Дұрыс төртбұрышты пирамиданың көлемі. Формулалар және тапсырмалар мысалдары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Кез келген кеңістіктік фигураны зерттегенде оның көлемін қалай есептеу керектігін білу маңызды. Бұл мақалада кәдімгі төртбұрышты пирамиданың көлемінің формуласы берілген, сонымен қатар есептерді шешудің мысалы арқылы бұл формуланы қалай пайдалану керектігі көрсетілген.

Біз қандай пирамида туралы айтып отырмыз?

Әрбір орта мектеп оқушысы пирамида үшбұрыштар мен көпбұрыштардан тұратын көпбұрыш екенін біледі. Соңғысы фигураның негізі болып табылады. Үшбұрыштардың негізімен бір ортақ қабырғасы бар және пирамиданың төбесі болып табылатын бір нүктеде қиылысады.

Әр пирамида негіздің қабырғаларының ұзындығымен, бүйірлік жиектерінің ұзындығымен және биіктігімен сипатталады. Соңғысы - фигураның жоғарғы жағынан негізге түсірілген перпендикуляр сегмент.

Тұрақты төртбұрышты пирамида – биіктігі осы шаршыны ортасында қиып өтетін, негізі төртбұрышты фигура. Бәлкім, пирамидалардың осы түрінің ең танымал мысалы - ежелгі Египет тас құрылымдары. Төменде фотосурет берілгенХеопс пирамидалары.

Зерттелетін фигураның бес беті бар, оның төртеуі бірдей тең қабырғалы үшбұрыштар. Ол сондай-ақ бес төбемен сипатталады, оның төртеуі негізге жатады және сегіз қыры (негіздің 4 шеті және бүйірлік беттердің 4 шеті).

Төртбұрышты пирамиданың көлемінің формуласы дұрыс

Қарастырылып отырған фигураның көлемі бес жағынан шектелген кеңістік бөлігі болып табылады. Бұл көлемді есептеу үшін S_z пирамидасының табанына параллель кесінді ауданының z тік координатасына келесі тәуелділігін қолданамыз:

S_z=S_o (сағ - з/сағ)²

Мұнда S_o - шаршы негіздің ауданы. Жазбаша өрнекке z=h орнына қойсақ, S_z үшін нөлдік мән аламыз. Бұл z мәні пирамиданың жоғарғы бөлігін ғана қамтитын кесіндіге сәйкес келеді. Егер z=0 болса, онда S_o базалық ауданының мәнін аламыз.

С_z(z) функциясын білсеңіз, пирамида көлемін табу оңай, ол үшін фигураны шексіз санға қиып алу жеткілікті. қабаттар негізге параллель, содан кейін біріктіру операциясын орындаңыз. Мен осы техниканы ұстанамын, біз мынаны аламыз:

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3сағ²)|₀ ^h=1/3S₀сағ.

Себебі S₀шаршы табанының ауданы, содан кейін шаршының жағын а әрпімен белгілей отырып, біз кәдімгі төртбұрышты пирамиданың көлемінің формуласын аламыз:

V=1/3a²сағ.

Енді бұл өрнекті қалай қолдану керектігін көрсету үшін есептерді шешу мысалдарын қолданайық.

Пирамиданың көлемін оның апотемасы мен бүйір жиегі арқылы анықтау мәселесі

Пирамиданың апотемасы - оның табанының бүйіріне түсірілген бүйірлік үшбұрышының биіктігі. Кәдімгі пирамидада барлық үшбұрыштар тең болғандықтан, олардың апотемдері де бірдей болады. Оның ұзындығын h_b белгісімен белгілейік. Бүйір жиегін b деп белгілеңіз.

Пирамиданың апотемасы 12 см, ал бүйір шеті 15 см екенін біле отырып, дұрыс төртбұрышты пирамиданың көлемін табыңыз.

Алдыңғы абзацта жазылған фигура көлемінің формуласы екі параметрді қамтиды: бүйір ұзындығы a және h биіктігі. Қазіргі уақытта біз олардың ешқайсысын білмейміз, сондықтан олардың есептеулерін қарастырайық.

Тік бұрышты үшбұрыш үшін Пифагор теоремасын қолдансаңыз, a квадратының қабырғасының ұзындығын есептеу оңай, оның гипотенузасы b жиегі, ал катеттері h апотемасы болады _b және негіз жағының жартысы a/2. Біз аламыз:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

Шарттан белгілі мәндерді ауыстырсақ, a=18 см мәнін аламыз.

Пирамиданың h биіктігін есептеу үшін екі әрекетті орындауға болады: төртбұрышты қарастырыңыз.гипотенузаның бүйір қыры немесе гипотенузасы-апотемасы бар үшбұрыш. Екі әдіс те тең және математикалық операциялардың бірдей санын орындауды қамтиды. Гипотенузасы h_b апотемасы болатын үшбұрышты қарастыруға тоқталайық. Ондағы аяқтар h және a / 2 болады. Сонда біз аламыз:

сағ=√(h_b²-a²/4)=√(12) ²- 18²/4)=7, 937 см.

Енді V томның формуласын пайдалануға болады:

V=1/3a²сағ=1/318²7, 937=857, 196 см ³.

Осылайша, кәдімгі төртбұрышты пирамиданың көлемі шамамен 0,86 литр.

Хеопс пирамидасының көлемі

Енді қызықты және практикалық маңызды мәселені шешейік: Гизадағы ең үлкен пирамиданың көлемін табыңыз. Ғимараттың бастапқы биіктігі 146,5 метр, ал табанының ұзындығы 230,363 метр екені әдебиеттерден белгілі. Бұл сандар формуланы V есептеу үшін қолдануға мүмкіндік береді. Біз мынаны аламыз:

V=1/3a²сағ=1/3230, 363²146, 5 ≈ 2591444 м ³.

Нәтижедегі мән дерлік 2,6 миллион м³. Бұл көлем жағы 137,4 метр болатын текшенің көлеміне сәйкес келеді.