Квадрикалық теңдеулер математика мен физиканың бірқатар есептерінде жиі кездеседі, сондықтан әрбір оқушы оларды шеше білуі керек. Бұл мақала квадрат теңдеулерді шешудің негізгі әдістерін егжей-тегжейлі сипаттайды, сонымен қатар оларды қолдану мысалдарын береді.
Қандай теңдеу квадрат деп аталады
Біріншіден, мақаланың не туралы болатындығын жақсы түсіну үшін біз осы абзацтың сұрағына жауап береміз. Сонымен, квадрат теңдеудің мынадай жалпы түрі бар: c + bx+ax2=0, мұндағы a, b, c – кейбір сандар, олар коэффициенттер деп аталады. Мұнда a≠0 – міндетті шарт, әйтпесе көрсетілген теңдеу сызықтыға азаяды. Қалған коэффициенттер (b, c) кез келген мәндерді, соның ішінде нөлді де қабылдай алады. Осылайша, ax2=0 сияқты өрнектер, мұнда b=0 және c=0 немесе c+ax2=0, мұндағы b=0, немесе bx+ax2=0, мұндағы c=0 да квадрат теңдеулер болып табылады, олар толық емес деп аталады, өйткені олардағы сызықтық b коэффициенті нөлге немесе нөлге тең.еркін c термині немесе екеуі де жойылады.
А=1 қысқартылған деп аталатын теңдеу, яғни келесі түрге ие: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Квадрат теңдеудің шешімі оның теңдігін қанағаттандыратын осындай х мәндерін табу болып табылады. Бұл мәндер түбірлер деп аталады. Қарастырылып отырған теңдеу екінші дәрежелі өрнек болғандықтан, бұл оның түбірлерінің ең көп саны екіден аспайтынын білдіреді.
Квадрат теңдеулерді шешудің қандай әдістері бар
Жалпы, шешудің 4 әдісі бар. Олардың аттары төменде берілген:
- Факторинг.
- Шаршыға қосу.
- Белгілі формуланы пайдалану (дискриминант арқылы).
- Шешу әдісі геометриялық.
Жоғарыдағы тізімнен көріп отырғаныңыздай, алғашқы үш әдіс алгебралық болып табылады, сондықтан олар функцияның графигін салуды қамтитын соңғысына қарағанда жиірек пайдаланылады.
Вьета теоремасы арқылы шаршы теңдеулерді шешудің тағы бір жолы бар. Оны жоғарыдағы тізімге 5-ші қоюға болады, бірақ бұл орындалмайды, өйткені Виетаның теоремасы 3-ші әдістің қарапайым салдары болып табылады.
Мақалада кейінірек біз аталған шешу әдістерін толығырақ қарастырамыз, сондай-ақ оларды нақты теңдеулердің түбірін табу үшін пайдалану мысалдарын келтіреміз.
№1 әдіс. Факторинг
Квадрат теңдеулер математикасындағы бұл әдіс үшін әдеміатауы: көбейткіштерге бөлу. Бұл әдістің мәні мынада: квадрат теңдеуді нөлге тең болуы керек екі мүшесінің (өрнектің) көбейтіндісі ретінде көрсету қажет. Мұндай көрсетуден кейін оның бір немесе бірнеше (барлық) мүшелері нөлге тең болғанда ғана нөлге тең болатын өнім сипатын пайдалана аласыз.
Енді теңдеудің түбірін табу үшін орындау қажет нақты әрекеттер тізбегін қарастырайық:
- Барлық мүшелерді өрнектің бір бөлігіне (мысалы, солға) жылжытыңыз, сонда оның басқа бөлігінде (оң жақта) 0 ғана қалады.
- Теңдеудің бір бөлігіндегі мүшелердің қосындысын екі сызықтық теңдеудің көбейтіндісі ретінде көрсетіңіз.
- Сызықтық өрнектердің әрқайсысын нөлге қойып, оларды шешіңіз.
