Тіпті мектеп жасына дейінгі балалар үшбұрыштың қандай болатынын біледі. Бірақ олардың қандай екенін, жігіттер мектепте түсіне бастады. Бір түрі - доғал үшбұрыш. Оның не екенін түсінудің ең оңай жолы - суреті бар суретті көру. Ал теорияда бұл үш жағы мен төбелері бар "ең қарапайым көпбұрыш" деп атайды, олардың бірі доғал бұрыш.
Ұғымдармен жұмыс
Геометрияда үш қабырғасы бар фигуралардың мұндай түрлері бар: сүйір бұрышты, тік бұрышты және доғал бұрышты үшбұрыштар. Оның үстіне бұл қарапайым көпбұрыштардың қасиеттері барлығына бірдей. Сонымен, барлық аталған түрлер үшін мұндай теңсіздік байқалады. Кез келген екі жақтың ұзындықтарының қосындысы міндетті түрде үшінші жақтың ұзындығынан үлкен болады.
Бірақ жеке төбелер жиыны туралы емес, толық фигура туралы айтып жатқанымызға сенімді болу үшін негізгі шарттың орындалғанын тексеру керек: доғал үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180o. Бұл үш фигураның басқа түрлеріне де қатыстыпартиялар. Рас, доғал үшбұрышта бұрыштардың бірі тіпті 90o-ден көп болады, ал қалған екеуі міндетті түрде өткір болады. Бұл жағдайда бұл ең ұзын жағына қарама-қарсы болатын ең үлкен бұрыш. Рас, бұл доғал үшбұрыштың барлық қасиеттерінен алыс. Бірақ осы мүмкіндіктерді ғана білгеннің өзінде студенттер геометриядан көптеген есептерді шеше алады.
Үш төбесі бар әрбір көпбұрыш үшін қабырғалардың кез келгенін жалғастыра отырып, өлшемі көршілес емес екі ішкі төбенің қосындысына тең болатын бұрыш алатынымыз да шындық. Доғал үшбұрыштың периметрі басқа фигуралар сияқты есептеледі. Ол оның барлық жақтарының ұзындықтарының қосындысына тең. Үшбұрыштың ауданын анықтау үшін математиктер бастапқыда қандай деректер бар екеніне байланысты әртүрлі формулаларды шығарды.
Дұрыс стиль
Геометрия есептерін шешудің маңызды шарттарының бірі – дұрыс сызу. Математика мұғалімдері бұл сізге не берілгенін және не талап етілетінін елестетіп қана қоймай, дұрыс жауапқа 80% жақындауға көмектесетінін жиі айтады. Сондықтан доғал үшбұрышты қалай салу керектігін білу маңызды. Егер сіз жай ғана болжамды фигураны алғыңыз келсе, онда бұрыштардың бірі 90o-ден үлкен болатындай үш жағы бар кез келген көпбұрышты салуға болады.
Егер қабырға ұзындықтарының немесе бұрыштардың градустарының белгілі мәндері берілсе, онда оларға сәйкес доғал бұрышты үшбұрыш салу керек. Сонымен қатар, мүмкіндігінше дәл әрекет ету керекбұрыштарды бейнелеу, оларды транспортирмен есептеу және жақтарды тапсырмадағы берілген шарттарға пропорционалды түрде көрсету.
Негізгі жолдар
Мектеп оқушыларына белгілі бір фигуралардың қалай көрінетінін білу көп жағдайда жеткіліксіз. Олар қай үшбұрыштың доғал, қайсысы тік бұрышты екендігі туралы ақпаратпен шектеле алмайды. Математика курсы олардың фигуралардың негізгі белгілерін білуі толық болуы керек деп қарастырады.
Олай болса, әрбір оқушы биссектриса, медиана, перпендикуляр биссектриса және биіктіктің анықтамасын түсінуі керек. Оған қоса, ол олардың негізгі қасиеттерін білуі керек.
Осылайша, биссектрисалар бұрышты жартысына, ал қарама-қарсы қабырғасын көрші қабырғаларына пропорционал кесінділерге бөледі.
Орташа кез келген үшбұрышты екі тең аумаққа бөледі. Олардың қиылысатын жерінде олардың әрқайсысы 2: 1 қатынасында 2 сегментке бөлінеді, ол шыққан жоғарғы жағынан қарағанда. Бұл жағдайда ең үлкен медиана әрқашан оның ең кіші жағына тартылады.
