Қиық конустың ауданы. Формула және есеп үлгісі

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Геометриядағы төңкеріс фигураларына олардың сипаттамалары мен қасиеттерін зерттегенде ерекше назар аударылады. Олардың бірі - кесілген конус. Бұл мақала кесілген конустың ауданын есептеу үшін қандай формуланы қолдануға болады деген сұраққа жауап беруге бағытталған.

Біз қай фигура туралы айтып отырмыз?

Қиық конустың ауданын сипаттамас бұрын, бұл фигураның нақты геометриялық анықтамасын беру қажет. Кәдімгі конустың төбесін жазықтықпен кесу нәтижесінде алынған конусты кесілген деп атайды. Бұл анықтамада бірқатар нюанстарды атап өту керек. Біріншіден, қима жазықтығы конус табанының жазықтығына параллель болуы керек. Екіншіден, бастапқы фигура дөңгелек конус болуы керек. Әрине, бұл эллиптикалық, гиперболалық және басқа фигура түрі болуы мүмкін, бірақ бұл мақалада біз тек дөңгелек конусты қарастырумен шектелеміз. Соңғысы төмендегі суретте көрсетілген.

Оны тек қана жазықтықтағы қиманың көмегімен ғана емес, айналу операциясының көмегімен де алуға болатынын болжау оңай. ҮшінМұны істеу үшін екі тік бұрышы бар трапецияны алып, оны осы тік бұрыштарға іргелес жатқан бүйірдің айналасында айналдыру керек. Нәтижесінде трапеция табандары қиық конустың табандарының радиустарына айналады, ал трапецияның бүйірлік көлбеу жағы конустық бетті сипаттайды.

Пішін әзірлеу

Қиық конустың бетінің ауданын ескере отырып, оның дамуын, яғни жазықтықтағы үш өлшемді фигураның бетінің кескінін келтіру пайдалы. Төменде ерікті параметрлері бар зерттелген фигураның сканері берілген.

Фигураның ауданы үш құрамдас бөліктен тұратынын көруге болады: екі шеңбер және бір кесілген дөңгелек сегмент. Әлбетте, қажетті аумақты анықтау үшін барлық аталған фигуралардың аудандарын қосу керек. Бұл мәселені келесі абзацта шешейік.

Кесілген конус аймағы

Келесі дәлелдерді түсінуді жеңілдету үшін келесі белгілерді енгіземіз:

• r1, r2 - сәйкесінше үлкен және кіші негіздердің радиустары;
• сағ - фигура биіктігі;
• g - конустың генератрисы (трапецияның қиғаш жағының ұзындығы).

Қиық конустың табандарының ауданын есептеу оңай. Сәйкес өрнектерді жазайық:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Дөңгелек сегмент бөлігінің ауданын анықтау біршама қиынырақ. Егер бұл дөңгелек сектордың центрі кесілмеген деп елестетсек, онда оның радиусы G мәніне тең болады. Егер сәйкес келетінін қарастырсақ, оны есептеу қиын емес.ұқсас тік бұрышты конус үшбұрыштары. Ол мынаған тең:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Онда G радиусына салынған және ұзындығы 2pir₁ доғаға негізделген бүкіл дөңгелек сектордың ауданы тең болады. келесіге:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Енді S₂ шағын шеңберлі секторының ауданын анықтайық, оны S₁ санынан алу керек. Ол мынаған тең:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Конус тәрізді кесілген беттің ауданы S_b S₁ мен S _{арасындағы айырмашылыққа тең 2}. Біз аламыз:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Кейбір қиын есептеулерге қарамастан, біз фигураның бүйір бетінің ауданы үшін өте қарапайым өрнек алдық.

Негіздердің аудандарын және S_b қосу арқылы кесілген конустың ауданы формуласына келеміз:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Осылайша, зерттелетін фигураның S мәнін есептеу үшін оның үш сызықтық параметрін білу керек.

Мысалы мәселе

Дөңгелек түзу конусрадиусы 10 см және биіктігі 15 см жазықтықпен кесілген, осылайша кәдімгі кесілген конус алынған. Кесілген фигураның табандарының арақашықтығы 10 см болатынын біле отырып, оның бетінің ауданын табу керек.

Қиық конустың ауданы формуласын пайдалану үшін оның үш параметрін табу керек. Біз білетін:

r₁=10 см.

Конустың осьтік қимасы нәтижесінде алынған ұқсас тік бұрышты үшбұрыштарды қарастырсақ, қалған екеуін есептеу оңай. Мәселенің жағдайын ескере отырып, біз мынаны аламыз:

r₂=105/15=3,33 см.

Соңында, кесілген конустың бағыттауы g болады:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 см.

Енді S: _{формуласына r}1_{, r}2

және g мәндерін ауыстыруға болады.

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 см} 2.

Суреттің қажетті бетінің ауданы шамамен 852 см².