Жазықтықтағы және үш өлшемді кеңістіктегі түзулердің теңдеулерін орнату әдістері

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Түзу – жазықтықтағы және үш өлшемді кеңістіктегі негізгі геометриялық нысан. Дәл түзу сызықтардан көптеген фигуралар салынады, мысалы: параллелограмм, үшбұрыш, призма, пирамида және т.б. Мақалада сызықтардың теңдеулерін орнатудың әртүрлі жолдарын қарастырыңыз.

Түзудің анықтамасы және оны сипаттайтын теңдеу түрлері

Әр оқушы қандай геометриялық нысан туралы айтып жатқанын жақсы түсінеді. Түзу сызықты нүктелер жиыны ретінде көрсетуге болады, ал егер олардың әрқайсысын барлық қалғандарымен кезекпен қосатын болсақ, онда параллель векторлар жиынын аламыз. Басқаша айтқанда, нақты санға көбейтілген қандай да бір бірлік векторына көшіре отырып, оның қозғалмайтын бір нүктесінен түзудің әрбір нүктесіне жетуге болады. Түзу сызықтың бұл анықтамасы оның жазықтықта да, үш өлшемді кеңістікте де математикалық сипаттамасы үшін векторлық теңдікті анықтау үшін қолданылады.

Түзу математикалық түрде келесі теңдеу түрлерімен ұсынылуы мүмкін:

жалпы;
вектор;
параметрлік;
сегменттерде;
симметриялық (канондық).

Одан кейін біз аталған барлық типтерді қарастырамыз және есептерді шешу мысалдары арқылы олармен қалай жұмыс істеу керектігін көрсетеміз.

Түзудің векторлық және параметрлік сипаттамасы

Белгілі вектор арқылы өтетін түзуді анықтаудан бастайық. M (x₀; y₀; z_{0) кеңістігінде тұрақты нүкте бар делік. Ол арқылы түзу өтетіні және v¯(a; b; c) векторлық кесіндінің бойымен бағытталғаны белгілі. Осы мәліметтерден түзудің ерікті нүктесін қалай табуға болады? Бұл сұраққа жауап келесі теңдікті береді:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Мұндағы λ - ерікті сан.

Ұқсас өрнекті векторлар мен нүктелердің координаталары екі сан жиынымен берілген екі өлшемді жағдай үшін де жазуға болады:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Жазылған теңдеулер векторлық теңдеулер деп аталады, ал бағытталған v¯ кесіндісінің өзі түзу үшін бағыт векторы болып табылады.

Жазылған өрнектерден сәйкес параметрлік теңдеулер жай ғана алынады, оларды анық қайта жазу жеткілікті. Мысалы, кеңістіктегі жағдай үшін келесі теңдеуді аламыз:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Тәртіпті талдау қажет болса, параметрлік теңдеулермен жұмыс істеу ыңғайлыәрбір координат. λ параметрі ерікті мәндерді қабылдай алатынына қарамастан, ол барлық үш теңдікте бірдей болуы керек екенін ескеріңіз.

Жалпы теңдеу

Қарастырылатын геометриялық нысанмен жұмыс істеу үшін жиі қолданылатын түзу сызықты анықтаудың тағы бір тәсілі – жалпы теңдеуді пайдалану. Екі өлшемді жағдай үшін ол келесідей көрінеді:

Ax + By + C=0

Мұнда бас латын әріптері нақты сандық мәндерді білдіреді. Бұл теңдіктің есептерді шешудегі ыңғайлылығы оның түзу сызыққа перпендикуляр векторды анық қамтуында. Егер оны n¯ арқылы белгілесек, онда былай жаза аламыз:

n¯=[A; B]

Сонымен қатар, өрнек түзуден қандай да бір P нүктесіне дейінгі қашықтықты анықтау үшін қолдануға ыңғайлы (x₁; y_{1). d қашықтығының формуласы:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Жалпы теңдеуден y айнымалысын анық өрнектесек, түзу жазудың келесі белгілі түрін алатынын көрсету оңай:

y=kx + b

Мұндағы k және b A, B, C сандарымен бірегей түрде анықталады.

