Күрделі сандар: анықтамасы және негізгі ұғымдары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Квадрат теңдеудің қасиеттерін зерттеген кезде шектеу қойылды - нөлден кіші дискриминант үшін шешім жоқ. Біз нақты сандар жиыны туралы айтып отырмыз деп бірден шарт қойды. Математиктің ізденімпаз ойы қызықтырады - нақты құндылықтар туралы тармақта қандай сыр бар?

Уақыт өте келе математиктер күрделі сандар ұғымын енгізді, мұнда минус бірдің екінші түбірінің шартты мәні бірлік ретінде қабылданады.

Тарихи дерек

Математикалық теория қарапайымнан күрделіге қарай дәйекті түрде дамиды. «Күрделі сан» деп аталатын ұғымның қалай пайда болғанын және оның не үшін қажет екенін анықтап көрейік.

Ежелден математиканың негізі кәдімгі есеп болған. Зерттеушілер құндылықтардың табиғи жиынтығын ғана білген. Қосу және азайту оңай болды. Экономикалық қарым-қатынастар күрделене түскен сайын бірдей мәндерді қосудың орнына көбейту қолданыла бастады. Кері операция баркөбейту - бөлу.

Натурал сан ұғымы арифметикалық амалдарды қолдануды шектеді. Бүтін сандар жиынында бөлудің барлық есептерін шығару мүмкін емес. Бөлшектермен жұмыс ең алдымен рационал шамалар түсінігіне, содан кейін иррационал шамаларға әкелді. Егер рационал үшін нүктенің түзудегі нақты орнын көрсету мүмкін болса, иррационал үшін мұндай нүктені көрсету мүмкін емес. Сіз тек интервалды шамамен ала аласыз. Рационал және иррационал сандардың бірігуі нақты жиынды құрады, ол берілген масштабпен белгілі бір сызық түрінде ұсынылуы мүмкін. Жол бойындағы әрбір қадам натурал сан және олардың арасында рационал және иррационал мәндер болады.

Теориялық математика дәуірі басталды. Астрономияның, механиканың, физиканың дамуы барған сайын күрделі теңдеулерді шешуді талап етті. Жалпы квадрат теңдеудің түбірлері табылды. Күрделі текше көпмүшені шешу кезінде ғалымдар қарама-қайшылыққа тап болды. Теріс түбірден текше түбір ұғымы мағынасы бар, бірақ квадрат түбір үшін белгісіздік алынады. Оның үстіне квадрат теңдеу тек кубтың ерекше жағдайы ғана.

1545 жылы итальяндық Дж. Кардано елестетілген сан ұғымын енгізуді ұсынды.

Бұл сан минус бірдің екінші түбірі. Күрделі сан термині тек үш жүз жылдан кейін атақты математик Гаусстың еңбектерінде түпкілікті қалыптасты. Ол формальды түрде алгебраның барлық заңдарын елестетілген санға дейін кеңейтуді ұсынды. Нақты сызық дейін ұзартылдыұшақтар. Әлем үлкен.

Негізгі ұғымдар

Нақты жиында шектеулері бар бірқатар функцияларды еске түсіріңіз:

y=arcsin(x), теріс және оң 1 арасында анықталған.
y=ln(x), ондық логарифм оң аргументтермен мағынаға ие.
квадрат түбірі y=√x, тек x ≧ 0 үшін есептеледі.

I=√(-1) мәнін белгілей отырып, біз ойдан шығарылған сан сияқты ұғымды енгіземіз, бұл жоғарыда аталған функцияларды анықтау облысындағы барлық шектеулерді алып тастайды. y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) сияқты өрнектер күрделі сандардың кейбір кеңістігінде мағыналы болады.

Алгебралық пішінді нақты x және y мәндерінің жиынында z=x + i×y өрнегі түрінде жазуға болады және i² =-1.

Жаңа тұжырымдама кез келген алгебралық функцияны пайдаланудағы барлық шектеулерді алып тастайды және нақты және болжалды мәндердің координатасында түзу сызықтың графигіне ұқсайды.

Күрделі ұшақ

Күрделі сандардың геометриялық түрі олардың көптеген қасиеттерін көрнекі түрде көрсетуге мүмкіндік береді. Re(z) осінде нақты x мәндерін, Im(z) бойынша - y-дің ойдан шығарылған мәндерін белгілейміз, содан кейін жазықтықтағы z нүктесі қажетті кешенді мәнді көрсетеді.

Анықтамалар:

Re(z) - нақты ось.
Im(z) - елестету осін білдіреді.
z - күрделі санның шартты нүктесі.
Вектордың нөлден z-ге дейінгі ұзындығының сандық мәні деп аталадымодуль.
Нақты және қиял осьтері ұшақты ширектерге бөледі. Координаттардың оң мәнімен - I тоқсан. Нақты осьтің аргументі 0-ден аз, ал елестету осі 0-ден үлкен болғанда - II ширек. Координаталар теріс болғанда – III тоқсан. Соңғы, төртінші тоқсанда көптеген оң нақты мәндер мен теріс ойдан шығарылған мәндер бар.

Осылайша, x және y координата мәндері бар жазықтықта әрқашан күрделі санның нүктесін елестетуге болады. i кейіпкері шынайы бөлікті ойдан ажырату үшін енгізілген.

Сипаттар

Елес аргументтің мәні нөлге тең болғанда, біз нақты осьте орналасқан және нақты жиынға жататын жай ғана санды (z=x) аламыз.
Нақты аргументтің мәні нөлге айналған кездегі ерекше жағдай, z=i×y өрнегі ойша осьтегі нүктенің орнына сәйкес келеді.
z=x + i×y жалпы пішімі аргументтердің нөлдік емес мәндері үшін болады. Ширектердің біріндегі күрделі санды сипаттайтын нүктенің орнын көрсетеді.

Тригонометриялық белгілеу

Полярлық координаталар жүйесін және sin және cos тригонометриялық функцияларының анықтамасын еске түсіріңіз. Бұл функциялардың көмегімен жазықтықтағы кез келген нүктенің орнын сипаттауға болатыны анық. Ол үшін полярлық сәуленің ұзындығын және нақты оське көлбеу бұрышын білу жеткілікті.

Анықтама. ∣z ∣ түріндегі жазба cos(ϴ) тригонометриялық функциялардың қосындысына және i ×sin(ϴ) елес бөлігі тригонометриялық комплекстік сан деп аталады. Мұнда белгілеу нақты оське еңкею бұрышы

ϴ=arg(z) және r=∣z∣, сәуленің ұзындығы.

Тригонометриялық функциялардың анықтамасы мен қасиеттерінен өте маңызды Моивр формуласы келесідей:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Бұл формуланы қолдану арқылы құрамында тригонометриялық функциялар бар көптеген теңдеулер жүйесін шешу ыңғайлы. Әсіресе билікке көтерілу мәселесі туындағанда.

Модуль және фаза

Күрделі жиынның сипаттамасын аяқтау үшін біз екі маңызды анықтаманы ұсынамыз.

Пифагор теоремасын біле отырып, полярлық координаталар жүйесіндегі сәуленің ұзындығын есептеу оңай.

r=∣z∣=√(x² + y²), күрделі кеңістіктегі мұндай белгілеу "" деп аталады. модуль» және 0-ден жазықтықтағы нүктеге дейінгі қашықтықты сипаттайды.

Күрделі сәуленің нақты ϴ сызығына көлбеу бұрышы әдетте фаза деп аталады.

Анықтама нақты және елес бөліктердің циклдік функциялар арқылы сипатталатынын көрсетеді. Атап айтқанда:

x=r × cos(ϴ);
y=r × sin(ϴ);

Керісінше, фаза келесі формула арқылы алгебралық мәндерге қатысты:

ϴ=arctan(x / y) + µ, μ түзету геометриялық функциялардың кезеңділігін есепке алу үшін енгізілген.

Эйлер формуласы

Математиктер экспоненциалды пішінді жиі пайдаланады. Күрделі жазықтық сандар

өрнектері түрінде жазылады

z=r × eⁱ^×^ϴ , ол Эйлер формуласынан шығады.

Бұл жазба физикалық шамаларды практикалық есептеу үшін кеңінен қолданылады. Пішінде көрсету формасыэкспоненциалды кешенді сандар инженерлік есептеулер үшін әсіресе ыңғайлы, мұнда синусоидалы токтары бар тізбектерді есептеу қажет болады және берілген периоды бар функциялардың интегралдар мәнін білу қажет. Есептердің өзі әртүрлі машиналар мен механизмдерді жобалауда құрал ретінде қызмет етеді.

Амалдарды анықтау

Жоғарыда айтылғандай, негізгі математикалық функциялармен жұмыс істеудің барлық алгебралық заңдары күрделі сандарға қолданылады.

Қосынды операция

Күрделі мәндерді қосқанда олардың нақты және қиял бөліктері де қосылады.

z=z₁ + z₂ мұнда z₁ және z2 _{- жалпы күрделі сандар. Өрнекті түрлендіру, жақшаларды ашып, белгілеуді жеңілдеткеннен кейін нақты аргумент x=(x}1 _{+ x}2_{), елестетілген y аргументін аламыз.=(y 1} + y₂).

Графикте ол белгілі параллелограмм ережесіне сәйкес екі векторды қосу сияқты көрінеді.

Алу операциясы

Қосудың ерекше жағдайы ретінде қарастырылады, бір сан оң, екіншісі теріс, яғни айна ширегінде орналасқан. Алгебралық белгілер нақты және елестетілген бөліктер арасындағы айырмашылыққа ұқсайды.

z=z₁ - z₂ немесе аргументтердің мәндерін ескере отырып, қосуға ұқсас операциясы, біз нақты мәндер үшін аламыз x=(x₁ - x₂) және елес y=(y₁- y₂).

Күрделі жазықтықтағы көбейту

Көпмүшелермен жұмыс істеу ережелерін пайдалана отырып, формуланы шығарамызкүрделі сандарды шешу.

Жалпы алгебралық ережелерді сақтай отырып z=z₁×z₂, әрбір аргументке сипаттама беріңіз және ұқсастарын тізіңіз. Нақты және қиял бөліктерін былай жазуға болады:

x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

Көрсеткіштік күрделі сандарды пайдалансақ, әдемірек көрінеді.

Өрнек келесідей: z=z₁ × z₂ =r₁ × eⁱ^ϴ¹ × r₂ × eiϴ2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ¹⁺^ϴ2).

Одан әрі қарапайым, модульдер көбейтіліп, фазалар қосылады.

Бөлім

Бөлу операциясын көбейтуге кері амал ретінде қарастырғанда, көрсеткіштік белгілеудегі қарапайым өрнек аламыз. z₁ мәнін z₂ санына бөлу олардың модульдері мен фазалар айырмашылығын бөлудің нәтижесі болып табылады. Ресми түрде, күрделі сандардың экспоненциалды түрін пайдаланған кезде ол келесідей болады:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ⁱ^ϴ¹ / r₂ × eⁱ ^ϴ²=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

Алгебралық белгілеу түрінде күрделі жазықтықтың сандарын бөлу операциясы біршама күрделірек жазылған:

z=z₁ / z_2.

Аргументтерді сипаттау және көпмүшелік түрлендірулерді орындау, мәндерді алу оңайx=x₁ × x₂ + y₁ × y₂, тиісінше y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ , алайда сипатталған кеңістікте бұл өрнек z₂ ≠ 0 болса, мағынасы болады.

Түбірді шығарып алыңыз

Жоғарыда айтылғандардың барлығын күрделірек алгебралық функцияларды анықтау кезінде қолдануға болады - кез келген дәрежеге көтеру және оған кері - түбірді шығару.

n дәрежесіне көтерудің жалпы түсінігін пайдалана отырып, біз анықтаманы аламыз:

zⁿ =(r × eⁱ^ϴ).

Жалпы сипаттарды пайдаланып, келесі түрде қайта жазыңыз:

zⁿ =rⁿ × eⁱ^ϴ.

Бізде күрделі санды дәрежеге көтерудің қарапайым формуласы бар.

