Логарифмдер: мысалдар мен шешімдер

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Өздеріңіз білетіндей, өрнектерді дәрежелерімен көбейткенде, олардың дәрежелері әрқашан қосылады (a^ba^c=a^{b+ c). Бұл математикалық заңды Архимед шығарды, кейінірек 8 ғасырда математик Вирасен бүтін көрсеткіштер кестесін жасады. Олар логарифмдерді одан әрі ашуға қызмет етті. Бұл функцияны қолдану мысалдарын қарапайым қосуға қиын көбейтуді жеңілдету қажет болатын барлық жерде дерлік табуға болады. Егер сіз осы мақаланы оқуға 10 минут бөлсеңіз, біз сізге логарифмдердің не екенін және олармен қалай жұмыс істеу керектігін түсіндіреміз. Қарапайым және қолжетімді тіл.}

Математикадағы анықтама

Логарифм келесі пішіннің өрнегі болып табылады: log_ab=c c", ақырында " мәнін алу үшін "a" негізін көтеру керек. б». Логарифмді мысалдар арқылы талдап көрейік, _{28 өрнек журналы бар делік. Жауабын қалай табуға болады? Бұл өте қарапайым, сіз 2-ден қажетті дәрежеге дейін 8 алатындай дәрежені табуыңыз керек. Ойларыңызда бірнеше есептеулер жүргізіп, біз 3 санын аламыз! Және бұл рас, өйткені3 дәрежесіне көтерілген 2 8 жауабын береді.}

Логарифмдердің түрлері

Көптеген оқушылар мен студенттер үшін бұл тақырып күрделі және түсініксіз болып көрінеді, бірақ шын мәнінде логарифмдер соншалықты қорқынышты емес, ең бастысы олардың жалпы мағынасын түсініп, қасиеттерін және кейбір ережелерін есте сақтау. Логарифмдік өрнектердің үш бөлек түрі бар:

1. Натурал логарифм ln a, мұндағы негіз Эйлер саны (e=2, 7).
2. Ондық логарифм lg a, мұндағы негіз 10 саны.
3. Кез келген b санының a>1 негізіндегі логарифмі.

Олардың әрқайсысы логарифмдік теоремалардың көмегімен оңайлату, қысқарту және бір логарифмге кейіннен келтіруді қамтитын стандартты жолмен шешіледі. Логарифмдердің дұрыс мәндерін алу үшін олардың қасиеттерін және оларды шешудегі әрекеттер ретін есте сақтау керек.

Ережелер және кейбір шектеулер

Математикада аксиома ретінде қабылданатын бірнеше ереже-шектеулер бар, яғни олар келісуге жатпайды және ақиқат. Мысалы, сандарды нөлге бөлу мүмкін емес, теріс сандардан жұп түбір алу да мүмкін емес. Логарифмдердің де өз ережелері бар, оларға сәйкес ұзын және сыйымды логарифмдік өрнектермен жұмыс істеуді оңай үйренуге болады:

• «a» негізі әрқашан нөлден үлкен болуы керек және сонымен бірге 1-ге тең болмауы керек, әйтпесе өрнек мағынасын жоғалтады, өйткені «1» және «0» кез келген дәрежеде әрқашан олардың мәндеріне тең;
• егер > 0 болса, онда ab>0,"c" де нөлден үлкен болуы керек екен.

Логарифмдерді қалай шешуге болады?

Мысалы, 10^x=100 теңдеуінің жауабын табу тапсырмасы берілген. Бұл өте оңай, он санын көтеріп, ондай күшті таңдау керек, біз 100 алыңыз. Бұл, әрине, квадраттық дәреже! 10^2=100.

Енді бұл өрнекті логарифмдік өрнек ретінде көрсетейік. Біз log_{10100=2 аламыз. Логарифмдерді шешу кезінде барлық әрекеттер іс жүзінде берілген санды алу үшін логарифм негізін енгізу керек қуатты табуға жақындайды.}

Белгісіз дәреженің мәнін дәл анықтау үшін дәрежелер кестесімен жұмыс істеуді үйрену керек. Мынадай көрінеді:

