Вектор маңызды геометриялық объект, оның қасиеттерінің көмегімен жазықтықта және кеңістікте көптеген есептерді шығаруға ыңғайлы. Бұл мақалада біз оны анықтаймыз, оның негізгі сипаттамаларын қарастырамыз, сонымен қатар кеңістіктегі векторды жазықтықтарды анықтау үшін қалай пайдалануға болатынын көрсетеміз.
Вектор дегеніміз не: екі өлшемді регистр
Біріншіден, сөз қандай нысан туралы екенін нақты түсіну керек. Геометрияда бағытталған кесінді вектор деп аталады. Кез келген сегмент сияқты ол екі негізгі элементпен сипатталады: бастапқы және соңғы нүктелер. Бұл нүктелердің координаттары вектордың барлық сипаттамаларын бірегей түрде анықтайды.
Жазықтықтағы вектордың мысалын қарастырайық. Ол үшін екі өзара перпендикуляр х және у осьтерін саламыз. Р(х, у) ерікті нүктесін белгілейік. Егер бұл нүктені координат басына (О нүктесі) қосатын болсақ, содан кейін P бағытын көрсетсек, онда OP¯ векторын аламыз (кейінірек мақалада таңбаның үстіндегі жолақ векторды қарастырып жатқанымызды көрсетеді). Жазықтықтағы векторлық сызба төменде көрсетілген.
Мұнда басқа AB¯ векторы да көрсетілген және оның сипаттамалары OP¯-мен дәл бірдей, бірақ ол координаталар жүйесінің басқа бөлігінде екенін көруге болады. OP¯ параллель аудару арқылы қасиеттері бірдей векторлардың шексіз санын алуға болады.
Кеңістіктегі вектор
Бізді қоршап тұрған барлық нақты нысандар үш өлшемді кеңістікте. Үш өлшемді фигуралардың геометриялық қасиеттерін зерттеу үш өлшемді векторлар түсінігімен жұмыс істейтін стереометриямен айналысады. Олардың екі өлшемділерден айырмашылығы тек олардың сипаттамасы үшін үшінші перпендикуляр x және у осі z бойымен өлшенетін қосымша координат қажет.
Төмендегі суретте кеңістіктегі вектор көрсетілген. Әр ось бойынша оның соңының координаталары түсті сегменттермен көрсетілген. Вектордың басы барлық үш координат осінің қиылысу нүктесінде орналасқан, яғни оның координаталары (0; 0; 0) болады.
Жазықтықтағы вектор кеңістікте бағытталған кесіндінің ерекше жағдайы болғандықтан, мақалада тек үш өлшемді векторды қарастырамыз.
Вектор координаттары оның басталуы мен аяқталуының белгілі координаттарына негізделген
Екі нүкте бар делік P(x1; y1; z1) және Q(x2; y2; z2). PQ¯ векторының координаталары қалай анықталады. Біріншіден, нүктелердің қайсысы вектордың басы, қайсысының соңы болатынын келісу керек. Математикада қарастырылып отырған объектіні оның бағыты бойынша жазу әдетке айналған, яғни Р – басы, Q- соңы. Екіншіден, PQ¯ векторының координаталары соңы мен басының сәйкес координаталары арасындағы айырмашылық ретінде есептеледі, яғни:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Вектордың бағытын өзгерту арқылы оның координаттары таңбаны келесідей өзгертетінін ескеріңіз:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Бұл PQ¯=-QP¯ білдіреді.
Тағы бір нәрсені түсіну маңызды. Жоғарыда жазықтықта берілгенге тең векторлардың шексіз саны бар екені айтылды. Бұл факт кеңістіктік жағдай үшін де жарамды. Шындығында, біз жоғарыдағы мысалда PQ¯ координаталарын есептеген кезде, біз бұл векторды параллель трансляциялау операциясын оның бастапқы нүктесімен сәйкес келетіндей орындадық. PQ¯ векторын басынан M нүктесіне бағытталған кесінді ретінде салуға болады((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Векторлық қасиеттер
Кез келген геометриялық нысан сияқты, вектордың да есептерді шешу үшін пайдалануға болатын өзіндік сипаттамалары бар. Оларды қысқаша тізіп көрейік.
