Геометрияда нүктеден кейін түзу ең қарапайым элемент болуы мүмкін. Ол жазықтықта және үш өлшемді кеңістікте кез келген күрделі фигураларды салуда қолданылады. Бұл мақалада біз түзудің жалпы теңдеуін қарастырамыз және оны пайдаланып бірнеше есептерді шығарамыз. Бастайық!
Геометриядағы түзу
Тіктөртбұрыш, үшбұрыш, призма, текше және т.б. сияқты фигуралар қиылысатын түзулер арқылы жасалатынын бәрі біледі. Геометриядағы түзу дегеніміз - бағыты бірдей немесе қарама-қарсы векторға белгілі бір нүктені беру арқылы алуға болатын бір өлшемді нысан. Бұл анықтаманы жақсырақ түсіну үшін кеңістікте қандай да бір Р нүктесі бар деп елестетіңіз. Осы кеңістікте ерікті u¯ векторын алыңыз. Сонда түзудің кез келген Q нүктесін келесі математикалық амалдар нәтижесінде алуға болады:
Q=P + λu¯.
Мұнда λ оң немесе теріс болуы мүмкін ерікті сан. Теңдік болсажоғарыға координаталар арқылы жазыңыз, сонда түзудің келесі теңдеуін аламыз:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Бұл теңдік вектор түріндегі түзудің теңдеуі деп аталады. Ал u¯ векторы бағыттаушы деп аталады.
Жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі
Әр оқушы еш қиындықсыз жазып алады. Бірақ көбінесе теңдеу былай жазылады:
y=kx + b.
Мұндағы k және b - ерікті сандар. b саны бос мүше деп аталады. k параметрі түзудің х осімен қиылысуынан пайда болатын бұрыштың тангенсіне тең.
Жоғарыдағы теңдеу y айнымалысына қатысты өрнектелген. Егер біз оны жалпылама түрде ұсынатын болсақ, онда біз келесі белгілерді аламыз:
Ax + By + C=0.
Жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуін жазудың бұл түрі алдыңғы пішінге оңай түрленетінін көрсету оңай. Ол үшін сол және оң жақ бөліктерді B коэффициентіне бөліп, y мәнін көрсету керек.
Жоғарыдағы суретте екі нүкте арқылы өтетін түзу көрсетілген.
3D кеңістігіндегі сызық
Оқуымызды жалғастырайық. Жалпы түрдегі түзудің теңдеуі жазықтықта қалай беріледі деген сұрақты қарастырдық. Мақаланың алдыңғы абзацында берілген белгіні кеңістіктік жағдайға қолдансақ, не аламыз? Барлығы қарапайым - енді түзу емес, жазықтық. Шынында да, келесі өрнек z осіне параллель болатын жазықтықты сипаттайды:
Ax + By + C=0.
Егер C=0 болса, онда мұндай жазықтық өтедіz осі арқылы. Бұл маңызды мүмкіндік.
Кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуі қалай болады? Оны қалай сұрау керектігін түсіну үшін бір нәрсені есте сақтау керек. Екі жазықтық белгілі бір түзу бойымен қиылысады. Бұл нені білдіреді? Тек жалпы теңдеу жазықтықтар үшін екі теңдеу жүйесін шешудің нәтижесі болып табылады. Мына жүйені жазайық:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Бұл жүйе кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуі болып табылады. Жазықтықтар бір-біріне параллель болмауы керек, яғни олардың қалыпты векторлары бір-біріне қатысты қандай да бір бұрышта көлбеу болуы керек екенін ескеріңіз. Әйтпесе, жүйеде шешімдер болмайды.
Жоғарыда түзу үшін теңдеудің векторлық түрін бердік. Бұл жүйені шешу кезінде пайдалану ыңғайлы. Ол үшін алдымен осы жазықтықтардың нормалдарының векторлық көбейтіндісін табу керек. Бұл операцияның нәтижесі түзудің бағыт векторы болады. Содан кейін сызыққа жататын кез келген нүктені есептеу керек. Ол үшін белгілі бір мәнге тең айнымалылардың кез келгенін орнату керек, қалған екі айнымалыны қысқартылған жүйені шешу арқылы табуға болады.
