Математикалық есептер көптеген ғылымдарда қолданылады. Олардың қатарында тек физика, химия, техника және экономика ғана емес, сонымен қатар медицина, экология және басқа да пәндер бар. Маңызды дилеммалардың шешімін табу үшін меңгеру керек маңызды ұғымдардың бірі – функцияның туындысы. Оның физикалық мағынасын түсіндіру соншалықты қиын емес, өйткені мәселенің мәні бойынша бастамасы жоқ адамдарға көрінуі мүмкін. Бұған нақты өмірден және қарапайым күнделікті жағдайлардан лайықты мысалдарды табу жеткілікті. Шындығында, кез-келген моторист күн сайын спидометрге қараған кезде, белгіленген уақыттың белгілі бір сәтінде көлігінің жылдамдығын анықтайтын ұқсас тапсырманы жеңеді. Өйткені туындының физикалық мағынасының мәні осы параметрде жатыр.
Жылдамдықты қалай табуға болады
Жолдағы адамның жылдамдығын, жүріп өткен қашықтықты және жол жүру уақытын біле отырып, кез келген бесінші сынып оқушысы оңай анықтай алады. Ол үшін берілген мәндердің біріншісі екіншісіне бөлінеді. БірақӘрбір жас математик қазіргі уақытта функция мен аргументтің өсулерінің қатынасын тауып жатқанын біле бермейді. Шынында да, егер қозғалысты у осі бойымен жолды және абсцисса бойындағы уақытты график түрінде елестетсек, ол дәл осылай болады.
Алайда, жаяу жүргіншінің немесе жолдың үлкен бөлігінде анықтайтын кез келген басқа нысанның жылдамдығы қозғалысты біркелкі деп есептей отырып, өзгеруі мүмкін. Физикада қозғалыстың көптеген түрлері бар. Оны тек тұрақты үдеумен ғана емес, ерікті түрде баяулатып, арттыруға болады. Айта кету керек, бұл жағдайда қозғалысты сипаттайтын сызық енді түзу сызық болмайды. Графикалық түрде ол ең күрделі конфигурацияларды қабылдай алады. Бірақ графиктегі кез келген нүкте үшін біз әрқашан сызықтық функциямен көрсетілген жанама сала аламыз.
Уақытқа байланысты орын ауыстырудың өзгеру параметрін нақтылау үшін өлшенген сегменттерді қысқарту қажет. Олар шексіз кішкентай болғанда, есептелген жылдамдық лезде болады. Бұл тәжірибе бізге туындыны анықтауға көмектеседі. Оның физикалық мағынасы да осындай пайымдаудан логикалық түрде шығады.
Геометрия тұрғысынан
Дененің жылдамдығы неғұрлым үлкен болса, орын ауыстырудың уақытқа тәуелділік графигі соғұрлым тік болатыны, демек белгілі бір нүктедегі жанаманың графқа көлбеу бұрышы болатыны белгілі. Мұндай өзгерістердің көрсеткіші х осі мен жанама сызығының арасындағы бұрыштың тангенсі болуы мүмкін. Ол тек туындының мәнін анықтайды және ұзындықтардың қатынасымен есептеледіҚандай да бір нүктеден х осіне түсірілген перпендикулярдан құралған тікбұрышты үшбұрыштың көршілес катетіне қарама-қарсы.
Бұл бірінші туындының геометриялық мағынасы. Физикалық жағы біздің жағдайда қарама-қарсы аяқтың мәні жүріп өткен қашықтық, ал іргелес жатқан уақыт екендігі анықталды. Олардың қатынасы жылдамдық. Және тағы да мынадай қорытындыға келеміз: екі саңылау да шексіз азға ұмтылғанда анықталатын лездік жылдамдық, оның физикалық мағынасын көрсететін туынды ұғымының мәні болып табылады. Бұл мысалдағы екінші туынды дененің үдеуі болады, бұл өз кезегінде жылдамдықтың өзгеру жылдамдығын көрсетеді.
Физикадағы туындыларды табу мысалдары
Туынды сөздің тура мағынасында қозғалыс туралы айтпағанның өзінде кез келген функцияның өзгеру жылдамдығының көрсеткіші болып табылады. Мұны анық көрсету үшін бірнеше нақты мысал келтірейік. Уақытқа байланысты ток күші келесі заңға сәйкес өзгереді делік: I=0, 4t2. Процестің 8 секундының соңында бұл параметр өзгеретін жылдамдықтың мәнін табу талап етіледі. Қажетті мәннің өзі, теңдеуден көрінетіндей, үнемі өсетінін ескеріңіз.
