Кейбір математикалық есептер квадрат түбірді есептеу мүмкіндігін қажет етеді. Бұл есептер екінші ретті теңдеулерді шешуді қамтиды. Бұл мақалада квадрат түбірлерді есептеудің тиімді әдісін ұсынамыз және оны квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларымен жұмыс істегенде қолданамыз.
Квадрат түбір дегеніміз не?
Математикада бұл ұғым √ таңбасына сәйкес келеді. Тарихи деректер оның алғаш рет шамамен 16 ғасырдың бірінші жартысында Германияда қолданыла бастағанын айтады (Алгебра бойынша алғашқы неміс жұмысы Кристоф Рудольф). Ғалымдар бұл таңбаны трансформацияланған латын әрпі r деп есептейді (radix латын тілінде «түбір» дегенді білдіреді).
Кез келген санның түбірі осындай мәнге тең, оның квадраты түбір өрнекке сәйкес келеді. Математика тілінде бұл анықтама келесідей болады: √x=y, егер y2=x.
Оң санның түбірі (x > 0) даоң сан (y > 0), бірақ егер түбір теріс саннан алынса (x < 0), онда оның нәтижесі i елес бірлігін қоса алғанда күрделі сан болады.
Міне екі қарапайым мысал:
√9=3, себебі 32 =9; √(-9)=3i, себебі i2=-1.
Квадрат түбірлерді табуға арналған Геронның итерациялық формуласы
Жоғарыда келтірілген мысалдар өте қарапайым және олардағы түбірлерді есептеу қиын емес. Натурал санның квадраты ретінде көрсетуге болмайтын кез келген мәннің түбір мәндерін табу кезінде қиындықтар туындай бастайды, мысалы, √10, √11, √12, √13, іс жүзінде бұл фактіні айтпағанда. бүтін емес сандар үшін түбірлерді табу қажет: мысалы √(12, 15), √(8, 5) және т.б.
Жоғарыда аталған барлық жағдайларда квадрат түбірді есептеудің арнайы әдісін қолдану керек. Қазіргі уақытта мұндай бірнеше әдістер белгілі: мысалы, Тейлор қатарындағы кеңейту, бағанға бөлу және басқалары. Барлық белгілі әдістердің ішінде ең қарапайым және тиімдісі Геронның итерациялық формуласын қолдану болып табылады, ол квадрат түбірлерді анықтаудың вавилондық әдісі ретінде де белгілі (ежелгі вавилондықтар оны практикалық есептеулерінде қолданғаны туралы дәлелдер бар).
√x мәнін анықтау қажет болсын. Квадрат түбірін табу формуласы келесідей:
an+1=1/2(a+x/a), мұнда limn->∞(a)=> x.
Осы математикалық белгілердің шифрын ашыңыз. √x есептеу үшін a0 санын алу керек (ол ерікті болуы мүмкін, бірақ жылдам нәтиже алу үшін оны (a0) етіп таңдау керек.) 2 мүмкіндігінше x-ке жақын болды, содан кейін оны көрсетілген квадрат түбір формуласына ауыстырыңыз және жаңа a1 алыңыз, ол қазірдің өзінде болады қажетті мәнге жақынырақ болыңыз. өрнекке 1 орнына қойып, 2 алу керек Бұл процедура қажетті дәлдікке жеткенше қайталануы керек..
Геронның қайталанатын формуласын қолдану мысалы
Берілген санның квадрат түбірін алу үшін жоғарыда сипатталған алгоритм көптеген адамдар үшін өте күрделі және түсініксіз болып көрінуі мүмкін, бірақ іс жүзінде бәрі әлдеқайда қарапайым болып шығады, өйткені бұл формула өте тез жиналады (әсіресе бақытты сан болса 0 таңдалды.
Қарапайым мысалды алайық: √11 есептеу керек. 0=3 таңдаймыз, өйткені 32=9, ол 42 қарағанда 11-ге жақын=16. Формулаға ауыстырсақ, мынаны аламыз:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Есептеулерді жалғастырудың қажеті жоқ, өйткені біз a2 және a3 тек 5-ші ондық бөлшекте ерекшеленетінін білдік. орын. Осылайша, формуланы тек 2 есе қолдану жеткілікті болды√11 мәнін 0,0001 шегіне дейін есептеңіз.
Қазіргі уақытта калькуляторлар мен компьютерлер түбірлерді есептеу үшін кеңінен қолданылады, алайда олардың нақты мәнін қолмен есептей алу үшін белгіленген формуланы есте сақтау пайдалы.
