Ықтималдық теориясын оқу ықтималдықтарды қосу және көбейту есептерін шығарудан басталады. Бірден айта кететін жайт, білімнің осы саласын меңгеру кезінде студент мынадай мәселеге тап болуы мүмкін: егер физикалық немесе химиялық процестерді көзбен көрсетіп, эмпирикалық түрде түсінуге болатын болса, онда математикалық абстракцияның деңгейі өте жоғары, ал түсіну мұнда тек тәжірибе.
Алайда, ойын шамға тұрарлық, өйткені осы мақалада қарастырылған және күрделірек формулалар бүгінде барлық жерде қолданылады және жұмыста пайдалы болуы мүмкін.
Шығу орны
Бір қызығы, математиканың бұл бөлімінің дамуына түрткі болған … құмар ойындар. Шынында да, сүйек, тиын лақтыру, покер, рулетка - ықтималдықтарды қосу мен көбейтуді қолданатын типтік мысалдар. Кез келген оқулықтағы тапсырмалар мысалында мұны анық көруге болады. Адамдар өздерінің жеңіске жету мүмкіндіктерін қалай арттыруға болатынын білуге қызығушылық танытты, және айта кету керек, кейбіреулер бұл жетістікке жетті.
Мысалы, 21 ғасырда аты-жөнін жария етпейтін бір адам,ғасырлар бойы жинақталған осы білімді казиноны тура мағынасында «тазалау» үшін пайдаланып, рулеткада бірнеше ондаған миллион доллар ұтып алды.
Алайда, пәнге деген қызығушылықтың артуына қарамастан, тек 20 ғасырда ғана «теоретикті» математиканың толыққанды құрамдас бөлігі еткен теориялық негіз әзірленді. Бүгінде кез келген ғылымда ықтималдық әдістерін қолданатын есептеулерді табуға болады.
Қолдану мүмкіндігі
Ықтималдықтарды қосу және көбейту формулаларын қолданудағы маңызды сәт, шартты ықтималдық орталық шек теоремасының қанағаттандырылуы болып табылады. Әйтпесе, студент оны жүзеге асырмаса да, барлық есептеулер қаншалықты орынды болып көрінсе де, қате болады.
Иә, ынтасы жоғары оқушы кез келген мүмкіндікте жаңа білімді пайдалануға құмар. Бірақ бұл жағдайда сәл баяулап, қолдану аясын қатаң түрде көрсету керек.
Ықтималдықтар теориясы кездейсоқ оқиғалармен айналысады, олар эмпирикалық түрде эксперименттердің нәтижесі болып табылады: біз алты қырлы матрицаны айналдыра аламыз, палубадан картаны тарта аламыз, партиядағы ақаулы бөліктердің санын болжай аламыз. Дегенмен, кейбір сұрақтарда математиканың осы бөліміндегі формулаларды пайдалану мүлдем мүмкін емес. Оқиғаның ықтималдықтарын қарастыру ерекшеліктерін, оқиғаларды қосу және көбейту теоремаларын мақаланың соңында талқылаймыз, бірақ әзірге мысалдарға көшейік.
Негізгі ұғымдар
Кездейсоқ оқиға пайда болуы мүмкін немесе көрінбеуі мүмкін кейбір процесті немесе нәтижені білдіредіэксперимент нәтижесінде. Мысалы, біз сэндвичті лақтырамыз - ол сары майды жоғары немесе төмен түсіруі мүмкін. Екі нәтиженің кез келгені кездейсоқ болады және олардың қайсысы болатынын алдын ала білмейміз.
Ықтималдықтарды қосу мен көбейтуді зерттегенде бізге тағы екі ұғым қажет.
Бірлескен оқиғалар деп біреуінің болуы екіншісінің болуын жоққа шығармайтын оқиғаларды айтады. Екі адам бір мезгілде нысанаға оқ атсын делік. Егер олардың біреуі сәтті оқ атса, бұл екіншісінің соғу немесе жіберіп алу қабілетіне әсер етпейді.
Бір мезгілде орын алуы мүмкін емес осындай оқиғалар сәйкес келмейтін болады. Мысалы, қораптан бір ғана допты шығару арқылы сіз бірден көк пен қызыл түсті ала алмайсыз.
