Оқырманға гиперболоидтың – үш өлшемді нысанның не екенін елестетуді жеңілдету үшін алдымен екі өлшемді кеңістікке сәйкес келетін аттас қисық гиперболаны қарастыру керек.
Гиперболаның екі осі бар: бұл суреттегі абсцисса осімен сәйкес келетін нақты ось және у осімен қиялдағы осі. Егер сіз ойша гиперболаның теңдеуін оның ойша осінің айналасында айналдыра бастасаңыз, онда қисық «көрінетін» бет бір парақты гиперболоид болады.
Егер де біз гиперболаны өзінің нақты осінің айналасында осылай айналдыра бастасақ, онда қисық сызықтың екі «жартысының» әрқайсысы өзінің жеке бетін құрайды және ол қосылып екі- деп аталады. жапырақты гиперболоид.
Сәйкес жазықтық қисығын айналдыру арқылы алынған, олар сәйкесінше айналудың гиперболоидтары деп аталады. Олардың айналу осіне перпендикуляр барлық бағыттар бойынша параметрлері бар,айналдырылған қисыққа жатады. Жалпы бұлай емес.
Гиперболоидтық теңдеу
Жалпы, бетті декарттық координаталардағы(x, y, z) келесі теңдеулер арқылы анықтауға болады:
Төңкеріс гиперболоиды жағдайында оның айналатын оське қатысты симметриясы a=b коэффициенттерінің теңдігімен өрнектеледі.
Гиперболоидты сипаттамалар
Оның бір айласы бар. Жазықтықтағы қисықтардың фокустары бар екенін білеміз - гипербола жағдайында, мысалы, гиперболаның ерікті нүктесінен бір фокусқа дейінгі қашықтықтардың айырмасының модулі және екіншісі анықтамасы бойынша тұрақты, шын мәнінде фокустың ұпай.
Үшөлшемді кеңістікке көшкен кезде анықтама іс жүзінде өзгермейді: фокустар қайтадан екі нүкте, ал олардан гиперболоидтық бетке жататын ерікті нүктеге дейінгі қашықтықтардың айырмашылығы тұрақты. Көріп отырғаныңыздай, барлық мүмкін нүктелер үшін өзгерістерден тек үшінші координат пайда болды, өйткені қазір олар кеңістікте орнатылған. Жалпы айтқанда, фокусты анықтау қисық немесе беттің түрін анықтаумен бірдей: беттің нүктелерінің фокустарға қатысты орналасуы туралы айту арқылы біз гиперболоид деген не және ол қалай көрінеді деген сұраққа нақты жауап береміз.
Гиперболаның асимптоталары – оның тармақтары шексіздікке бейім түзу сызықтары бар екенін есте ұстаған жөн. Егер революцияның гиперболоидын тұрғызған кезде асимптоталарды гиперболамен бірге ойша айналдырса, онда гиперболоидтан басқа асимптотикалық конус та алынады. Асимптотикалық конусбір және екі парақты гиперболоидтар үшін.
Бір парақты гиперболоидта ғана болатын тағы бір маңызды сипаттама – түзу сызықты генераторлар. Аты айтып тұрғандай, бұл сызықтар және олар толығымен берілген бетке жатады. Бір парақты гиперболоидтың әрбір нүктесі арқылы екі түзу сызықты генератор өтеді. Олар сәйкесінше келесі теңдеулер жүйесімен сипатталған сызықтардың екі тобына жатады:
Осылайша, бір парақты гиперболоид толығымен екі отбасының шексіз саны түзу сызықтарынан тұруы мүмкін және олардың біреуінің әрбір сызығы екіншісінің барлық сызықтарымен қиылысады. Мұндай қасиеттерге сәйкес келетін беттер сызылған деп аталады; оларды бір түзудің айналуын пайдаланып салуға болады. Кеңістіктегі сызықтардың (түзусызықты генераторлар) өзара орналасуы арқылы анықтау гиперболоид дегеннің бір мәнді белгісі ретінде де қызмет ете алады.
Гиперболоидтың қызықты қасиеттері
Екінші ретті қисықтардың және олардың сәйкес айналу беттерінің әрқайсысының фокустармен байланысты қызықты оптикалық қасиеттері бар. Гиперболоид жағдайында бұл былай тұжырымдалады: егер сәуле бір фокустан түсірілсе, онда ең жақын «қабырғадан» шағылысып, ол екінші фокустан шыққандай бағыт алады.
Өмірдегі гиперболоидтар
Оқырмандардың көпшілігі аналитикалық геометриямен және екінші ретті беттермен танысуды Алексей Толстойдың ғылыми-фантастикалық романынан бастаған болуы мүмкін.«Гиперболоид инженері Гарин». Дегенмен, жазушының өзі гиперболоидтың не екенін жақсы білмеген, немесе көркемдік үшін дәлдікті құрбан еткен: сипатталған өнертабыс, физикалық сипаттамалары бойынша, барлық сәулелерді бір фокусқа жинайтын параболоид болып табылады (бұл кезде гиперболоидтың оптикалық қасиеттері сәулелердің шашырауымен байланысты).
Гиперболоидты құрылымдар деп аталатындар архитектурада өте танымал: бұл пішіні бір парақты гиперболоид немесе гиперболалық параболоид болатын құрылымдар. Өйткені, екінші ретті революцияның осы беттерінде ғана түзу сызықты генераторлар бар: осылайша, қисық құрылымды тек түзу арқалықтардан салуға болады. Мұндай құрылымдардың артықшылықтары ауыр жүктемелерге, мысалы, желге төтеп беру қабілетінде: гиперболоидтық пішін биік құрылымдарды, мысалы, теледидар мұнараларын салуда қолданылады.