Векторлық модуль – бағытталған сегменттің ұзындығы. Координаталарды біле отырып, оны есептеу оңай. Жоғарыдағы мысалдағы PQ¯ векторы үшін модуль:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Векторлық модуль қосулыжазықтық үшінші координаттың қатысуынсыз тек ұқсас формула бойынша есептеледі.
Векторлардың қосындысы мен айырмасы үшбұрыш ережесі бойынша орындалады. Төмендегі суретте бұл нысандарды қосу және алу жолы көрсетілген.
Қосынды векторын алу үшін бірінші вектордың соңына екіншінің басын қосыңыз. Қажетті вектор бірінші вектордың басында басталып, екінші вектордың соңында аяқталады.
Айырма алынған вектордың орнына қарама-қарсы вектордың ауыстырылуын ескере отырып орындалады, содан кейін жоғарыда сипатталған қосу операциясы орындалады.
Қосу және азайтудан басқа, векторды санға көбейте білу маңызды. Егер сан k-ке тең болса, онда модулі бастапқыдан k есе өзгеше және бағыты бірдей (k>0) немесе бастапқыға қарама-қарсы (k<0) болатын вектор алынады.
Векторларды бір-біріне көбейту операциясы да анықталған. Ол үшін мақалада бөлек абзацты бөліп береміз.
Скалярлық және векторлық көбейту
Екі вектор бар делік u¯(x1; y1; z1) және v¯(x2; y2; z2). Вектор бойынша векторды екі түрлі жолмен көбейтуге болады:
- Скаляр. Бұл жағдайда нәтиже сан болады.
- Вектор. Нәтиже - жаңа вектор.
u¯ және v¯ векторларының скаляр көбейтіндісі келесідей есептеледі:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Мұндағы α – берілген векторлар арасындағы бұрыш.
u¯ және v¯ координаттарын біле отырып, олардың нүктелік көбейтіндісін келесі формула арқылы есептеуге болатынын көрсетуге болады:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Векторды перпендикуляр бағытталған екі кесіндіге ыдырату кезінде скаляр көбейтіндіні қолдануға ыңғайлы. Ол сондай-ақ векторлардың параллельділігін немесе ортогоналдығын және олардың арасындағы бұрышты есептеу үшін қолданылады.
u¯ және v¯ көбейтіндісі бастапқыға перпендикуляр және модулі бар жаңа векторды береді:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Жаңа вектордың төмен немесе жоғары бағыты оң қол ережесімен анықталады (оң қолдың төрт саусағы бірінші вектордың соңынан екіншісінің соңына дейін бағытталған, ал бас бармақ жоғары қарай тұрады жаңа вектордың бағытын көрсетеді). Төмендегі суретте ерікті a¯ және b¯ үшін көлденең көбейтіндінің нәтижесі көрсетілген.
Айқас туынды фигуралардың аудандарын есептеу үшін, сондай-ақ берілген жазықтыққа перпендикуляр вектордың координаталарын анықтау үшін қолданылады.
Векторлар мен олардың қасиеттері жазықтықтың теңдеуін анықтау кезінде қолдануға ыңғайлы.
Жазықтықтың қалыпты және жалпы теңдеуі
Ұшықтықты анықтаудың бірнеше жолы бар. Олардың бірі - векторға перпендикуляр және жазықтыққа жататын белгілі нүкте туралы білімнен тікелей шығатын жазықтықтың жалпы теңдеуін шығару.
n¯ (A; B; C) векторы және P нүктесі (x0; y0 бар деп есептейік; z 0). Қандай шарт жазықтықтың барлық Q(x; y; z) нүктелерін қанағаттандырады? Бұл шарт кез келген PQ¯ векторының қалыпты n¯-ге перпендикулярлығынан тұрады. Екі перпендикуляр вектор үшін нүкте көбейтіндісі нөлге айналады (cos(90o)=0), мынаны жаз:
(n¯PQ¯)=0 немесе
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Жақшаларды ашсақ, біз мынаны аламыз:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 немесе
Ax + By + Cz +D=0 мұнда D=-Ax0-By0-Cz0.