Көріп отырғаныңыздай, көбейткіштерге бөлу алгоритмі өте қарапайым, алайда 2-тармақты орындау кезінде студенттердің көпшілігі қиындықтарға тап болады, сондықтан біз оны толығырақ түсіндіреміз.
Қандай екі сызықтық өрнек бір-біріне көбейтілгенде қажетті квадрат теңдеуді беретінін болжау үшін екі қарапайым ережені есте сақтау керек:
- Екі сызықтық өрнектің сызықтық коэффициенттері бір-біріне көбейтілгенде квадрат теңдеудің бірінші коэффициентін, яғни a санын беруі керек.
- Сызықтық өрнектердің бос мүшелері көбейтілгенде қажетті теңдеудің c санын беруі керек.
Барлық факторлар саны таңдалғаннан кейін оларды көбейту керек, ал егер олар қажетті теңдеуді берсе, онда 3-қадамға өтіңіз.жоғарыдағы алгоритмді орындаңыз, әйтпесе көбейткіштерді өзгертуіңіз керек, бірақ мұны жоғарыдағы ережелер әрқашан сақталуы үшін жасауыңыз керек.
Факторизация әдісі бойынша шешім мысалы
Квадрат теңдеуді шешу алгоритмі белгісіз түбірлерді құру және табу жолын анық көрсетейік. Ерікті өрнек берілсін, мысалы, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Мақаланың алдыңғы абзацында көрсетілген 1-ден 3-ке дейінгі тармақтардың ретін сақтай отырып, оның шешіміне көшейік.
1-тармақ. Барлық мүшелерді сол жаққа жылжытыңыз және оларды квадрат теңдеу үшін классикалық ретпен орналастырыңыз. Бізде келесі теңдік бар: 2x+(-8)+x2=0.
2-тармақ. Оны сызықтық теңдеулердің көбейтіндісіне бөлеміз. a=1, және c=-8 болғандықтан, онда біз, мысалы, осындай көбейтіндіні таңдаймыз (x-2)(x+4). Ол жоғарыдағы параграфта белгіленген күтілетін факторларды табу ережелерін қанағаттандырады. Жақшаларды ашсақ, мынаны аламыз: -8+2x+x2, яғни дәл сол теңдеудің сол жағындағы өрнекті аламыз. Бұл көбейткіштерді дұрыс тапқанымызды білдіреді және алгоритмнің 3-қадамына өтуге болады.
3-тармақ. Әрбір факторды нөлге теңестірсек, мынаны аламыз: x=-4 және x=2.
Нәтижеге қатысты қандай да бір күмән туындаса, бастапқы теңдеуде табылған түбірлерді ауыстыру арқылы тексеру ұсынылады. Бұл жағдайда бізде: 22+22-8=0 және 2(-4)+(-4)2 -8=0. Түбірлер дұрыс табылды.
Осылайша, көбейткіштерге бөлу әдісін қолданып, берілген теңдеудің әртүрлі екі түбірі бар екенін анықтадық.бар: 2 және -4.
2-әдіс. Толық шаршы
үшін толықтыру
Квадрат теңдеулер алгебрасында көбейткіш әдісін әрқашан қолдануға болмайды, өйткені квадрат теңдеу коэффициенттерінің бөлшек мәндері жағдайында алгоритмнің 2-тармағын орындауда қиындықтар туындайды.
Толық квадрат әдісі өз кезегінде әмбебап болып табылады және кез келген түрдегі квадрат теңдеулерге қолданылуы мүмкін. Оның мәні келесі операцияларды орындау болып табылады:
- А және b коэффициенттері бар теңдеудің мүшелері теңдеудің бір бөлігіне, ал бос c мүшесі екінші бөлігіне ауыстырылуы керек.
- Содан кейін теңдік бөліктерін (оң және сол) a коэффициентіне бөлу керек, яғни теңдеуді қысқартылған түрде (a=1) көрсету керек.