Бойға да аз көңіл бөлінбейді. Бұл бұрыштан қарама-қарсы жаққа перпендикуляр. Доғал үшбұрыштың биіктігінің өзіндік сипаттамалары бар. Егер ол өткір төбеден сызылған болса, онда ол осы қарапайым көпбұрыштың бүйіріне емес, оның созылуына түседі.
Перпендикуляр биссектриса үшбұрыштың центрінен шығатын кесінді. Сонымен бірге ол оған тік бұрышта орналасқан.
Шеңбермен жұмыс
Балаларға геометрияны үйренудің басындадоғал бұрышты үшбұрышты салуды түсіну, оны басқа түрлерден ажыратуды үйрену және оның негізгі қасиеттерін есте сақтау жеткілікті. Бірақ жоғары сынып оқушылары үшін бұл білім жеткіліксіз. Мысалы, емтиханда жиі шектелген және сызылған шеңберлер туралы сұрақтар туындайды. Олардың біріншісі үшбұрыштың барлық үш төбесіне тиеді, ал екіншісінде барлық қабырғаларымен бір ортақ нүкте бар.
Іштей сызылған немесе сызылған доғал бұрышты үшбұрышты салу қазірдің өзінде әлдеқайда қиын, себебі ол үшін алдымен шеңбердің центрі мен оның радиусы қай жерде болуы керектігін анықтау керек. Айтпақшы, бұл жағдайда сызғышы бар қарындаш қана емес, циркуль де қажетті құралға айналады.
Үш жағы сызылған көпбұрыштарды салу кезінде де осындай қиындықтар туындайды. Математиктер олардың орнын мүмкіндігінше дәл анықтауға мүмкіндік беретін әртүрлі формулаларды әзірледі.
Ішілген үшбұрыштар
Бұрын айтылғандай, егер шеңбер барлық үш төбеден өтсе, онда бұл шектелген шеңбер деп аталады. Оның басты қасиеті – жалғыз. Доғал үшбұрыштың сызылған шеңбері қалай орналасу керектігін білу үшін оның центрі фигураның бүйірлеріне өтетін үш медианалық перпендикулярлардың қиылысында екенін есте ұстаған жөн. Егер үш төбесі бар сүйір бұрышты көпбұрышта бұл нүкте оның ішінде болса, доғал бұрышты көпбұрышта оның сыртында болады.
Мысалы, доғал үшбұрыштың қабырғаларының бірі оның радиусына тең екенін біле отырып, бізбелгілі бетке қарама-қарсы жатқан бұрышты табыңыз. Оның синусы белгілі жақтың ұзындығын 2R-ге бөлу нәтижесіне тең болады (мұндағы R - шеңбердің радиусы). Яғни, бұрыштың күнәсі ½-ге тең болады. Осылайша бұрыш 150o болады.
Егер доғал үшбұрыштың сызылған шеңберінің радиусын табу керек болса, онда оның қабырғаларының ұзындығы (c, v, b) және оның ауданы S туралы ақпарат қажет болады. Өйткені, радиус төмендегідей есептелген: (c x v x b): 4 x S. Айтпақшы, сізде қандай фигураның болуы маңызды емес: жан-жақты доғал үшбұрыш, тең қабырғалы, оң немесе сүйір. Кез келген жағдайда, жоғарыдағы формуланың арқасында сіз үш жағы бар берілген көпбұрыштың ауданын таба аласыз.
Шектелген үшбұрыштар
Сондай-ақ жиі жазылған шеңберлермен жұмыс істеуге тура келеді. Формулалардың біріне сәйкес мұндай фигураның радиусы периметрдің ½-іне көбейтілгенде үшбұрыштың ауданына тең болады. Рас, оны білу үшін доғал үшбұрыштың қабырғаларын білу керек. Шынында да, периметрдің ½ бөлігін анықтау үшін олардың ұзындықтарын қосып, 2-ге бөлу керек.
Доғал үшбұрышқа сызылған шеңбердің центрі қай жерде болуы керектігін түсіну үшін үш биссектрисасын салу керек. Бұл бұрыштарды екіге бөлетін сызықтар. Дәл олардың қиылысында шеңбердің ортасы орналасады. Бұл жағдайда ол екі жағынан бірдей қашықтықта болады.
Доғал үшбұрышқа іштей сызылған мұндай шеңбердің радиусы (p-c) x (p-v) x (p-b): p бөліндісінің квадрат түбіріне тең. Бұл жағдайда p - үшбұрыштың жарты периметрі, c, v, b оның қабырғалары.