Сегменттегі және канондық теңдеу

Түзудің координаталық осьтерінің қиылысуы

Кесінділердегі теңдеуді жалпы көріністен алу оңай. Біз мұны қалай жасау керектігін көрсетеміз.

Бізде келесі жол бар делік:

Ax + By + C=0

Бос мүшені теңдіктің оң жағына жылжытыңыз, содан кейін барлық теңдеуді оған бөліңіз, біз мынаны аламыз:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, мұнда q=-C / A, p=-C / B

Біз сегменттер деп аталатын теңдеуді алдық. Ол әр айнымалыны бөлетін бөлгіш сызықтың сәйкес осімен қиылысу координатының мәнін көрсететіндіктен өз атауын алды. Бұл фактіні координаталар жүйесіндегі түзуді бейнелеу үшін, сондай-ақ оның басқа геометриялық объектілермен (түзу сызықтар, нүктелер) салыстырмалы орнын талдау үшін пайдалану ыңғайлы.

Енді канондық теңдеуді алуға көшейік. Параметрлік опцияны қарастырсақ, мұны істеу оңайырақ. Ұшақтағы жағдай үшін бізде:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Әр теңдікте λ параметрін өрнектейміз, содан кейін оларды теңестіреміз, аламыз:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Бұл симметриялы түрде жазылған қажетті теңдеу. Векторлық өрнек сияқты ол бағыт векторының координаталарын және түзуге жататын нүктелердің бірінің координаттарын анық қамтиды.

Бұл параграфта екі өлшемді жағдай үшін теңдеулерді бергенімізді көруге болады. Сол сияқты кеңістікте түзу теңдеуін жазуға болады. Бұл жерде айта кету керек, егер канондық пішінкесінділердегі жазбалар мен өрнек бірдей пішінге ие болады, сонда түзу үшін кеңістіктегі жалпы теңдеу қиылысатын жазықтықтар үшін екі теңдеу жүйесі арқылы беріледі.

Түзу теңдеуін құру есебі

Геометриядан әрбір оқушы екі нүкте арқылы бір сызық жүргізуге болатынын біледі. Координаталық жазықтықта келесі нүктелер берілген деп есептейік:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Екі нүкте де жататын түзудің теңдеуін кесінділерде, векторлық, канондық және жалпы түрде табу керек.

Алдымен вектор теңдеуін алайық. Ол үшін M₁M_{2¯: тура бағыт векторын анықтаңыз.}

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Енді есеп нұсқаулығында көрсетілген екі нүктенің бірін алу арқылы векторлық теңдеу құруға болады, мысалы, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Канондық теңдеуді алу үшін табылған теңдікті параметрлік түрге түрлендіру және λ параметрін алып тастау жеткілікті. Бізде:

x=-1 - 2λ, сондықтан λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, онда λ=y - 3 аламыз;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Қалған екі теңдеуді (жалпы және сегменттерде) канондық теңдеуден келесідей түрлендіру арқылы табуға болады:

x + 1=-2y + 6;

жалпы теңдеу: x + 2y - 5=0;

сегменттердің теңдеуі: x / 5 + y / 2, 5=1

Алынған теңдеулер (1; 2) векторы түзуге перпендикуляр болуы керек екенін көрсетеді. Шынында да, егер оның бағыт векторымен скаляр көбейтіндісін тапсаңыз, онда ол нөлге тең болады. Түзу сегментінің теңдеуі түзудің x осін (5; 0) және у осін (2, 5; 0) нүктесінде қиып өтетінін айтады.

Түзулердің қиылысу нүктесін анықтау мәселесі

Екі түзу жазықтықта келесі теңдеулер арқылы берілген:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Осы түзулер қиылысатын нүктенің координаталарын анықтау керек.

Мәселені шешудің екі жолы бар:

Вектор теңдеуін жалпы түрге айналдырыңыз, содан кейін екі сызықтық теңдеу жүйесін шешіңіз.
Ешқандай түрлендірулерді орындамаңыз, жай ғана бірінші теңдеуде λ параметрі арқылы өрнектелген қиылысу нүктесінің координатасын ауыстырыңыз. Содан кейін параметр мәнін табыңыз.

Екінші жолды жасайық. Бізде: