Геометрия әдемі, өйткені алгебрадан айырмашылығы, бұл жерде сіз не ойлайтыныңыз және неліктен әрқашан түсініксіз, ол нысанға көрінетін мүмкіндік береді. Бұл әртүрлі денелерден тұратын ғажайып әлем кәдімгі көпбұрыштармен безендірілген.
Кәдімгі көп қырлылар туралы жалпы ақпарат
Көптеген адамдардың пікірінше, кәдімгі көп қырлылар немесе оларды платондық қатты денелер деп те атайды, бірегей қасиеттерге ие. Бұл объектілермен бірнеше ғылыми гипотезалар байланысты. Осы геометриялық денелерді зерттей бастағанда, сіз кәдімгі көп қырлы ұғымдар туралы іс жүзінде ештеңе білмейтініңізді түсінесіз. Мектепте бұл нысандардың тұсаукесері әрқашан қызықты бола бермейді, сондықтан көпшілігі олардың қалай аталатынын есіне де алмайды. Көптеген адамдар тек текшені есте сақтайды. Геометриядағы денелердің ешқайсысы кәдімгі көп қырлылар сияқты мінсіз емес. Бұл геометриялық денелердің барлық атаулары Ежелгі Грециядан шыққан. Олар бет санын білдіреді: тетраэдр – төрт қырлы, гексаэдр – алты қырлы, октаэдр – октаэдр, додекаэдр – он екі қырлы, икосаэдр – жиырма қырлы. Осы геометриялық денелердің барлығыПлатонның ғалам туралы концепциясында маңызды орын алды. Олардың төртеуі элементтерді немесе тұлғаларды бейнеледі: тетраэдр - от, икосаэдр - су, куб - жер, октаэдр - ауа. Додекаэдр бар нәрсенің барлығын бейнелеген. Ол негізгі болып саналды, өйткені ол ғаламның символы болды.
Көпбұрыш түсінігін жалпылау
Көпбұрыш дегеніміз:
болатындай шектеулі көпбұрыштар жиынтығы
- көпбұрыштардың кез келген қабырғаларының әрқайсысы бір уақытта бір жағындағы бір басқа көпбұрыштың қабырғасы болады;
- көпбұрыштардың әрқайсысынан басқаларына оған іргелес көпбұрыштар арқылы өтуге болады.
Көпбұрышты құрайтын көпбұрыштар оның беттері, ал қабырғалары шеттері. Көпбұрыштардың төбелері көпбұрыштардың төбелері болып табылады. Егер көпбұрыш түсінігі жалпақ тұйық үзік сызықтар деп түсінілетін болса, онда көпбұрыштың бір анықтамасына келеді. Егер бұл ұғым жазықтықтың үзік сызықтармен шектелген бөлігін білдіретін болса, онда көпбұрышты бөліктерден тұратын бетті түсіну керек. Дөңес полиэдр - жазықтықтың бір жағында оның бетіне іргелес жатқан дене.
Көп қырлы және оның элементтерінің басқа анықтамасы
Көпбұрыш – геометриялық денені шектейтін көпбұрыштардан тұратын бет. Олар:
- дөңес емес;
- дөңес (дұрыс және дұрыс емес).
Дұрыс көпбұрыш деп максималды симметриялы дөңес көпбұрышты айтады. Кәдімгі көп қырлылардың элементтері:
- тетраэдр: 6 шет, 4 бет, 5 шың;
- гексаэдр (куб): 12, 6, 8;
- додекаэдр: 30, 12, 20;
- октаэдр: 12, 8, 6;
- икосаэдр: 30, 20, 12.
Эйлер теоремасы
Ол топологиялық тұрғыдан шарға эквивалентті жиектер, шыңдар және беттер саны арасындағы қатынасты орнатады. Әртүрлі дұрыс көпбұрыштардың төбелері мен беттерінің санын (B + D) қосу және оларды жиектер санымен салыстыру арқылы бір үлгіні орнатуға болады: беттер мен шыңдар санының қосындысы жиектер санына тең (P) өсті 2 арқылы. Қарапайым формуланы шығаруға болады:
B + D=R + 2
Бұл формула барлық дөңес көпбұрыштар үшін дұрыс.
