Планиметрия – геометрияның жазық фигуралардың қасиеттерін зерттейтін бөлімі. Оларға белгілі үшбұрыштар, шаршылар, төртбұрыштар ғана емес, сонымен қатар түзулер мен бұрыштар да жатады. Планиметрияда шеңбердегі бұрыштар: орталық және іштей сызылған деген ұғымдар да бар. Бірақ олар нені білдіреді?
Орталық бұрыш дегеніміз не?
Орталық бұрыштың не екенін түсіну үшін шеңберді анықтау керек. Шеңбер – берілген нүктеден (шеңбердің ортасынан) бірдей қашықтықта орналасқан барлық нүктелердің жиынтығы.
Оны шеңберден ажырату өте маңызды. Шеңбер - тұйық сызық, ал шеңбер - онымен шектелген жазықтықтың бөлігі екенін есте ұстаған жөн. Көпбұрышты немесе бұрышты шеңберге сызуға болады.
Орталық бұрыш деп төбесі шеңбердің центрімен сәйкес келетін және қабырғалары шеңберді екі нүктеде қиып өтетін бұрышты айтады. Бұрыш қиылысу нүктелерімен шектейтін доға берілген бұрыш жатқан доға деп аталады.
№1 мысалды қарастырыңыз.
Суреттегі AOB бұрышы орталық, өйткені бұрыштың төбесі мен шеңбердің центрі бір О нүктесі. Ол AB доғасына тіреледі, оның құрамында С нүктесі жоқ.
Ішілген бұрыштың орталық бұрыштан қандай айырмашылығы бар?
Алайда орталық бұрыштардан басқа іші сызылған бұрыштар да бар. Олардың айырмашылығы неде? Орталық сияқты, шеңберге сызылған бұрыш белгілі бір доғаға тіреледі. Бірақ оның шыңы шеңбердің центрімен сәйкес келмейді, бірақ оның үстінде жатыр.
Келесі мысалды алайық.
ACB бұрышы центрі О нүктесінде орналасқан шеңберге сызылған бұрыш деп аталады. С нүктесі шеңберге жатады, яғни оның үстінде жатыр. Бұрыш AB доғасына тіреледі.
Орталық бұрыш дегеніміз не
Геометриядағы есептерді сәтті шешу үшін сызылған және орталық бұрыштарды ажырата білу жеткіліксіз. Әдетте, оларды шешу үшін шеңбердегі орталық бұрышты қалай табуға болатынын нақты білу керек және оның мәнін градуспен есептей білу керек.
Осылайша, орталық бұрыш тірелген доғаның градустық өлшеміне тең.
Суреттегі AOB бұрышы 66°-қа тең AB доғасына тіреледі. Сонымен AOB бұрышы да 66°-қа тең.
Осылайша, тең доғаларға негізделген орталық бұрыштар тең болады.
Суретте DC доғасы AB доғасына тең. Демек, AOB бұрышы DOC бұрышына тең.
Ішілген бұрышты қалай табуға болады
Шеңберге сызылған бұрыш орталық бұрышқа тең болып көрінуі мүмкін,ол сол доғаға сүйенеді. Дегенмен, бұл өрескел қателік. Шындығында, тіпті сызбаға қарап, бұл бұрыштарды бір-бірімен салыстырсаңыз да, олардың градустық өлшемдерінің әртүрлі мәндері болатынын көруге болады. Сонымен шеңберге сызылған бұрыш қандай?
Іштей сызылған бұрыштың градустық өлшемі ол жатқан доғаның жартысы немесе бір доғаға негізделген болса, орталық бұрыштың жартысы.
Мысалды қарастырайық. ACB бұрышы 66°-қа тең доғаға негізделген.
Сонымен DIA бұрышы=66°: 2=33°
Осы теореманың кейбір салдарын қарастырайық.
- Ішілген бұрыштар, егер олар бірдей доғаға, хордаға немесе тең доғаларға негізделген болса, олар тең болады.
- Егер сызылған бұрыштар бір хордаға негізделсе, бірақ олардың төбелері оның қарама-қарсы жағында жатса, мұндай бұрыштардың градустық өлшемдерінің қосындысы 180° болады, өйткені бұл жағдайда екі бұрыш доғаларға негізделген, жалпы дәреже өлшемі 360° (бүкіл шеңбер), 360°: 2=180°
- Егер сызылған бұрыш берілген шеңбердің диаметріне негізделсе, оның градус өлшемі 90° болады, өйткені диаметрі 180°, 180° доғаға тең: 2=90°
- Егер шеңбердегі орталық және сызылған бұрыштар бір доғаға немесе хордаға негізделсе, онда іштей сызылған бұрыш орталық бұрыштың жартысына тең болады.
Бұл тақырыпқа қатысты мәселелерді қайдан табуға болады? Олардың түрлері мен шешімдері
Дөңгелек және оның қасиеттері геометрияның, атап айтқанда, планиметрияның маңызды бөлімдерінің бірі болғандықтан, шеңбердегі сызылған және орталық бұрыштар кең және егжей-тегжейлі тақырып болып табылады.мектеп бағдарламасы бойынша оқыды. Олардың қасиеттеріне арналған тапсырмалар негізгі мемлекеттік емтиханда (OGE) және бірыңғай мемлекеттік емтиханда (USE) кездеседі. Әдетте, бұл есептерді шешу үшін шеңбердегі бұрыштарды градуспен табу керек.
