Пирамиданың екібұрышты бұрыштары және оларды есептеу әдісі

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Кез келген пирамиданың типтік сызықтық параметрлері оның табанының қабырғаларының ұзындығы, биіктігі, бүйір жиектері және апотемалар болып табылады. Дегенмен, көрсетілген параметрлермен байланысты тағы бір сипаттама бар - бұл екібұрышты бұрыш. Бұл не екенін және оны қалай табуға болатынын мақалада қарастырыңыз.

Кеңістіктік фигуралық пирамида

Әрбір студент «пирамида» сөзін естігенде ненің қауіп төніп тұрғанын жақсы түсінеді. Оны геометриялық түрде келесідей салуға болады: белгілі бір көпбұрышты таңдап, одан кейін кеңістіктегі нүктені бекітіп, оны көпбұрыштың әрбір бұрышына қосыңыз. Алынған үш өлшемді фигура ерікті типтегі пирамида болады. Оны құрайтын көпбұрыш табан деп аталады, ал оның барлық бұрыштары қосылған нүкте фигураның шыңы болып табылады. Төмендегі суретте бесбұрышты пирамида схемалық түрде көрсетілген.

Оның беті бесбұрыштан ғана емес, бес үшбұрыштан да құралғанын көруге болады. Жалпы алғанда, бұл үшбұрыштардың саны санға тең боладыкөпбұрышты негіздің қабырғалары.

Фигураның екібұрышты бұрыштары

Жазықтықта геометриялық есептер қарастырылғанда кез келген бұрыш қиылысатын екі түзу немесе кесінділер арқылы жасалады. Кеңістікте екі жазықтықтың қиылысуынан пайда болған осы сызықтық бұрыштарға екібұрышты бұрыштар қосылады.

Егер кеңістіктегі бұрыштың белгіленген анықтамасы қарастырылып отырған фигураға қолданылса, онда екібұрышты бұрыштардың екі түрі бар деп айта аламыз:

• Пирамиданың түбінде. Ол негіз жазықтығымен және кез келген бүйір беттерімен (үшбұрыш) қалыптасады. Бұл пирамиданың негізгі бұрыштары n екенін білдіреді, мұндағы n - көпбұрыштың қабырғаларының саны.
• Бүйірлер арасында (үшбұрыштар). Бұл екібұрышты бұрыштардың саны да n дана.

Қарастырылатын бұрыштардың бірінші түрі негіздің шеттеріне, екінші түрі - бүйірлік жиектерге салынғанын ескеріңіз.

Пирамиданың бұрыштарын қалай есептейді?

Екібұрышты бұрыштың сызықтық бұрышы соңғысының өлшемі болып табылады. Оны есептеу оңай емес, өйткені пирамиданың беттері, призманың беттерінен айырмашылығы, жалпы жағдайда тік бұрышта қиылыспайды. Жалпы түрдегі жазықтықтың теңдеулерін пайдаланып екі қырлы бұрыштардың мәндерін есептеу ең сенімді болып табылады.

Үшөлшемді кеңістікте жазықтық келесі өрнекпен берілген:

Ax + By + Cz + D=0

Мұндағы A, B, C, D кейбір нақты сандар. Бұл теңдеудің ыңғайлылығы мынада: алғашқы үш белгіленген сан вектордың координаталары,ол берілген жазықтыққа перпендикуляр, яғни:

n¯=[A; B; C]

Егер жазықтыққа жататын үш нүктенің координаталары белгілі болса, онда осы нүктелерге салынған екі вектордың векторлық көбейтіндісін алып, n¯ координатасын алуға болады. n¯ векторы жазықтық үшін бағыттаушы деп аталады.

Анықтамаға сәйкес екі жазықтықтың қиылысуынан пайда болатын екібұрышты бұрыш олардың бағыт векторларының арасындағы сызықтық бұрышқа тең. Бізде қалыпты векторлары тең екі жазықтық бар делік:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Олардың арасындағы φ бұрышын есептеу үшін скаляр туынды қасиетін пайдалануға болады, содан кейін сәйкес формула келесіге айналады:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Немесе координат түрінде:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Геометриялық есептерді шығарғанда екібұрышты бұрыштарды есептеу үшін жоғарыда келтірілген әдісті қалай қолдану керектігін көрсетейік.

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бұрыштары

Дұрыс пирамида бар деп есептейік, оның табанында қабырғасы 10 см шаршы бар. Фигураның биіктігі12 см. Пирамиданың табанында және оның қабырғаларында қандай екібұрышты бұрыштар бар екенін есептеу керек.

Есептің шартында берілген фигура дұрыс, яғни симметриясы жоғары болғандықтан, табандағы барлық бұрыштар бір-біріне тең болады. Бүйірлік беттерден жасалған бұрыштар да бірдей. Қажетті екібұрышты бұрыштарды есептеу үшін негіз және екі бүйір жазықтық үшін бағыт векторларын табамыз. Негіздің бүйірінің ұзындығын a әрпімен, ал биіктігін h деп белгілеңіз.

Жоғарыдағы суретте төртбұрышты қалыпты пирамида көрсетілген. Енгізілген координаталар жүйесіне сәйкес A, B, C және D нүктелерінің координаталарын жазайық:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; сағ)

Енді біз жоғарыдағы абзацта сипатталған әдіске сәйкес ABC базалық жазықтықтары мен ABD және BCD екі қабырғасының бағыт векторларын табамыз:

ABC үшін:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

ABD үшін:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

BCD үшін:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Енді φ бұрышы үшін сәйкес формуланы қолдану және мәселе мәлімдемесіндегі бүйірлік және биіктік мәндерін ауыстыру қалды:

ABC және арасындағы бұрышABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

ABD және BDC арасындағы бұрыш:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Есептің шарты бойынша табу қажет бұрыштардың мәндерін есептедік. Есепті шешуде алынған формулаларды кез келген a және h мәндері бар төртбұрышты дұрыс пирамидалардың екібұрышты бұрыштарын анықтау үшін пайдалануға болады.

Үшбұрышты дұрыс пирамиданың бұрыштары

Төмендегі суретте табаны дұрыс үшбұрыш болатын пирамида көрсетілген. Қабырғалардың арасындағы екібұрышты бұрыштың дұрыс екені белгілі. Фигураның биіктігі 15 см екені белгілі болса, негіздің ауданын есептеу керек.

90^o тең екібұрышты бұрыш суретте ABC ретінде белгіленген. Жоғарыдағы әдісті пайдаланып мәселені шешуге болады, бірақ бұл жағдайда біз мұны оңайырақ жасаймыз. Үшбұрыштың а қабырғасын, фигураның биіктігін - h, апотемасын - h_b және қабырғасын белгілейік.қабырға - б. Енді келесі формулаларды жаза аласыз:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Пирамидадағы екі қабырға үшбұрыштары бірдей болғандықтан, АВ және СВ қабырғалары тең және ABC үшбұрышының катеттері. Олардың ұзындығын х деп белгілейік, сонда:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Бүйірлік үшбұрыштардың аудандарын теңестіріп, апотемді сәйкес өрнекке ауыстырсақ, бізде:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

Теңбүйірлі үшбұрыштың ауданы келесідей есептеледі:

S=√3/4a²=3√3/2с²

Есептің шартындағы биіктік мәнін ауыстырыңыз, жауап аламыз: S=584, 567 см².