Тағайындау
Ықтималдық ұғымы латынның бас P әрпімен белгіленген. Келесі жақшада кейбір оқиғаларды білдіретін аргументтер берілген.
Қосу теоремасының, шартты ықтималдықтың, көбейту теоремасының формулаларында жақшадағы өрнектерді көресіз, мысалы: A+B, AB немесе A|B. Олар әртүрлі тәсілдермен есептелетін болады, енді оларға жүгінеміз.
Қосымша
Қосу және көбейту формулалары қолданылатын жағдайларды қарастырайық.
Сәйкес келмейтін оқиғалар үшін ең қарапайым қосу формуласы маңызды: кез келген кездейсоқ нәтижелердің ықтималдығы осы нәтижелердің әрқайсысының ықтималдықтарының қосындысына тең болады.
2 көк, 3 қызыл және 5 сары шары бар қорап бар делік. Қорапта барлығы 10 зат бар. Көк немесе қызыл шар саламыз деген сөздің қаншалықты шындыққа жанасады? Ол 2/10 + 3/10, яғни елу пайызға тең болады.
Сәйкес келмейтін оқиғалар жағдайында формула күрделене түседі, өйткені қосымша термин қосылады. Біз оған тағы бір формуланы қарастырғаннан кейін бір абзацта ораламыз.
Көбейту
Тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын қосу және көбейту әртүрлі жағдайларда қолданылады. Егер эксперимент шарты бойынша біз екі мүмкін нәтиженің біреуіне қанағаттансақ, қосындыны есептейміз; егер екі белгілі нәтижені бірінен соң бірі алғымыз келсе, біз басқа формуланы пайдаланамыз.
Алдыңғы бөлімдегі мысалға оралсақ, алдымен көк шарды, сосын қызыл түсті шарды салғымыз келеді. Біз білетін бірінші сан 2/10. Әрі қарай не болады? 9 шар қалды, қызылдар саны бірдей - үш дана. Есептеулер бойынша сіз 3/9 немесе 1/3 аласыз. Бірақ қазір екі санмен не істеу керек? Дұрыс жауап - 2/30 алу үшін көбейту.
Бірлескен іс-шаралар
Енді бірлескен іс-шаралардың қосынды формуласын қайта қарауға болады. Неліктен біз тақырыптан ауытқып жатырмыз? Ықтималдықтардың қалай көбейтілетінін білу. Енді бұл білім сізге пайдалы болады.
Алғашқы екі мүшенің қандай болатынын біз бұрыннан білеміз (бұрын қарастырылған қосу формуласындағыдай), енді шегеру керекбіз жаңа ғана есептеуді үйренген ықтималдықтардың көбейтіндісі. Түсінікті болу үшін формуланы жазамыз: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Бір өрнекте ықтималдықтарды қосу да, көбейту де қолданылады екен.
Несие алу үшін екі мәселенің бірін шешуіміз керек делік. Біріншісін 0,3, ал екіншісін - 0,6 ықтималдықпен шеше аламыз. Шешімі: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Мұнда сандарды жай ғана жинақтау жеткіліксіз екенін ескеріңіз.
Шартты ықтималдық
Соңында шартты ықтималдық түсінігі бар, оның аргументтері жақшада көрсетілген және тік жолақпен бөлінген. P(A|B) жазбасы келесідей оқылады: “В оқиғасының А оқиғасының ықтималдығы”.
Мысалға қарайық: досыңыз сізге құрылғы береді, ол телефон болсын. Ол сынған (20%) немесе жақсы (80%) болуы мүмкін. Сіз 0,4 ықтималдықпен қолыңызға түскен кез келген құрылғыны жөндей аласыз немесе оны жасай алмайсыз (0,6). Соңында, егер құрылғы жұмыс режимінде болса, 0,7 ықтималдығы бар дұрыс адамға хабарласуға болады.
Бұл жағдайда шартты ықтималдықтың қалай жұмыс істейтінін түсіну оңай: телефон бұзылған болса, адаммен байланысу мүмкін емес, ал егер ол жақсы болса, оны жөндеудің қажеті жоқ. Осылайша, "екінші деңгейде" кез келген нәтижеге қол жеткізу үшін біріншісінде қандай оқиға орындалғанын білу керек.
