Геометрия – кеңістіктегі құрылымдарды және олардың арасындағы байланысты зерттейтін математиканың бөлімі. Өз кезегінде ол да бөлімдерден тұрады және олардың бірі – стереометрия. Ол кеңістікте орналасқан көлемдік фигуралардың қасиеттерін зерттеуді қарастырады: куб, пирамида, шар, конус, цилиндр және т.б.
Конус – евклид кеңістігіндегі конустық бетті және генераторларының ұштары жататын жазықтықты шектейтін дене. Оның пайда болуы тік бұрышты үшбұрыштың оның кез келген катеттерінің айналасында айналу процесінде жүреді, сондықтан ол революциялық денелерге жатады.
Конус құрамдастары
Конустардың келесі түрлері ажыратылады: қиғаш (немесе қиғаш) және түзу. Қиғаш - осі оның табанының центрімен тік бұрышта емес қиылысатын. Осы себепті мұндай конустағы биіктік оське сәйкес келмейді, өйткені ол дененің жоғарғы жағынан оның жазықтығына түсірілген сегмент.негізі 90°.
Осының осі табанына перпендикуляр болатын конус түзу конус деп аталады. Мұндай геометриялық денедегі ось пен биіктік сәйкес келеді, себебі ондағы шың негізгі диаметрдің ортасынан жоғары орналасқан.
Конус келесі элементтерден тұрады:
- Оның негізі болып табылатын шеңбер.
- Бүйір.
- Негізгі жазықтықта жатпайтын нүкте конустың төбесі деп аталады.
- Геометриялық дененің табаны мен оның төбесі шеңберінің нүктелерін қосатын сегменттер.
Бұл сегменттердің барлығы конустың генераторлары. Олар геометриялық дененің табанына көлбеу, ал тік конус жағдайында олардың проекциялары тең, өйткені төбесі негізгі шеңбердің нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан. Осылайша, дұрыс (түзу) конуста генераторлар тең, яғни олардың ұзындығы бірдей және ось (немесе биіктік) және табанымен бірдей бұрыштар құрайды деген қорытынды жасауға болады.
Айналыстың қиғаш (немесе көлбеу) денесінде төбе базалық жазықтықтың центріне қатысты ығысатындықтан, мұндай денедегі генераторлардың ұзындығы мен проекциясы әртүрлі, өйткені олардың әрқайсысы әртүрлі қашықтықта болады. негізгі шеңбердің кез келген екі нүктесінен. Сонымен қатар, олардың арасындағы бұрыштар мен конус биіктігі де әртүрлі болады.
Оң жақ конустағы генераторлардың ұзындығы
Бұрын жазылғандай, айналмалы түзу геометриялық денедегі биіктік табан жазықтығына перпендикуляр. Осылайша, негіздің генерациясы, биіктігі және радиусы конуста тікбұрышты үшбұрыш жасайды.
Яғни, табанның радиусы мен биіктігін біле отырып, Пифагор теоремасының формуласын пайдалана отырып, сіз генератрицаның ұзындығын есептей аласыз, ол негіз радиусы және квадраттарының қосындысына тең болады. биіктігі:
l2 =r2+ h2 немесе l=√r 2 + с2
мұндағы l - генерация;
r – радиус;
сағ – биіктік.
Қиғаш конуста генеративті
Көлбеу немесе қиғаш конуста генераторлардың бірдей ұзындықта болмайтындығына байланысты оларды қосымша конструкцияларсыз және есептеулерсіз есептеу мүмкін болмайды.
Ең алдымен биіктігін, осінің ұзындығын және негіздің радиусын білу керек.
Осы деректерге ие бола отырып, Пифагор теоремасының формуласын пайдаланып радиустың ось пен биіктік арасындағы бөлігін есептей аласыз:
r1=√k2 - h2
мұндағы r1 - ось пен биіктік арасындағы радиустың бөлігі;
k – ось ұзындығы;
сағ – биіктік.
Радиусты (r) және оның ось пен биіктіктің арасында жатқан бөлігін (r1) қосу нәтижесінде оң жақтың толық жағын білуге болады. конустың генератрицасынан құрылған үшбұрыш, оның биіктігі мен диаметрі бөлігі:
R=r + r1
мұндағы R - биіктіктен, генератрицадан және табан диаметрінің бір бөлігінен құрылған үшбұрыштың катеті;
r – базалық радиус;
r1 – ось пен биіктік арасындағы радиустың бөлігі.
Пифагор теоремасындағы бірдей формуланы пайдаланып, конустың генератрицасының ұзындығын табуға болады:
l=√h2+ R2
немесе R-ді бөлек есептемей, екі формуланы біріктіріңіз:
l=√h2 + (r + r1)2.
Ол түзу немесе қиғаш конус екеніне және қандай кіріс деректеріне қарамастан, генератрицаның ұзындығын табудың барлық әдістері әрқашан бір нәтижеге - Пифагор теоремасын қолдануға келеді.