Негізгі анықтамалар
Тұрақты көпбұрыш ұғымын бір сөйлеммен сипаттау мүмкін емес. Бұл әлдеқайда мағыналы және көлемді. Денені осылай деп тану үшін ол бірқатар анықтамаларға сай болуы керек. Сонымен, келесі шарттар орындалса, геометриялық дене дұрыс көпбұрыш болады:
- бұл дөңес;
- оның әрбір төбесінде жиектер саны бірдей;
- оның барлық беттері бір-біріне тең дұрыс көпбұрыштар;
- оның барлық екібұрышты бұрыштары тең.
Тұрақты көп қырлылардың қасиеттері
Тұрақты көп қырлылардың 5 түрлі түрі бар:
- Куб (алты қырлы) - оның жоғарғы жағында 90° тегіс бұрышы бар. Оның 3 жақты бұрышы бар. Жоғарғы жағындағы жазық бұрыштардың қосындысы 270°.
- Тетраэдр - жоғарғы жағындағы жазық бұрыш - 60°. Оның 3 жақты бұрышы бар. Жоғарғы жағындағы жазық бұрыштардың қосындысы 180°.
- Октаэдр - төбенің жазық бұрышы - 60°. Оның 4 жақты бұрышы бар. Жоғарғы жағындағы жазық бұрыштардың қосындысы 240°.
- Додекаэдр - 108° шыңындағы жазық бұрыш. Оның 3 жақты бұрышы бар. Жоғарғы жағындағы жазық бұрыштардың қосындысы 324°.
- Икосаэдр - оның жоғарғы жағында тегіс бұрышы бар - 60°. Оның 5 жақты бұрышы бар. Жоғарғы жағындағы жазық бұрыштардың қосындысы 300°.
Тұрақты көп қырлылардың ауданы
Бұл геометриялық денелердің бетінің ауданы (S) дұрыс көпбұрыштың ауданы оның беттерінің санына (G) көбейтіндісі ретінде есептеледі:
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Дұрыс көпбұрыштың көлемі
Бұл шама табанында дұрыс көпбұрыш орналасқан дұрыс пирамиданың көлемін беттер санына көбейту арқылы есептеледі, ал биіктігі іштей сызылған шардың радиусы (r):
V=1: 3rS
Тұрақты көп қырлылардың көлемдері
Кез келген басқа геометриялық денелер сияқты кәдімгі көп қырлылардың да көлемі әртүрлі. Төменде оларды есептеуге болатын формулалар берілген:
- тетраэдр: α x 3√2: 12;
- октаэдр: α x 3√2: 3;
- икосаэдр; α x 3;
- гексаэдр (куб): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- додекаэдр: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Дұрыс көп қырлы элементтер
Гексадр мен октаэдр қос геометриялық денелер. Басқаша айтқанда, егер біреуінің бетінің ауырлық центрі екіншісінің шыңы ретінде алынса және керісінше болса, оларды бір-бірінен алуға болады. Икосаэдр мен додекаэдр де қосарлы. Тек тетраэдр ғана өзіне қосарланған. Евклид әдісі бойынша текшенің беттеріне «шатырлар» салу арқылы алты қырлыдан додекаэдр алуға болады. Тетраэдрдің төбелері текшенің кез келген 4 төбесі болады, олар жиегі бойымен жұптасып көршілес емес. Гексаэдрден (текше) басқа тұрақты көп қырлыларды алуға болады. Сансыз дұрыс көпбұрыштар болғанымен, тек 5 дұрыс көпбұрыштар бар.
Дұрыс көпбұрыштардың радиусы
Осы геометриялық денелердің әрқайсысымен байланысты 3 концентрлі шар бар:
- сипатталған, оның шыңдарынан өтетін;
- жазылған, оның әр бетін ортасына тигізеді;
- медиана, ортадағы барлық жиектерге тиіп тұр.
Сипатталған сфераның радиусы келесі формуламен есептеледі:
R=a: 2 x тг π/г x тг θ: 2
Ішілген шардың радиусы мына формуламен есептеледі:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
мұндағы θ - көрші беттер арасындағы екібұрышты бұрыш.