Векторлық теңдеуді жалпыға қалай аударуға болады? Нюанстар
Бұл екі нүктенің белгілі координаталарын пайдаланып түзудің жалпы теңдеуін жазу қажет болған жағдайда туындауы мүмкін өзекті мәселе. Бұл мәселенің қалай шешілетінін мысалмен көрсетейік. Екі нүктенің координаталары белгілі болсын:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Вектор түріндегі теңдеуді құрастыру өте оңай. Бағыт векторының координаттары:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Егер P нүктесінің координаталарынан Q координаталарын алып тастасақ, ешқандай айырмашылық болмайтынын ескеріңіз, вектор тек бағытын керісінше өзгертеді. Енді кез келген нүктені алып, векторлық теңдеуді жазу керек:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Түзудің жалпы теңдеуін жазу үшін λ параметрін екі жағдайда да өрнектеу керек. Содан кейін нәтижелерді салыстырыңыз. Бізде:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Екі белгілі нүкте арқылы өтетін түзу үшін жалпы өрнекті алу үшін жақшаларды ашып, теңдеудің барлық мүшелерін теңдеудің бір жағына көшіру ғана қалады.
Үшөлшемді есеп болған жағдайда шешу алгоритмі сақталады, тек оның нәтижесі жазықтықтар үшін екі теңдеу жүйесі болады.
Тапсырма
Жалпы теңдеу жасау керекx осін (-3, 0) қиылысатын және у осіне параллель болатын түзу.
Есепті шешуді теңдеуді векторлық түрде жазудан бастайық. Түзу у осіне параллель болғандықтан, оның бағыттаушы векторы келесідей болады:
u¯=(0, 1).
Содан кейін қажетті жол келесідей жазылады:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Енді осы өрнекті жалпы түрге аударайық, ол үшін λ параметрін өрнектейміз:
- x=-3;
- y=λ.
Осылайша, y айнымалысының кез келген мәні жолға жатады, алайда оған x айнымалысының жалғыз мәні ғана сәйкес келеді. Демек, жалпы теңдеу мына пішінді алады:
x + 3=0.
Кеңістіктегі түзу мәселесі
Қиылысатын екі жазықтық келесі теңдеулер арқылы берілгені белгілі:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Осы жазықтықтар қиылысатын түзудің векторлық теңдеуін табу керек. Бастайық.
Айтылғандай, үш өлшемді кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуі қазірдің өзінде үш белгісізі бар екіден тұратын жүйе түрінде берілген. Ең алдымен жазықтықтар қиылысатын бағыт векторын анықтаймыз. Нормалдардың векторлық координаталарын жазықтықтарға көбейтсек, мынаны аламыз:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Векторды теріс санға көбейту оның бағытын өзгертетіндіктен, мынаны жаза аламыз:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Кімгетүзудің векторлық өрнегін табу үшін бағыт векторынан басқа осы түзудің қандай да бір нүктесін білу керек. Табыңыз, өйткені оның координаттары есеп шартында теңдеулер жүйесін қанағаттандыру керек, сонда біз оларды табамыз. Мысалы, x=0 қойайық, сонда мынаны аламыз:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Осылайша, қажетті түзуге жататын нүктенің координаттары болады:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Онда біз бұл есептің жауабын аламыз, қалаған жолдың векторлық теңдеуі келесідей болады:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Шешімнің дұрыстығын оңай тексеруге болады. Ол үшін λ параметрінің ерікті мәнін таңдау керек және түзу нүктесінің алынған координаталарын жазықтықтар үшін екі теңдеуде де ауыстыру керек, екі жағдайда да сәйкестендіруді аласыз.