Оны шешу үшін физикалық мағынасы бұрын қарастырылған бірінші туындыны табу керек. Мұнда dI / dt=0,8т. Әрі қарай, біз оны t \u003d 8 деп табамыз, ток күші өзгеретін жылдамдық 6,4 А / с екенін аламыз. Міне, солай деп есептеледіток ампермен, ал уақыт сәйкесінше секундтармен өлшенеді.
Бәрі өзгереді
Материядан тұратын көрнекті қоршаған әлем ондағы болып жатқан әртүрлі процестердің қозғалысында бола отырып, үнемі өзгерістерге ұшырайды. Оларды сипаттау үшін әртүрлі параметрлерді қолдануға болады. Егер олар тәуелділік арқылы біріктірілсе, онда олардың өзгерістерін анық көрсететін функция ретінде математикалық түрде жазылады. Қозғалыс бар жерде (ол қандай формада болса да) туынды да бар, оның физикалық мағынасы қазір қарастырылып жатыр.
Осы орайда келесі мысал. Дене температурасы T=0, 2 t 2 заңы бойынша өзгерді делік. Оның қызу жылдамдығын 10 секундтың соңында табу керек. Мәселе алдыңғы жағдайда сипатталғанға ұқсас жолмен шешіледі. Яғни, біз туындыны табамыз және оған t \u003d 10 мәнін қоямыз, біз T \u003d 0, 4 t \u003d 4 аламыз. Бұл соңғы жауап секундына 4 градус, яғни қыздыру процесі дегенді білдіреді. және градуспен өлшенетін температураның өзгеруі дәл осындай жылдамдықпен жүреді.
Практикалық есептерді шешу
Әрине, нақты өмірде теориялық есептерге қарағанда бәрі әлдеқайда күрделірек. Тәжірибеде шамалардың мәні әдетте тәжірибе кезінде анықталады. Бұл жағдайда белгілі бір қателікпен өлшеу кезінде көрсеткіштерді беретін аспаптар қолданылады. Сондықтан, есептеулерде параметрлердің жуық мәндерімен айналысу керек және ыңғайсыз сандарды дөңгелектеуге жүгіну керек,сондай-ақ басқа да жеңілдетулер. Осыны ескере отырып, біз туындының физикалық мағынасына есептер шығаруға көшеміз, өйткені олар табиғатта болатын ең күрделі процестердің математикалық моделінің бір түрі ғана.
Вулканның атқылауы
Вулкан атқылап жатыр деп елестетейік. Ол қаншалықты қауіпті болуы мүмкін? Бұл сұраққа жауап беру үшін көптеген факторларды ескеру қажет. Біз олардың біреуін орналастыруға тырысамыз.
«Отты құбыжықтың» аузынан тастар тігінен жоғары лақтырылады, олар шыққан сәттен бастап сыртқа қарай 120 м/с бастапқы жылдамдыққа ие. Олардың максималды биіктікке не жететінін есептеу керек.
Қажетті мәнді табу үшін метрмен өлшенетін H биіктігінің басқа мәндерге тәуелділігінің теңдеуін құрастырамыз. Оларға бастапқы жылдамдық пен уақыт кіреді. Жеделдеу мәні белгілі болып саналады және шамамен 10 м/с2.
Ішінара туынды
Енді функция туындысының физикалық мағынасын сәл басқа бұрыштан қарастырайық, өйткені теңдеудің өзінде бір емес, бірнеше айнымалы болуы мүмкін. Мысалы, алдыңғы есепте жанартау саңылауынан лақтырылған тастардың биіктігіне тәуелділік тек уақыт сипаттамаларының өзгеруімен ғана емес, сонымен қатар бастапқы жылдамдықтың мәнімен де анықталды. Соңғысы тұрақты, тұрақты шама болып саналды. Бірақ мүлде басқа жағдайлары бар басқа тапсырмаларда бәрі басқаша болуы мүмкін. Кешенді құрайтын шамалар болсафункция, бірнеше, есептеулер төмендегі формулаларға сәйкес жасалады.