Бір доғаға негізделген бұрыштар
Есептің бұл түрі ең оңайларының бірі болуы мүмкін, өйткені оны шешу үшін тек екі қарапайым қасиетті білу қажет: егер екі бұрыш та сызылған және бір аккордқа сүйенсе, олар тең, егер олардың біреуі болса орталық, онда сәйкес сызылған бұрыш оның жартысына тең. Алайда, оларды шешу кезінде өте сақ болу керек: кейде бұл қасиетке назар аудару қиын, ал студенттер мұндай қарапайым есептерді шығарған кезде тұйыққа тіреледі. Мысал қарастырайық.
1-проблема
Центрі О нүктесінде орналасқан шеңбер берілген. AOB бұрышы 54°. DIA бұрышының градустық өлшемін табыңыз.
Бұл тапсырма бір қадаммен шешіледі. Оның жауабын жылдам табу үшін сізге қажет нәрсе - екі бұрышы да тірелген доғаның ортақ екенін байқау. Мұны көріп, бұрыннан таныс сипатты қолдануға болады. ACB бұрышы AOB бұрышының жартысы. Сонымен
1) AOB=54°: 2=27°.
Жауабы: 54°.
Бір шеңбердің әртүрлі доғаларына негізделген бұрыштар
Кейде қажетті бұрыш жататын доғаның өлшемі мәселенің шарттарында тікелей көрсетілмейді. Оны есептеу үшін осы бұрыштардың шамасын талдап, оларды шеңбердің белгілі қасиеттерімен салыстыру керек.
2-мәселе
Центрі O нүктесінде орналасқан шеңберде, AOC бұрышы120°, ал AOB бұрышы 30°. СІЗ бұрышын табыңыз.
Бастау үшін бұл мәселені тең қабырғалы үшбұрыштардың қасиеттерін пайдаланып шешуге болатынын айта кеткен жөн, бірақ бұл үшін көбірек математикалық амалдар қажет болады. Сондықтан бұл жерде шеңбердегі орталық және іштей сызылған бұрыштардың қасиеттерін пайдаланып шешімді талдаймыз.
Сонымен, AOC бұрышы AC доғасына тіреледі және орталық болады, бұл AC доғасы AOC бұрышына тең екенін білдіреді.
AC=120°
Сол сияқты AOB бұрышы AB доғасына тіреледі.
AB=30°.
Осыны және бүкіл шеңбердің градустық өлшемін (360°) біле отырып, BC доғасының шамасын оңай табуға болады.
BC=360° - айнымалы ток - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
CAB бұрышының төбесі, А нүктесі шеңберде жатыр. Демек, CAB бұрышы сызылған және CB доғасының жартысына тең.
CAB бұрышы=210°: 2=110°
Жауабы: 110°
Доғалық қатынасқа негізделген мәселелер
Кейбір есептер бұрыштар туралы мәліметтерді мүлде қамтымайды, сондықтан оларды тек белгілі теоремалар мен шеңбердің қасиеттері негізінде іздеу керек.
1-мәселе
Берілген шеңбердің радиусына тең хордамен бекітілген шеңберге сызылған бұрышты табыңыз.
Егер сіз сегменттің ұштарын шеңбердің ортасымен қосатын сызықтарды ойша сызсаңыз, сіз үшбұрыш аласыз. Оны зерттей отырып, бұл түзулердің шеңбердің радиустары екенін көруге болады, яғни үшбұрыштың барлық қабырғалары тең. Тең бүйірлі үшбұрыштың барлық бұрыштары екенін білеміз60°-қа тең. Демек, үшбұрыштың төбесінен тұратын АВ доғасы 60°-қа тең. Осы жерден қажетті бұрыш негізделген AB доғасын табамыз.
AB=360° - 60°=300°
ABC бұрышы=300°: 2=150°
Жауабы: 150°
2-мәселе
Орталығы O нүктесінде орналасқан шеңберде доғалар 3:7 қатынасындай. Кішірек сызылған бұрышты табыңыз.
Шешім үшін бір бөлікті X деп белгілейміз, онда бір доға 3X-ке, ал екіншісі сәйкесінше 7X-ке тең. Шеңбердің градустық өлшемі 360° екенін біле отырып, біз теңдеу жаза аламыз.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Шартқа сәйкес, кішірек бұрышты табу керек. Әлбетте, егер бұрыштың мәні ол жатқан доғаға тура пропорционал болса, онда қажетті (кіші) бұрыш 3X-ке тең доғаға сәйкес келеді.
Сонымен кіші бұрыш (36°3): 2=108°: 2=54°
Жауабы: 54°
3-мәселе
Центрі О нүктесінде орналасқан шеңберде AOB бұрышы 60°, ал кіші доғаның ұзындығы 50. Үлкен доғаның ұзындығын есептеңіз.
Үлкенірек доғаның ұзындығын есептеу үшін пропорция жасау керек - кіші доғаның үлкеніне қалай қатысы бар. Ол үшін екі доғаның шамасын градуспен есептейміз. Кіші доға оған тірелген бұрышқа тең. Оның градустық өлшемі 60°. Үлкен доға шеңбердің градус өлшемі (ол басқа деректерге қарамастан 360° тең) мен кіші доғаның айырмашылығына тең.
Үлкен доға 360° - 60°=300°.
300°: 60°=5 болғандықтан, үлкен доға кішіден 5 есе көп.
Үлкен доға=505=250
Жауабы: 250
Демек, әрине, басқалары да барұқсас есептерді шешу тәсілдері, бірақ олардың барлығы қандай да бір түрде орталық және іштей сызылған бұрыштардың, үшбұрыштардың және шеңберлердің қасиеттеріне негізделген. Оларды сәтті шешу үшін сызбаны мұқият зерттеп, оны есеп деректерімен салыстыру керек, сонымен қатар теориялық біліміңізді практикада қолдана білу керек.