- Сызықтық теңдеудің квадраты ретінде көрсету үшін a және b коэффициенттері бар мүшелерді қос. \u003d 1 болғандықтан, сызықтық коэффициент 1-ге тең болады, сызықтық теңдеудің бос мүшесіне қатысты, ол қысқартылған квадрат теңдеудің сызықтық коэффициентінің жартысына тең болуы керек. Сызықтық өрнектің квадраты құрастырылғаннан кейін квадратты кеңейту арқылы алынатын бос мүше орналасқан теңдіктің оң жағына сәйкес санды қосу керек.
- «+» және «-» таңбалары бар квадрат түбірді алып, бұрыннан алынған сызықтық теңдеуді шешіңіз.
Сипатталған алгоритм бір қарағанда өте күрделі болып көрінуі мүмкін, бірақ іс жүзінде оны факторизация әдісіне қарағанда жүзеге асыру оңайырақ.
Толық шаршы толықтауышты қолданатын шешім мысалы
Квадрат теңдеуді алдыңғы абзацта сипатталған әдіспен шешуге үйрету үшін мысал келтірейік. -10 - 6x+5x2=0 квадрат теңдеу берілсін. Оны жоғарыда сипатталған алгоритм бойынша шешуге кірісеміз.
1-тармақ. Квадрат теңдеулерді шешу кезінде тасымалдау әдісін қолданамыз, аламыз: - 6x+5x2=10.
2-тармақ. Бұл теңдеудің қысқартылған түрі оның әрбір мүшесінің 5 санына бөлу арқылы алынады (егер екі бөлік те бірдей санға бөлінсе немесе көбейтілсе, онда теңдік сақталады). Түрлендіру нәтижесінде мынаны аламыз: x2 - 6/5x=2.
3-тармақ. Коэффициенттің жартысы - 6/5 -6/10=-3/5, шаршыны толтыру үшін осы санды пайдаланыңыз, біз аламыз: (-3/5+x) 2 . Біз оны кеңейтеміз және алынған бос мүшені квадрат теңдеудің бастапқы түрін қанағаттандыру үшін теңдіктің сол жағынан алып тастау керек, бұл оны оң жағына қосуға тең. Нәтижесінде біз мынаны аламыз: (-3/5+x)2=59/25.
4-тармақ. Оң және теріс таңбалары бар квадрат түбірді есептеп, түбірлерін табыңдар: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Табылған екі түбірдің келесі мәндері бар: x1=(√59+3)/5 және x1=(3-√59)/5.
Орындалған есептеулер түбірлерге қатысты болғандықтан, қате жіберу ықтималдығы жоғары. Сондықтан x2 және x1 түбірлерінің дұрыстығын тексеру ұсынылады. Біз x1 аламыз: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Қазір ауыстыруx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Осылайша, теңдеудің табылған түбірлері ақиқат екенін көрсеттік.
№3 әдіс. Белгілі формуланы қолдану
Квадрат теңдеулерді шешудің бұл әдісі, мүмкін, ең қарапайым, өйткені ол коэффициенттерді белгілі формулаға ауыстырудан тұрады. Оны пайдалану үшін шешім алгоритмдерін құрастыру туралы ойлаудың қажеті жоқ, тек бір формуланы есте сақтау жеткілікті. Ол жоғарыдағы суретте көрсетілген.
Бұл формуладағы радикалды өрнек (b2-4ac) дискриминант (D) деп аталады. Оның мәнінен қандай тамыр алынғанына байланысты. 3 жағдай бар:
- D>0, содан кейін екі түбір теңдеу нақты және әртүрлі болады.
- D=0, содан кейін түбір шығады, оны x=-b/(a2) өрнегі арқылы есептеуге болады.
- D<0, содан кейін сіз күрделі сандар ретінде берілген екі түрлі ойдан шығарылған түбір аласыз. Мысалы, 3-5i саны күрделі, ал қиял бірлігі i сипатты қанағаттандырады: i2=-1.