Есептер
Алдыңғы абзацтағы деректерді пайдалана отырып, ықтималдықтарды қосу және көбейтуге есептер шығару мысалдарын қарастырайық.
Алдымен сіз болу ықтималдығын табайықсізге берілген құрылғыны жөндеңіз. Мұны істеу үшін, біріншіден, ол ақаулы болуы керек, екіншіден, жөндеуді жеңу керек. Бұл әдеттегі көбейту мәселесі: біз 0,20,4=0,08 аламыз.
Дұрыс адамға бірден жету ықтималдығы қандай? Қарапайымнан оңай: 0,80,7=0,56. Бұл жағдайда телефонның жұмыс істеп тұрғанын байқадыңыз және сәтті қоңырау шалдыңыз.
Соңында, мына сценарийді қарастырыңыз: сіз бұзылған телефон алдыңыз, оны жөндедіңіз, содан кейін нөмірді тердіңіз және телефонға қарсы жақтағы адам жауап берді. Мұнда үш компонентті көбейту қажет: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Егер сізде бірден екі жұмыс істемейтін телефон болса ше? Олардың кем дегенде біреуін түзету мүмкіндігіңіз қаншалықты? Бұл ықтималдықтарды қосу және көбейту мәселесі, өйткені бірлескен оқиғалар қолданылады. Шешуі: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Мұқият қолдану
Мақаланың басында айтылғандай, ықтималдықтар теориясын қолдану саналы және саналы болуы керек.
Тәжірибе сериясы неғұрлым көп болса, теориялық болжамды мән практикалық мәнге соғұрлым жақын болады. Мысалы, біз тиынды лақтырып жатырмыз. Теориялық тұрғыдан ықтималдықтарды қосу және көбейту формулаларының бар екенін біле отырып, тәжірибені 10 рет жүргізсек, бастар мен құйрықтар қанша рет түсетінін болжай аламыз. Біз эксперимент жасадық жәнеКездейсоқ, түсірілген жақтардың арақатынасы 3-тен 7-ге дейін болды. Бірақ егер сіз 100, 1000 немесе одан да көп әрекеттер қатарын жүргізсеңіз, таралу графигі теориялық біріне жақындап келе жатқаны белгілі болды: 44-тен 56-ға, 482-ге дейін. 518 және т.б.
Енді елестетіп көріңізші, бұл тәжірибе тиынмен емес, оның ықтималдығы бізге беймәлім қандай да бір жаңа химиялық зат алу арқылы жүзеге асырылады. Біз 10 эксперимент жүргізетін едік және егер сәтті нәтиже алмасақ, жалпылай аламыз: «зат алу мүмкін емес». Бірақ кім біледі, он бірінші әрекетті жасасақ, мақсатқа жете ме едік, жоқ па?
Егер сіз белгісіз, зерттелмеген салаға баратын болсаңыз, ықтималдық теориясы қолданылмауы мүмкін. Бұл жағдайда әрбір келесі әрекет сәтті болуы мүмкін және "X жоқ" немесе "X мүмкін емес" сияқты жалпылаулар мерзімінен бұрын болады.
Соңғы сөз
Сонымен біз қосудың екі түрін, көбейтуді және шартты ықтималдықты қарастырдық. Осы саланы әрі қарай зерттей отырып, әрбір нақты формуланы қолданғанда жағдайларды ажыратуды үйрену керек. Бұған қоса, мәселеңізді шешу үшін ықтималдық әдістердің жалпы қолданыла алатынын түсінуіңіз керек.
Егер жаттығу жасасаңыз, біраз уақыттан кейін барлық қажетті операцияларды тек ойыңызда орындай бастайсыз. Карточка ойындарын жақсы көретіндер үшін бұл дағдыны қарастыруға боладыөте құнды - сіз белгілі бір картаның немесе костюмнің құлау ықтималдығын есептеу арқылы жеңіске жету мүмкіндігіңізді айтарлықтай арттырасыз. Дегенмен, алынған білімді қызметтің басқа салаларында оңай қолдануға болады.