Дәреженің анықтамасынан біз өте маңызды нәтиже аламыз. Қиял бірліктің жұп күші әрқашан 1 болады. Қиял бірліктің кез келген тақ қуаты әрқашан -1 болады.

Енді кері функцияны зерттейік – түбірді шығару.

Тапсырманы жеңілдету үшін n=2 алайық. С күрделі жазықтығындағы z күрделі мәнінің w квадрат түбірі z=± өрнегі болып саналады, одан үлкен немесе тең кез келген нақты аргумент үшін жарамды. нөл. w ≦ 0 үшін шешім жоқ.

Ең қарапайым квадрат теңдеуді қарастырайық z² =1. Күрделі сандар формулаларын пайдаланып, r² × eⁱ^2ϴ =r² × eⁱ^2ϴ=ei0^{. Жазбадан r}2 ^{=1 және ϴ=0 екенін көруге болады, сондықтан бізде 1-ге тең бірегей шешім бар. Бірақ бұл z=-1 квадрат түбір анықтамасына да сәйкес келеді деген түсінікке қайшы келеді.}

Біз нені ескермейтінімізді анықтайық. Егер тригонометриялық белгілерді еске түсірсек, онда мәлімдемені қалпына келтіреміз - ϴ фазасының мерзімді өзгеруімен комплекстік сан өзгермейді. Периодтың мәнін p белгілейік, онда r² × eⁱ^2ϴ =ei(0+p)^{, қайдан 2ϴ=0 + p, немесе ϴ=p / 2. Сондықтан, e}i0 ^{=1 және e}i^p^/2 =-1. Біз квадрат түбір туралы жалпы түсінікке сәйкес келетін екінші шешімді алдық.

Сонымен, күрделі санның ерікті түбірін табу үшін процедураны орындаймыз.

Көрсеткіштік пішінді жазыңыз w=∣w∣ × eⁱ⁽^arg (w) + pk), k – ерікті бүтін сан.
Қажетті сан Эйлер түрінде де берілген z=r × eⁱ^ϴ.
Түбір шығару функциясының жалпы анықтамасын пайдаланыңыз r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i(arg(w) + pk).
Модульдер мен аргументтердің теңдігінің жалпы қасиеттерінен rⁿ =∣w∣ және nϴ=arg (w) + p×k деп жазамыз.
Күрделі санның түбірінің соңғы жазбасы z=√∣w∣ × eⁱ ^{формуласымен сипатталады (} ^arg (w) + pk ^{) /} .
Ескертпе. ∣w∣ мәні, анықтамасы бойынша,оң нақты сан, сондықтан кез келген дәреженің түбірі мағынасы бар.

Өріс және конъюгация

Қорытындылай келе, күрделі сандармен қолданбалы есептерді шешу үшін маңызы аз, бірақ математикалық теорияны одан әрі дамыту үшін өте маңызды екі маңызды анықтама береміз.

Қосу және көбейту өрнектері күрделі z жазықтығының кез келген элементтері үшін аксиомаларды қанағаттандыратын болса, өріс құрайды делінеді:

Күрделі қосынды күрделі мүшелердің орнын ауыстырғанда өзгермейді.
Өтініш ақиқат – күрделі өрнекте екі санның кез келген қосындысын олардың мәнімен ауыстыруға болады.
z + 0=0 + z=z дұрыс болатын бейтарап 0 мәні бар.
Кез келген z үшін қарама-қарсы - z бар, оған қосу нөл береді.
Күрделі факторлардың орнын ауыстырған кезде күрделі өнім өзгермейді.
Кез келген екі санның көбейтіндісін олардың мәнімен ауыстыруға болады.
Бейтарап мән 1 бар, оны көбейту күрделі санды өзгертпейді.
Әр z ≠ 0 үшін z^-1 кері мәні бар, ол 1-ге көбейтіледі.
Екі санның қосындысын үштен біріне көбейту олардың әрқайсысын осы санға көбейтіп, нәтижелерді қосу операциясына тең.
0 ≠ 1.

z₁ =x + i×y және z₂ =x - i×y сандары конъюгат деп аталады.

