмкін. Кеңістікте бұл опцияларға қиғаш сызықтардың болуы мүмкіндігі қосылады. Осы бір өлшемді геометриялық нысандардың салыстырмалы орналасуының қандай нұсқасы орындалса да, олардың арасындағы бұрышты әрқашан келесі формуламен анықтауға болады:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Мұндағы v1¯ және v2¯ тиісінше 1 және 2-жолдың бағыттаушы векторлары. Алым - доғал бұрыштарды жоққа шығару және тек өткір бұрыштарды есепке алу үшін нүктелік көбейтіндінің модулі.
v1¯ және v2¯ векторлары екі немесе үш координата арқылы берілуі мүмкін, ал φ бұрышының формуласы өзгеріссіз қалады.
Түзулердің параллелдігі және перпендикулярлығы
Егер жоғарыдағы формула бойынша есептелген 2 түзудің арасындағы бұрыш 0o болса, онда олар параллель деп аталады. Түзулердің параллель немесе параллель еместігін анықтау үшін бұрышты есептей алмайсызφ, бір бағыттағы векторды басқа сызықтың ұқсас векторы арқылы көрсетуге болатынын көрсету жеткілікті, яғни:
v1¯=qv2¯
Мұнда q нақты сан.
Егер сызықтардың теңдеулері келесі түрде берілсе:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
онда олар x коэффициенттері тең болғанда ғана параллель болады, яғни:
k1=k2
Егер k коэффициенті түзудің бағыттаушы векторының координаталарымен өрнектелетінін қарастырсақ, бұл фактіні дәлелдеуге болады.
Егер түзулердің қиылысу бұрышы 90o болса, онда олар перпендикуляр деп аталады. Түзулердің перпендикулярлығын анықтау үшін φ бұрышын есептеудің де қажеті жоқ, ол үшін тек v1¯ және v векторларының скаляр көбейтіндісін есептеу жеткілікті. 2¯. Ол нөл болуы керек.
Кеңістікте қиылысатын түзулер жағдайында φ бұрышының формуласын да қолдануға болады. Бұл жағдайда нәтижені дұрыс түсіндіру керек. Есептелген φ қиылыспайтын және параллель емес түзулердің бағыт векторлары арасындағы бұрышты көрсетеді.
№1 тапсырма. Перпендикуляр түзулер
Түзу теңдеулері мынадай пішінде болатыны белгілі:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Бұл жолдардың бар-жоғын анықтау керекперпендикуляр.
Жоғарыда айтылғандай, сұраққа жауап беру үшін координаталар (1; 2) және (-4; 2) сәйкес келетін бағыттаушылар векторларының скалярлық көбейтіндісін есептеу жеткілікті. Бізде:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Біз 0-ге ие болғандықтан, бұл қарастырылатын түзулердің тік бұрышта қиылысатынын білдіреді, яғни олар перпендикуляр.
2-тапсырма. Сызықтың қиылысу бұрышы
Түзулер үшін екі теңдеу келесі түрде болатыны белгілі:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Сызықтар арасындағы бұрышты табу керек.
Х коэффициенттерінің мәндері әртүрлі болғандықтан, бұл түзулер параллель емес. Олар қиылысқан кезде пайда болатын бұрышты табу үшін теңдеулердің әрқайсысын векторлық түрге аударамыз.
Бірінші жол үшін біз аламыз:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Теңдеудің оң жағында координаталары x-ке тәуелді вектор алдық. Оны екі вектордың қосындысы ретінде көрсетейік, біріншісінің координатасында x айнымалысы болады, ал екіншісінің координаталары тек сандардан тұрады:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
x ерікті мәндерді қабылдайтындықтан, оны α параметрімен ауыстыруға болады. Бірінші жолдың векторлық теңдеуі келесідей болады:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Сызықтың екінші теңдеуімен бірдей әрекеттерді орындаймыз, аламыз:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Бастапқы теңдеулерді вектор түрінде қайта жаздық. Енді сіз қиылысу бұрышының формуласын пайдалана аласыз, оған түзулердің бағыттаушы векторларының координаталарын қоя аласыз:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Осылайша, қарастырылып отырған түзулер 71,565o немесе 1,249 радиан бұрышымен қиылысады.
Бұл мәселені басқаша шешуге болар еді. Ол үшін әрбір түзудің екі ерікті нүктесін алып, олардан тура векторлар құрастырып, содан кейін φ формуласын қолдану қажет болды.