Конус бөлімі
Конустың осьтік қимасы – оның осі немесе биіктігі бойынша өтетін жазықтық. Оң жақ конуста мұндай қима тең қабырғалы үшбұрыш болып табылады, онда үшбұрыштың биіктігі - дененің биіктігі, оның қабырғалары - генераторлар, ал негізі - табанның диаметрі. Тең бүйірлі геометриялық денеде осьтік қима тең бүйірлі үшбұрыш болып табылады, өйткені бұл конуста табан мен генераторлардың диаметрі тең.
Түзу конустағы осьтік қиманың жазықтығы оның симметрия жазықтығы болып табылады. Мұның себебі оның төбесі табанының ортасынан жоғары, яғни осьтік қима жазықтығы конусты екі бірдей бөлікке бөледі.
Көлбеу денеде биіктік пен ось сәйкес келмейтіндіктен, осьтік қиманың жазықтығы биіктікті қамтымауы мүмкін. Егер мұндай конуста осьтік қималар жиынтығын салу мүмкін болса, бұл үшін тек бір шарт сақталуы керек - ол тек ось арқылы өтуі керек, онда жазықтықтың биіктігіне жататын тек бір осьтік қимасы болады. бұл конусты салуға болады, өйткені шарттардың саны артады және белгілі болғандай, екі сызық (бірге) тиесілі болуы мүмкін.тек бір ұшақ.
Бөлім аумағы
Жоғарыда айтылған конустың осьтік бөлімі үшбұрыш. Осыған сүйене отырып, оның ауданын үшбұрыштың ауданы формуласы арқылы есептеуге болады:
S=1/2dсағ немесе S=1/22rh
мұндағы S - көлденең қиманың ауданы;
d – негізгі диаметр;
r – радиус;
сағ – биіктік.
Көлбеу немесе қиғаш конуста ось бойындағы қима да үшбұрыш болып табылады, сондықтан ондағы көлденең қиманың ауданы дәл осылай есептеледі.
Дыбыс
Конус үш өлшемді кеңістіктегі үш өлшемді фигура болғандықтан, оның көлемін есептей аламыз. Конустың көлемі - бұл денені көлем бірлігінде сипаттайтын сан, яғни m3. Есептеу оның түзу немесе көлбеу (қиғаш) болуына байланысты емес, өйткені денелердің осы екі түріне арналған формулалар бір-бірінен айырмашылығы жоқ.
Бұрын айтылғандай, тік бұрышты үшбұрыштың оның бір катетінің бойымен айналуынан тік конустың пайда болуы. Көлбеу немесе қиғаш конус басқаша қалыптасады, өйткені оның биіктігі дененің негізгі жазықтығының ортасынан алыстаған. Алайда құрылымдағы мұндай айырмашылықтар оның көлемін есептеу әдісіне әсер етпейді.
Дыбыс көлемін есептеу
Кез келген конустың көлемінің формуласы келесідей:
V=1/3πсағr2
мұндағы V – конустың көлемі;
сағ – биіктік;
r – радиус;
π - тұрақты 3-ке тең, 14.
Конустың көлемін есептеу үшін сізде дене табанының биіктігі мен радиусы туралы деректер болуы керек.
Дененің биіктігін есептеу үшін негіздің радиусы мен оның генератрицасының ұзындығын білу керек. Радиус, биіктік және генерация тікбұрышты үшбұрышқа біріктірілгендіктен, биіктікті Пифагор теоремасының формуласы арқылы есептеуге болады (a2+ b2=c 2 немесе біздің жағдайда h2+ r2=l2 , мұндағы l - генерация). Бұл жағдайда биіктік гипотенузаның және басқа катеттің квадраттары арасындағы айырмашылықтың квадрат түбірін алу арқылы есептеледі:
a=√c2- b2
Яғни конустың биіктігі генератрица ұзындығының квадраты мен негіз радиусының квадраты арасындағы айырмашылықтан квадрат түбірді шығарғаннан кейін алынған мәнге тең болады:
сағ=√l2 - r2
Осы әдіс арқылы биіктікті есептеп, оның табанының радиусын біле отырып, конустың көлемін есептей аласыз. Бұл жағдайда генератрица маңызды рөл атқарады, өйткені ол есептеулерде көмекші элемент ретінде қызмет етеді.
Сол сияқты, егер сіз дененің биіктігін және оның генератрицасының ұзындығын білсеңіз, оның табанының радиусын тектік квадрат пен биіктік квадратының арасындағы айырманың квадрат түбірін алу арқылы табуға болады:
r=√l2 - h2
Одан кейін жоғарыдағы формуланы пайдаланып конустың көлемін есептеңіз.
Көлбеу конус көлемі
Конус көлемінің формуласы айналу денесінің барлық түрлері үшін бірдей болғандықтан, оны есептеудегі айырмашылық биіктік іздеу болып табылады.
Көлбеу конустың биіктігін білу үшін кіріс деректерге генератрицаның ұзындығын, негіздің радиусын және центр арасындағы қашықтықты қамту керек.табан және дене биіктігінің оның табанының жазықтығымен қиылысуы. Мұны біле отырып, сіз тік бұрышты үшбұрыштың негізі болатын негіз диаметрінің сол бөлігін оңай есептей аласыз (биіктікпен, генератрицамен және негіз жазықтығымен құрылған). Содан кейін қайтадан Пифагор теоремасын пайдаланып, конустың биіктігін, содан кейін оның көлемін есептеңіз.