Көріп отырғаныңыздай, егер сізде техникалық ойлау және көбейту кестесін білу болса, кейбір көрсеткіштерді интуитивті түрде болжауға болады. Дегенмен, үлкенірек мәндер қуат кестесін қажет етеді. Оны тіпті күрделі математикалық тақырыптарда мүлде түсінбейтіндер де пайдалана алады. Сол жақ бағанда сандар (а негізі) бар, сандардың жоғарғы қатарында а саны көтерілетін с дәрежесінің мәні. Қиылыста ұяшықтар жауап болып табылатын сандардың мәндерін анықтайды (ac=b). Мысалы, 10 саны бар ең бірінші ұяшықты алайық және оның квадратын алайық, біз екі ұяшықтың қиылысында көрсетілген 100 мәнін аламыз. Барлығы соншалықты қарапайым және оңай, тіпті ең нағыз гуманист түсінеді!

Теңдеулер мен теңсіздіктер

Қашан екені белгілі болдыБелгілі бір жағдайларда көрсеткіш логарифм болып табылады. Сондықтан кез келген математикалық сандық өрнектерді логарифмдік теңдеу түрінде жазуға болады. Мысалы, 3⁴=81 81-дің 3 негізіне логарифм ретінде жазылуы мүмкін, бұл төрт (log₃81=4). Теріс дәрежелер үшін ережелер бірдей: 2^-5=1/32 логарифм түрінде жазылса, log_{2 (1/32) аламыз.)=-5. Математиканың ең қызықты тарауларының бірі – «логарифмдер» тақырыбы. Біз мысалдар мен теңдеулердің шешімдерін олардың қасиеттерін зерттегеннен кейін сәл төменірек қарастырамыз. Әзірге теңсіздіктер қандай болатынын және оларды теңдеулерден қалай ажыратуға болатынын қарастырайық.}

Келесі өрнек берілген: log_{2(x-1) > 3 - бұл логарифмдік теңсіздік, себебі белгісіз "x" мәні таңбасының астында орналасқан. логарифм. Өрнек сонымен қатар екі мәнді салыстырады: қалаған санның негізгі екі логарифмі үш саннан үлкен.}

Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер арасындағы ең маңызды айырмашылық логарифмдері бар теңдеулер (мысалы - логарифм₂x=√9) _{білдіреді жауапта бір немесе бірнеше нақты сандық мәндер, ал теңсіздікті шешу кезінде рұқсат етілген мәндер ауқымы да, осы функцияның тоқтау нүктелері де анықталады. Нәтижесінде жауап теңдеудің жауабындағыдай жеке сандардың қарапайым жиыны емес, үздіксіз қатар немесе сандар жиыны болып табылады.}

Логарифмдер туралы негізгі теоремалар

Логарифмнің мәндерін табу үшін қарапайым тапсырмаларды шешкенде, оның қасиеттерін білмеуіңіз мүмкін. Алайда логарифмдік теңдеулер немесе теңсіздіктер туралы сөз болғанда, ең алдымен логарифмдердің барлық негізгі қасиеттерін нақты түсініп, тәжірибеде қолдану қажет. Теңдеу мысалдарымен кейінірек танысамыз, алдымен әрбір сипатты толығырақ талдап көрейік.

1. Негізгі сәйкестік келесідей: alogaB=B. Ол тек a 0-ден үлкен, бірге тең емес және В нөлден үлкен болса ғана қолданылады.
2. Өнім логарифмін келесі формулада көрсетуге болады: log_d(s₁s_{2)=журнал}d_s1 _{+ log}d_s2. _{Бұл жағдайда міндетті шарт: d, s}1 _{және s}2 _{> 0; a≠1. Сіз логарифмдердің осы формуласына мысалдармен және шешімімен дәлел келтіре аласыз. log}a_s1 _=f1 _{және log}a_{s рұқсат етіңіз} 2_=f2_{, содан кейін a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Біз s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(дәреже сипаттары) және одан әрі анықтамасы бойынша: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_{=журнал} a_{s1 + log}a_s2, _{ол дәлелденуі керек еді.}
3. Бөлімнің логарифмі келесідей: log_a(s_1/s₂)=журнал _as₁- log_as_2.
4. Формула түріндегі теорема келесі пішінді алады: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Бұл формула «логарифм дәрежесінің қасиеті» деп аталады. Ол кәдімгі дәрежелердің қасиеттеріне ұқсайды және бұл таңқаларлық емес, өйткені барлық математика тұрақты постулаттарға сүйенеді. Дәлелді қарастырайық.