Жиі туындының физикалық мағынасы әдеттегі жағдайдағыдай анықталуы керек. Бұл айнымалының параметрі өскен сайын функцияның белгілі бір нүктеде өзгеретін жылдамдығы. Ол барлық басқа компоненттер тұрақтылар ретінде қабылданатындай етіп есептеледі, тек біреуі ғана айнымалы ретінде қарастырылады. Содан кейін бәрі әдеттегі ережелерге сәйкес болады.
Көп мәселелер бойынша таптырмас кеңесші
Туындының физикалық мағынасын түсіне отырып, мұндай біліммен жауабын табуға болатын күрделі және күрделі есептерді шешуге мысалдар келтіру қиын емес. Егер бізде көлік жылдамдығына байланысты отын шығынын сипаттайтын функция болса, соңғысының қай параметрінде бензин шығыны ең аз болатынын есептей аламыз.
Медицинада дәрігер жазып берген дәріге адам ағзасы қалай әсер ететінін болжауға болады. Препаратты қабылдау әртүрлі физиологиялық параметрлерге әсер етеді. Оларға қан қысымының, жүрек соғу жылдамдығының, дене температурасының және т.б. өзгерістер жатады. Олардың барлығы қабылданған препараттың дозасына байланысты. Бұл есептеулер емделушінің ағзасындағы өзгерістерге өліммен әсер ететін қолайлы көріністерде де, қалаусыз апаттарда да емдеу курсын болжауға көмектеседі.
Техникалық тілде туындының физикалық мағынасын түсіну маңызды екені сөзсіз.мәселелер, атап айтқанда электротехника, электроника, дизайн және құрылыс.
Тежеу қашықтығы
Келесі мәселені қарастырайық. Тұрақты жылдамдықпен қозғалып, көпірге жақындаған көлік кірер алдында 10 секунд бұрын жылдамдығын төмендетуге мәжбүр болды, өйткені жүргізуші 36 км/сағ жоғары жылдамдықпен қозғалысқа тыйым салатын жол белгісін байқады. Тежеу жолын S=26t - t2 формуласымен сипаттауға болатын болса, жүргізуші ережелерді бұзды ма?
Бірінші туындыны есептеп, жылдамдық формуласын табамыз, v=28 – 2t аламыз. Содан кейін көрсетілген өрнекке t=10 мәнін ауыстырыңыз.
Бұл мән секундтарда көрсетілгендіктен, жылдамдық 8 м/с, яғни 28,8 км/сағ. Бұл жүргізушінің уақытында жылдамдығын төмендете бастағанын және жол қозғалысы ережелерін бұзбағанын, демек жылдамдық белгісінде көрсетілген шекті түсінуге мүмкіндік береді.
Бұл туынды сөздің физикалық мағынасының маңыздылығын дәлелдейді. Бұл мәселені шешудің мысалы бұл ұғымның өмірдің әртүрлі салаларында қолданылуының кеңдігін көрсетеді. Оның ішінде күнделікті жағдайларда.
Экономикадағы туынды
19 ғасырға дейін экономистер негізінен еңбек өнімділігі немесе өнімнің бағасы болсын, орташа көрсеткіштер бойынша жұмыс істеді. Бірақ белгілі бір сәттен бастап осы салада тиімді болжамдар жасау үшін мәндерді шектеу қажет болды. Оларға шекті пайдалылық, кіріс немесе шығындар жатады. Мұны түсіну экономикалық зерттеулердің мүлдем жаңа құралын жасауға серпін берді,жүз жылдан астам өмір сүріп, дамып келе жатқан.
Мимум және максимум сияқты ұғымдар басым болатын мұндай есептеулерді жасау үшін туындының геометриялық және физикалық мағынасын түсіну қажет. Бұл пәндердің теориялық негізін жасаушылардың ішінде АҚШ Джевонс, К. Менгер және т.б. сияқты көрнекті ағылшын және австриялық экономистерді атауға болады. Әрине, экономикалық есептеулердегі шектеу мәндерін пайдалану әрқашан қолайлы бола бермейді. Және, мысалы, тоқсан сайынғы есептер міндетті түрде қолданыстағы схемаға сәйкес келмейді, бірақ бәрібір мұндай теорияны қолдану көптеген жағдайларда пайдалы және тиімді.