Теорема. Конъюгация үшін мәлімдеме дұрыс:

Қосындының конъюгациясы конъюгаттық элементтердің қосындысына тең.
Өнімнің конъюгаты болып табыладыконъюгациялар туындысы.
Үлестірменің жалғауы санның өзіне тең.

Жалпы алгебрада мұндай қасиеттер өрістік автоморфизмдер деп аталады.

Мысалдар

Күрделі сандардың берілген ережелері мен формулаларын сақтай отырып, олармен оңай әрекет ете аласыз.

Ең қарапайым мысалдарды қарастырайық.

1-есеп. 3y +5 x i=15 - 7i теңдеуін пайдаланып, x және y сандарын анықтаңыз.

Шешім. Күрделі теңдіктердің анықтамасын еске түсірейік, сонда 3у=15, 5х=-7. Демек, x=-7 / 5, y=5.

2-тапсырма. 2 + i²⁸ және 1 + i¹³⁵ мәндерін есептеңіз.

Шешім. Әлбетте, 28 - жұп сан, күрделі санның анықтамасының нәтижесінен i²⁸ =1 дәрежесі бар, яғни 2 + i ^{өрнегі 28} =3. Екінші мән, i¹³⁵ =-1, содан кейін 1 + i¹³⁵ =0.

3-тапсырма. 2 + 5i және 4 + 3i мәндерінің көбейтіндісін есептеңіз.

Шешім. Күрделі сандарды көбейтудің жалпы қасиеттерінен (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20) аламыз. Жаңа мән -7 + 26i болады.

4-тапсырма. z³ =-i.

теңдеуінің түбірлерін есептеңіз

Шешім. Күрделі санды табудың бірнеше жолы бар. Мүмкін болатындардың бірін қарастырайық. Анықтама бойынша, ∣ - i∣=1, -i үшін фаза -p / 4. Бастапқы теңдеуді r³e^{i ретінде қайта жазуға болады.}3ϴ ^=e-p/4+pk^{, мұндағы z=e}-p / 12 + pk/3^{, кез келген бүтін k. үшін}

Шешім жинағының пішіні бар (e^-^ip/12,e^ip^/4, eⁱ² ^p/3).

Бізге күрделі сандар не үшін керек

Теориямен жұмыс істейтін ғалымдар өз нәтижелерін іс жүзінде қолдану туралы ойланбайтын көптеген мысалдарды тарих біледі. Математика – бұл ең алдымен ақыл ойыны, себеп-салдар байланысын қатаң сақтау. Математикалық конструкциялардың барлығы дерлік интегралдық және дифференциалдық теңдеулерді шешуге келтіріледі, ал олар, өз кезегінде, белгілі бір жуықтаумен, көпмүшелердің түбірлерін табу арқылы шешіледі. Мұнда біз ең алдымен ойдан шығарылған сандар парадоксын кездестіреміз.

Натуралист ғалымдар әртүрлі теңдеулерді шешуге жүгіне отырып, толық практикалық есептерді шеше отырып, математикалық парадокстарды ашады. Бұл парадокстарды түсіндіру мүлдем таңғажайып жаңалықтарға әкеледі. Электромагниттік толқындардың қосарлы табиғаты осындай мысалдардың бірі болып табылады. Күрделі сандар олардың қасиеттерін түсінуде шешуші рөл атқарады.

Бұл, өз кезегінде, оптика, радиоэлектроника, энергетика және басқа да көптеген технологиялық салаларда практикалық қолдануды тапты. Тағы бір мысал, физикалық құбылыстарды түсіну әлдеқайда қиын. Антиматерия қаламның ұшымен болжалды. Көптеген жылдар өткен соң ғана оны физикалық синтездеу әрекеттері басталады.

Тек физикада осындай жағдайлар болады деп ойламаңыз. Жабайы табиғатта, макромолекулалардың синтезінде, жасанды интеллектті зерттеу кезінде қызықты жаңалықтар ашылады. Және мұның бәрі соның арқасындасанамыздың кеңеюі, табиғи құндылықтарды қарапайым қосу және азайтудан бас тарту.