Let log_ab=t, біз ^t=b аламыз. Екі жағын m қуатына көтерсеңіз: a^tn=b^;

бірақ a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, демек, log}aq _bn=(nt)/t, содан кейін log^a_q b_n=n/q log^ab. Теорема дәлелденді.

Есептер мен теңсіздіктер мысалдары

Логарифмдік есептердің ең көп тараған түрлері теңдеулер мен теңсіздіктер мысалдары болып табылады. Олар барлық дерлік проблемалық кітаптарда кездеседі, сонымен қатар математикадан емтихандардың міндетті бөлігіне енгізілген. Университетке түсу немесе математикадан түсу сынақтарынан өту үшін мұндай есептерді қалай дұрыс шешу керектігін білу керек.

Өкінішке орай, логарифмнің белгісіз мәнін шешу мен анықтаудың бірыңғай жоспары немесе схемасы жоқ, бірақ әрбір математикалық теңсіздікке немесе логарифмдік теңдеуге белгілі бір ережелерді қолдануға болады. Ең алдымен, сіз өрнекті жеңілдетуге немесе жалпы түрге келтіруге болатынын білуіңіз керек. Ұзын логарифмдік өрнектерді олардың қасиеттерін дұрыс пайдалансаңыз, оңайлатуға болады. Жақында олармен танысайық.

Логарифмдік теңдеулерді шешкенде,алдымызда қандай логарифм бар екенін анықтау керек: өрнек мысалында натурал логарифм немесе ондық болуы мүмкін.

Ондық логарифмдердің мысалдары: ln100, ln1026. Олардың шешімі 10 базасының сәйкесінше 100 және 1026-ға тең болатын дәрежесін анықтау қажет екендігіне дейін қайнатылады. Натурал логарифмдердің шешімдері үшін логарифмдік сәйкестіктерді немесе олардың қасиеттерін қолдану керек. Әртүрлі типтегі логарифмдік есептерді шешу мысалдарын қарастырайық.

Логарифм формулаларын пайдалану жолы: мысалдармен және шешімдерімен

Олай болса, логарифмдер туралы негізгі теоремаларды қолдану мысалдарын қарастырайық.

1. Өнім логарифмінің қасиетін b санының үлкен мәнін қарапайым көбейткіштерге ыдырату қажет болатын тапсырмаларда қолдануға болады. Мысалы, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=журнал_{2512. Жауабы 9.}
2. журнал₄8=журнал_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - көріп отырғаныңыздай, логарифм дәрежесінің төртінші қасиетін қолдану арқылы біз бір қарағанда шеше алдық күрделі және шешілмейтін өрнек. Бар болғаны негізді көбейтіп, содан кейін логарифм таңбасының қуатын алып тастаңыз.}

Емтихандағы тапсырмалар

Логарифмдер қабылдау емтихандарында жиі кездеседі, әсіресе Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы логарифмдік есептер көп (барлық мектеп түлектері үшін мемлекеттік емтихан). Әдетте бұл тапсырмалар тек А бөлігінде ғана емес (ең көпемтиханның жеңіл сынақ бөлігі), сонымен қатар С бөлігінде (ең қиын және көлемді тапсырмалар). Емтихан «Табиғи логарифмдер» тақырыбын нақты және мінсіз білуді талап етеді.

Мысалдар мен проблемалық шешімдер емтиханның ресми нұсқаларынан алынған. Осындай тапсырмалардың қалай шешілетінін көрейік.

Берілген журнал₂(2x-1)=4. Шешуі:

өрнекті сәл жеңілдетіп қайта жазыңыз log_2(2x-1)=22^{, логарифм анықтамасы бойынша біз 2x-1=2}4 ^{аламыз, демек 2x=17; x=8, 5.}

Логарифм белгісінің астындағы өрнектері бар барлық теңдеулерді оңай шешуге болатын бірнеше нұсқауларды орындау.

• Шешім қиын әрі шатастырмас үшін барлық логарифмдерді бір негізге келтірген дұрыс.
• Логарифм таңбасының астындағы барлық өрнектер оң болып көрсетіледі, сондықтан логарифм таңбасының астындағы өрнектің дәрежесін және оның негізін көбейткенде, логарифм астында қалған өрнек оң болуы керек.