Екінші ретті теңдеулер
Квадрат түбірдің не екенін түсіну және оны есептей білу квадрат теңдеулерді шешуде қолданылады. Бұл теңдеулер бір белгісізі бар теңдіктер, олардың жалпы түрі төмендегі суретте көрсетілген.
Мұнда c, b және a - кейбір сандар, және a нөлге тең болмауы керек, және c және b мәндері нөлді қосқанда толығымен ерікті болуы мүмкін.
Суретте көрсетілген теңдікті қанағаттандыратын кез келген х мәндері оның түбірлері деп аталады (бұл ұғымды квадрат түбірмен √ шатастырмау керек). Қарастырылып отырған теңдеу 2-ші ретті (x2) болғандықтан, оның түбірлері үшін екіден көп сан болуы мүмкін емес. Бұл түбірлерді кейінірек мақалада қалай табуға болатынын қарастырайық.
Квадрат теңдеудің түбірлерін табу (формула)
Теңдіктердің қарастырылатын түрін шешудің бұл әдісі әмбебап немесе дискриминант арқылы әдіс деп те аталады. Оны кез келген квадрат теңдеулерге қолдануға болады. Квадрат теңдеудің дискриминанты мен түбірлерінің формуласы келесідей:
Бұл түбірлер теңдеудің үш коэффициентінің әрқайсысының мәніне тәуелді екенін көрсетеді. Оның үстіне есептеуx1 x2 есептеуінен тек квадрат түбір алдындағы таңбамен ерекшеленеді. b2 - 4ac мәніне тең радикалды өрнек қарастырылатын теңдіктің дискриминантынан басқа ештеңе емес. Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласындағы дискриминант маңызды рөл атқарады, өйткені ол шешімдердің саны мен түрін анықтайды. Сонымен, егер ол нөлге тең болса, онда бір ғана шешім болады, егер ол оң болса, онда теңдеудің екі нақты түбірі болады, соңында теріс дискриминант екі күрделі түбірге әкеледі x1 және x 2.
Вьета теоремасы немесе екінші ретті теңдеулердің түбірлерінің кейбір қасиеттері
16 ғасырдың аяғында қазіргі алгебраның негізін салушылардың бірі француз Франсуа Виет екінші ретті теңдеулерді зерттей отырып, оның түбірлерінің қасиеттерін ала алды. Математикалық түрде оларды былай жазуға болады:
x1 + x2=-b / a және x1 x 2=c / a.
Екі теңдікті де кез келген адам оңай ала алады, ол үшін тек дискриминантпен формула арқылы алынған түбірлермен сәйкес математикалық амалдарды орындау қажет.
Осы екі өрнектің қосындысын квадрат теңдеудің түбірлерінің екінші формуласы деп атауға болады, бұл дискриминантты пайдаланбай оның шешімдерін болжауға мүмкіндік береді. Бұл жерде ескеретін жайт, екі өрнектің де әрқашан жарамды болғанымен, оларды тек көбейткіштерге бөлуге болатын болса ғана теңдеуді шешу үшін пайдалану ыңғайлы.
Алған білімді бекіту тапсырмасы
Мақалада талқыланған барлық әдістерді көрсететін математикалық есепті шешейік. Есептің шарттары келесідей: көбейтіндісі -13, ал қосындысы 4 болатын екі санды табу керек.
Бұл шарт бірден Вьета теоремасын еске түсіреді, квадрат түбірлердің қосындысы мен олардың көбейтіндісінің формулаларын қолданып, біз жазамыз:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
А=1 деп есептесек, b=-4 және c=-13. Бұл коэффициенттер екінші ретті теңдеуді жазуға мүмкіндік береді:
x2 - 4x - 13=0.
Дискриминантпен формуланы қолданыңыз, біз келесі түбірлерді аламыз:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Яғни тапсырма √68 санын табуға дейін қысқарды. 68=417 екенін ескеріңіз, содан кейін квадрат түбір қасиетін пайдаланып, мынаны аламыз: √68=2√17.
Енді қарастырылған квадрат түбір формуласын қолданайық: a0=4, содан кейін:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
А3 есептеудің қажеті жоқ, себебі табылған мәндер тек 0,02-ге ерекшеленеді. Осылайша, √68=8,246. Оны x формуласына ауыстыру 1, 2, аламыз:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 және x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Көріп отырғаныңыздай, табылған сандардың қосындысы шынымен 4, бірақ олардың көбейтіндісін тапсаңыз, ол -12-ге тең болады,999, бұл мәселенің шартын 0,001 дәлдікпен қанағаттандырады.