Бұл теңдеу жазықтық үшін жалпы деп аталады. Біз x, y және z алдындағы коэффициенттер n¯ перпендикуляр векторының координаталары екенін көреміз. Ол ұшақ гид деп аталады.
Жазықтықтың векторлық параметрлік теңдеуі
Жазықтықты анықтаудың екінші жолы - онда жатқан екі векторды пайдалану.
векторлары бар деп есептейік u¯(x1; y1; z1) және v¯(x2; y2; z2). Жоғарыда айтылғандай, олардың әрқайсысы кеңістікте бірдей бағытталған кесінділердің шексіз санымен ұсынылуы мүмкін, сондықтан жазықтықты бірегей анықтау үшін тағы бір нүкте қажет. Бұл нүкте P(x0 болсын;y0; z0). Егер PQ¯ векторын u¯ және v¯ комбинациясы ретінде көрсетуге болатын болса, кез келген Q(x; y; z) нүктесі қажетті жазықтықта болады. Яғни, бізде:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Мұндағы α және β кейбір нақты сандар. Осы теңдіктен мына өрнек шығады:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
2 u¯ және v¯ векторларына қатысты жазықтықтың параметрлік векторлық теңдеуі деп аталады. α және β ерікті параметрлерін қойып, осы жазықтыққа жататын барлық нүктелерді (x; y; z) табуға болады.
Бұл теңдеуден жазықтықтың жалпы өрнегін алу оңай. Ол үшін u¯ және v¯ векторларының екеуіне де перпендикуляр болатын n¯ бағыт векторын табу жеткілікті, яғни олардың векторлық туындысы қолданылуы керек.
Жазықтықтың жалпы теңдеуін анықтау есебі
Жоғарыдағы формулаларды геометриялық есептерді шығару үшін қалай қолдану керектігін көрсетейік. Жазықтықтың бағыт векторы n¯(5; -3; 1) болсын. P(2; 0; 0) нүктесі оған жататынын біле отырып, жазықтықтың теңдеуін табу керек.
Жалпы теңдеу былай жазылады:
Ax + By + Cz +D=0.
Жазықтыққа перпендикуляр вектор белгілі болғандықтан, теңдеу келесі пішінді алады:
5x - 3y + z +D=0.
Еркін D мүшесін табу қалды. Біз оны P координаталарын білу арқылы есептейміз:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Осылайша, жазықтықтың қажетті теңдеуі келесідей болады:
5x - 3y + z -10=0.
Төмендегі суретте алынған жазықтықтың қалай болатыны көрсетілген.
Нүктелердің көрсетілген координаталары жазықтықтың x, y және z осьтерімен қиылысуларына сәйкес келеді.
Екі вектор және нүкте арқылы жазықтықты анықтау мәселесі
Енді алдыңғы жазықтық басқаша анықталған делік. u¯(-2; 0; 10) және v¯(-2; -10/3; 0) екі векторы белгілі, сонымен қатар P(2; 0; 0) нүктесі. Жазық теңдеу векторлық параметрлік түрде қалай жазылады? Қарастырылған сәйкес формуланы пайдалана отырып, біз аламыз:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Жазықтықтың осы теңдеуінің анықтамаларын, u¯ және v¯ векторларын абсолютті кез келген қабылдауға болатынын ескеріңіз, бірақ бір шартпен: олар параллель болмауы керек. Әйтпесе, жазықтықты бірегей түрде анықтау мүмкін емес, дегенмен сәуленің немесе жазықтықтардың жиынының теңдеуін табуға болады.