Орта шардың радиусын келесі формула арқылы есептеуге болады:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/сағ,
мұндағы h мәні=4, 6, 6, 10 немесе 10. Шектелген және іштей сызылған радиустардың қатынасы p және q-ға қатысты симметриялы. Олформула бойынша есептеледі:
R/r=tg π/p x tg π/q
Көп қырлылардың симметриясы
Дұрыс көп қырлылардың симметриясы осы геометриялық денелерге басты қызығушылық тудырады. Ол дененің кеңістіктегі төбелердің, беттердің және шеттердің бірдей санын қалдыратын осындай қозғалысы ретінде түсініледі. Басқаша айтқанда, симметрия түрлендіруінің әсерінен жиек, шың, бет өзінің бастапқы орнын сақтайды немесе басқа жиектің, шыңның немесе беттің бастапқы орнына жылжиды.
Дұрыс көп қырлылардың симметрия элементтері осындай геометриялық денелердің барлық түрлеріне тән. Мұнда біз кез келген нүктені бастапқы орнында қалдыратын бірдей түрлендіру туралы айтып отырмыз. Сонымен, көпбұрышты призманы айналдырғанда, бірнеше симметрияларды алуға болады. Олардың кез келгенін шағылысу туындысы ретінде көрсетуге болады. Шағылысулардың жұп санының туындысы болатын симметрия түзу деп аталады. Егер ол шағылыстың тақ санының көбейтіндісі болса, онда ол кері деп аталады. Осылайша, сызықтың айналасындағы барлық айналулар тікелей симметрия болып табылады. Көпбұрыштың кез келген шағылыуы кері симметрия болып табылады.
Тұрақты көп қырлылардың симметрия элементтерін жақсы түсіну үшін тетраэдрді мысалға алуға болады. Осы геометриялық фигураның төбелерінің бірі мен центрі арқылы өтетін кез келген түзу оған қарама-қарсы беттің ортасынан да өтеді. Сызықтың айналасындағы 120° және 240° бұрылулардың әрқайсысы көпше болады.тетраэдрдің симметриясы. Оның 4 төбесі және 4 беті болғандықтан, тек сегіз тікелей симметрия бар. Осы дененің ортасы мен ортасы арқылы өтетін сызықтардың кез келгені оның қарама-қарсы жиегінің ортасынан өтеді. Түзу сызықтың айналасындағы жарты айналым деп аталатын кез келген 180° айналу симметрия болып табылады. Тетраэдрдің үш жұп жиегі болғандықтан, тағы үш тікелей симметрия бар. Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, тікелей симметриялардың жалпы саны, соның ішінде бірдей түрлендіруді қоса алғанда, он екіге жетеді деп қорытынды жасауға болады. Тетраэдрдің басқа тікелей симметриялары жоқ, бірақ оның 12 кері симметриясы бар. Сондықтан тетраэдр жалпы 24 симметриямен сипатталады. Түсінікті болу үшін картоннан кәдімгі тетраэдрдің үлгісін құрастыруға болады және бұл геометриялық денеде шын мәнінде небәрі 24 симметрия бар екеніне көз жеткізуге болады.
Додекаэдр мен икосаэдр дененің сферасына ең жақын орналасқан. Икосаэдр беттерінің ең көп санына ие, ең үлкен екібұрышты бұрышқа ие және іші сызылған сфераға ең қатты басылуы мүмкін. Додекаэдрдің ең кіші бұрыштық ақауы, шыңындағы ең үлкен қатты бұрышы бар. Ол сипатталған сфераны барынша толтыра алады.
Көп қырлылардың сыпырылуы
Бала кезімізде бәріміз жапсырған кәдімгі орамасы жоқ көп қырлылардың көптеген ұғымдары бар. Егер әр жағы көпбұрыштың тек бір жағымен сәйкестендірілетін көпбұрыштар жинағы болса, онда жақтарды анықтау екі шартты қанағаттандыруы керек:
- әр көпбұрыштан бар көпбұрыштарды өтуге боладыанықталған жағы;
- анықталған жақтардың ұзындығы бірдей болуы керек.
Осы шарттарды қанағаттандыратын көпбұрыштар жиыны көпбұрыштың дамуы деп аталады. Бұл органдардың әрқайсысында олардың бірнешеуі бар. Мысалы, текшеде олардың 11-і бар.