Дискриминантты есептеу арқылы шешімнің мысалы
Жоғарыдағы формуланы пайдаланып жаттығу үшін квадрат теңдеуге мысал келтірейік. -3x2-6+3x+4x=0 түбірлерін табыңыз. Алдымен дискриминанттың мәнін есептеп, мынаны аламыз: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
D<0 алынғандықтан, бұл қарастырылатын теңдеудің түбірлері күрделі сандар екенін білдіреді. Алдыңғы абзацта берілген формулаға табылған D мәнін қою арқылы оларды табайық (ол жоғарыдағы фотода да көрсетілген). Біз мынаны аламыз: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
№4 әдіс. Функция графигін пайдалану
Оны шаршы теңдеулерді шешудің графикалық әдісі деп те атайды. Айта кету керек, ол, әдетте, сандық емес, қарастырылатын теңдеудің сапалық талдауы үшін қолданылады.
Әдістің мәні парабола болып табылатын y=f(x) квадраттық функцияның графигін салу болып табылады. Содан кейін параболаның х осін (X) қай нүктелерде қиып өтетінін анықтау керек, олар сәйкес теңдеудің түбірлері болады.
Параболаның X осімен қиылысатынын білу үшін оның минимумының (максимумының) орнын және оның тармақтарының бағытын білу жеткілікті (олар ұлғаюы немесе кемуі мүмкін). Бұл қисықтың екі қасиетін есте сақтау керек:
- Егер a>0 - тармақтың параболалары жоғары бағытталған болса, керісінше, a<0 болса, онда олар төмендейді.
- Параболаның минималды (максималды) координатасы әрқашан x=-b/(2a).
Мысалы, -4x+5x2+10=0 теңдеуінің түбірі бар-жоғын анықтау керек. Сәйкес парабола жоғары бағытталған болады, өйткені a=5>0. Оның экстремумының координаттары бар: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. қисығының минимумы х осінен жоғары орналасқан (y=9, 2), онда ол соңғысын ешбір жағдайда қимайды.x мәндері. Яғни, берілген теңдеудің нақты түбірі жоқ.
Вьета теоремасы
Жоғарыда атап өтілгендей, бұл теорема дискриминанты бар формуланы қолдануға негізделген No3 әдістің салдары болып табылады. Виета теоремасының мәні мынада: ол теңдеудің коэффициенттері мен оның түбірлерін теңдікке қосуға мүмкіндік береді. Сәйкес теңдіктерді алайық.
Дискриминант арқылы түбірлерді есептеу формуласын қолданайық. Екі түбір қоссаңыз, мынаны аламыз: x1+x2=-b/a. Енді түбірлерді бір-біріне көбейтейік: x1x2, бірқатар жеңілдетулерден кейін c/a санын аламыз.
Осылайша, квадрат теңдеулерді Виета теоремасы бойынша шешу үшін алынған екі теңдікті пайдалануға болады. Егер теңдеудің барлық үш коэффициенті белгілі болса, онда түбірлерді осы екі теңдеудің сәйкес жүйесін шешу арқылы табуға болады.
Вьета теоремасын қолдану мысалы
Квадрат теңдеудің x2+c=-bx және түбірлері 3 және -4 екенін білсеңіз, оны жазуыңыз керек.
Қарастырылып отырған теңдеудегі a=1 болғандықтан, Vieta формулалары келесідей болады: x2+x1=-b және x2x1=б. Түбірлердің белгілі мәндерін ауыстырып, аламыз: b=1 және c=-12. Нәтижесінде қалпына келтірілген квадраттық келтірілген теңдеу келесідей болады: x2-12=-1x. Оған түбірлердің мәнін қойып, теңдік сақталатынына көз жеткізуге болады.
Вьета теоремасын кері қолдану, яғни түбірлерді есептеутеңдеудің белгілі түрі, a, b және c кіші бүтін сандарына шешімдерді жылдам (интуитивті) табуға мүмкіндік береді.
