Геометрияда фигураларды зерттеу үшін екі маңызды сипаттама қолданылады: қабырғалардың ұзындықтары және олардың арасындағы бұрыштар. Кеңістіктік фигуралар жағдайында бұл сипаттамаларға екібұрышты бұрыштар қосылады. Оның не екенін қарастырайық, сонымен қатар пирамида мысалында осы бұрыштарды анықтау әдісін сипаттап көрейік.
Екі қырлы бұрыш түсінігі
Қиылысатын екі түзудің қиылысу нүктесінде төбесімен бұрыш жасайтынын бәрі біледі. Бұл бұрышты транспортирмен өлшеуге болады немесе оны есептеу үшін тригонометриялық функцияларды қолдануға болады. Екі тік бұрыш жасайтын бұрыш сызықтық деп аталады.
Енді үш өлшемді кеңістікте бір түзу бойымен қиылысатын екі жазықтық бар деп елестетіңіз. Олар суретте көрсетілген.
Екібұрышты бұрыш – қиылысатын екі жазықтықтың арасындағы бұрыш. Сызықтық сияқты, ол градуспен немесе радианмен өлшенеді. Егер жазықтықтар қиылысатын түзудің кез келген нүктесіне екі перпендикуляр қалпына келтірілсе,осы жазықтықтарда жатып, онда олардың арасындағы бұрыш қалаған диэдрлік болады. Бұл бұрышты анықтаудың ең оңай жолы - жазықтықтардың жалпы теңдеулерін пайдалану.
Жазықтықтардың теңдеуі және олардың арасындағы бұрыштың формуласы
Кеңістіктегі кез келген жазықтықтың теңдеуі жалпы түрде былай жазылады:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Мұндағы x, y, z - жазықтыққа жататын нүктелердің координаталары, A, B, C, D коэффициенттері - кейбір белгілі сандар. Бұл теңдіктің екібұрышты бұрыштарды есептеуге ыңғайлылығы, онда жазықтықтың бағыт векторының координаталары анық көрсетілген. Оны n¯ арқылы белгілейміз. Содан кейін:
n¯=(A; B; C).
n¯ векторы жазықтыққа перпендикуляр. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш олардың n1¯ және n2¯ бағыт векторларының арасындағы бұрышқа тең. Математикадан екі вектор түзетін бұрыш олардың скаляр көбейтіндісі арқылы бірегей түрде анықталатыны белгілі. Бұл екі жазықтық арасындағы екібұрышты бұрышты есептеу формуласын жазуға мүмкіндік береді:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Векторлардың координаталарын ауыстырсақ, формула анық жазылады:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Нимератордағы модуль таңбасы тек сүйір бұрышты анықтау үшін пайдаланылады, өйткені екібұрышты бұрыш әрқашан 90o кем немесе оған тең.
Пирамида және оның бұрыштары
Пирамида – бір n-бұрыш пен n үшбұрыштан құралған фигура. Мұндағы n – пирамиданың негізі болып табылатын көпбұрыштың қабырғаларының санына тең бүтін сан. Бұл кеңістіктік фигура көп қырлы немесе көпбұрыш болып табылады, өйткені ол жалпақ беттерден (жақтардан) тұрады.
Пирамида-көпбұрыштың екі қырлы бұрыштары екі түрлі болуы мүмкін:
- негіз бен қабырға арасында (үшбұрыш);
- екі жақтың арасында.
Егер пирамида дұрыс деп есептелсе, онда оның аталған бұрыштарын анықтау оңай. Ол үшін үш белгілі нүктенің координаталарын пайдалана отырып, жазықтықтар теңдеуін құру керек, содан кейін φ бұрышы үшін жоғарыдағы абзацта берілген формуланы қолдану керек.
Төменде төртбұрышты дұрыс пирамиданың табанындағы екібұрышты бұрыштарды қалай табуға болатынын көрсететін мысал келтіреміз.
Төртбұрышты дұрыс пирамида және оның табанындағы бұрыш
Табасы шаршы болатын қалыпты пирамида берілген деп есептейік. Шаршы қабырғасының ұзындығы a, фигураның биіктігі h. Пирамиданың табаны мен қабырғасының арасындағы бұрышты табыңыз.
Координаталар жүйесінің басын шаршының ортасына орналастырайық. Содан кейін нүктелердің координаталарыСуретте көрсетілген A, B, C, D келесідей болады:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; сағ).
ACB және ADB ұшақтарын қарастырайық. Әлбетте, ACB жазықтығы үшін n1¯ бағыт векторы келесідей болады:
1¯=(0; 0; 1).
ADB жазықтығының n2¯ бағыт векторын анықтау үшін келесі әрекеттерді орындаңыз: оған жататын екі ерікті векторды табыңыз, мысалы, AD¯ және AB¯, содан кейін олардың векторлық жұмысын есептеңіз. Оның нәтижесі n2¯ координаттарын береді. Бізде:
AD¯=D - A=(0; 0; с) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; с);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Векторды санға көбейту және бөлу оның бағытын өзгертпейтіндіктен, алынған n2¯ мәнін түрлендіреміз, оның координаталарын -а-ға бөлсек, мынаны аламыз:
2¯=(сағ; 0; a/2).
Біз ACB негізі мен АДБ бүйірлік жазықтықтары үшін n1¯ және n2¯ векторлық бағыттаушыларды анықтадық. φ бұрышы үшін формуланы пайдалану қалады:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Алынған өрнекті түрлендіріңіз және оны келесідей қайта жазыңыз:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Тұрақты төртбұрышты пирамида үшін табандағы екібұрышты бұрыштың формуласын алдық. Фигураның биіктігін және оның қабырғасының ұзындығын біле отырып, сіз φ бұрышын есептей аласыз. Мысалы, негізі жағы 230,4 метр және бастапқы биіктігі 146,5 метр болатын Хеопс пирамидасы үшін φ бұрышы 51,8o болады.
Төртбұрышты дұрыс пирамида үшін екібұрышты бұрышты геометриялық әдіс арқылы анықтауға да болады. Ол үшін биіктігі h, табанының жарты ұзындығы a/2 және тең қабырғалы үшбұрыштың апотемасы бойынша құрылған тік бұрышты үшбұрышты қарастыру жеткілікті.
