Арифметикалық квадрат түбір және оның қасиеттері

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Бәріміз мектепте алгебра сабағында арифметикалық квадрат түбірлерді оқыдық. Білім жаңармаса, ол тез ұмытылады, тамыры да солай. Бұл мақала осы саладағы білімін жаңартқысы келетін сегізінші сынып оқушыларына және басқа мектеп оқушыларына пайдалы болады, өйткені біз 9, 10 және 11-сыныптарда түбірлермен жұмыс жасаймыз.

Тамыр мен дәреже тарихы

Ежелгі дәуірде, атап айтқанда, Ежелгі Египетте адамдарға сандарға амалдар жасау үшін дәреже қажет болды. Мұндай ұғым болмаған кезде мысырлықтар сол санның көбейтіндісін жиырма рет жазып алған. Бірақ көп ұзамай мәселенің шешімі ойлап табылды - оның үстіндегі жоғарғы оң жақ бұрышта санды өзіне көбейту керек рет саны жазыла бастады және жазудың бұл түрі бүгінгі күнге дейін сақталған.

Ал шаршы түбірдің тарихы шамамен 500 жыл бұрын басталған. Ол әртүрлі жолдармен белгіленді және тек XVII ғасырда Рене Декарт мұндай белгіні енгізді, біз оны бүгінге дейін қолданамыз.

Квадрат түбір дегеніміз не

Квадрат түбір деген не екенін түсіндіруден бастайық. Кейбір c санының квадрат түбірі теріс емес сан болып табылады, ол квадратты алғанда с-ға тең болады. Бұл жағдайда c нөлден үлкен немесе оған тең.

Санды түбірдің астына келтіру үшін оның квадратын алып, үстіне түбір белгісін қоямыз:

32=9, 3=√9

Сонымен қатар теріс санның квадрат түбірінің мәнін ала алмаймыз, өйткені шаршыдағы кез келген сан оң, яғни:

c² ≧ 0, егер √c теріс сан болса, онда c^{2 < 0 - ережеге қайшы.}

Квадрат түбірлерді жылдам есептеу үшін сандардың квадраттарының кестесін білу керек.

Сипаттар

Квадрат түбірдің алгебралық қасиеттерін қарастырайық.

1) Өнімнің квадрат түбірін шығару үшін әрбір фактордың түбірін алу керек. Яғни, оны факторлардың түбірлерінің туындысы ретінде жазуға болады:

√ac=√a × √c, мысалы:

√36=√4 × √9

2) Бөлшектен түбірді алу кезінде түбірді алым мен бөлгіштен бөлек шығарып алу керек, яғни олардың түбірлерінің бөлімі ретінде жазу керек.

3) Санның квадрат түбірін алу арқылы алынған мән әрқашан осы санның модуліне тең, өйткені модуль тек оң болуы мүмкін:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Түбірді кез келген күшке көтеру үшін біз оған көтеремізрадикалды өрнек:

(√с)⁴=√с^{4, мысалы:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) c санының арифметикалық түбірінің квадраты осы санның өзіне тең:

(√s)2=с.

Иррационал сандардың түбірлері

Он алтының түбірі оңай делік, бірақ 7, 10, 11 сияқты сандардың түбірін қалай алуға болады?

Түбірі шексіз периодты емес бөлшек болатын сан иррационал деп аталады. Оның түбірін өз бетімізше алып тастай алмаймыз. Біз оны басқа сандармен ғана салыстыра аламыз. Мысалы, 5-тің түбірін алып, оны √4 және √9 сандарымен салыстырыңыз. √4 < √5 < √9, одан кейін 2 < √5 < 3. Бұл бес түбірдің мәні екі мен үштің арасында екенін білдіреді, бірақ олардың арасында ондық бөлшектер көп және әрқайсысын таңдау – түбірді табудың күмәнді жолы.

Бұл операцияны калькуляторда орындауға болады - бұл ең оңай және жылдам әдіс, бірақ 8-сыныпта ешқашан арифметикалық квадрат түбірден иррационал сандарды шығару талап етілмейді. Сізге тек екі түбір мен үш түбірдің шамамен алынған мәндерін есте сақтау қажет:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Мысалдар

Енді квадрат түбірдің қасиеттеріне сүйене отырып, біз бірнеше мысалдарды шешеміз:

1) √17² - 8²

Квадраттар айырмасының формуласын есте сақтаңыз:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Квадрат арифметикалық түбірдің қасиетін білеміз - туындыдан түбірді алу үшін оны әр фактордан алу керек:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Түбірдің басқа қасиетін қолданыңыз - санның арифметикалық түбірінің квадраты осы санның өзіне тең:

2 × 3 + 6=12

Маңызды! Көбінесе жұмысты және арифметикалық квадрат түбірлері бар мысалдарды шешуді бастағанда, студенттер келесі қателіктерді жібереді:

√12 + 3=√12 + √3 - сіз мұны істей алмайсыз!

Біз әрбір терминнің түбірін ала алмаймыз. Мұндай ереже жоқ, бірақ ол әр фактордың түбірін алумен шатастырылады. Егер бізде бұл жазба болса:

√12 × 3, онда √12 × 3=√12 × √3 деп жазған дұрыс болар еді.

Осылайша біз тек жаза аламыз:

√12 + 3=√15