Функцияның экстремум нүктелерінің не екенін түсіну үшін бірінші және екінші туындылардың бар-жоғын білу және олардың физикалық мағынасын түсіну мүлдем қажет емес. Алдымен мынаны түсінуіңіз керек:
- функцияның экстремасы ерікті шағын аудандағы функцияның мәнін барынша көбейтеді немесе керісінше азайтады;
- Экстремум нүктесінде функция үзілуі болмауы керек.
Ал енді дәл солай, тек қарапайым тілде. Шарлы қаламның ұшына қараңыз. Егер қалам тігінен орналасса, жазуды аяғына қарай орналастырса, онда шардың ең ортасы ең шеткі нүкте - ең жоғары нүкте болады. Бұл жағдайда біз максимум туралы айтамыз. Енді қаламды жазу ұшымен төмен қаратсаңыз, доптың ортасында функцияның минимумы болады. Мұнда келтірілген фигураның көмегімен сіз кеңселік қарындашқа арналған манипуляцияларды елестете аласыз. Сонымен, функцияның экстремумдары әрқашан критикалық нүктелер болып табылады: оның максимумдары немесе минимумдары. Диаграмманың іргелес бөлімі ерікті түрде өткір немесе тегіс болуы мүмкін, бірақ ол екі жағында да болуы керек, тек осы жағдайда нүкте экстремум болып табылады. Егер диаграмма тек бір жағында болса, бұл нүкте бір жағында болса да экстремум болмайдыэкстремум шарттары орындалады. Енді функцияның экстремумын ғылыми тұрғыдан зерттейік. Нүкте экстремум деп есептелуі үшін мыналар қажет және жеткілікті:
- бірінші туынды нөлге тең болды немесе нүктеде жоқ;
- бірінші туынды осы кезде таңбасын өзгертті.
Шарт жоғары ретті туындылар тұрғысынан біршама басқаша түсіндіріледі: нүктеде дифференциалданатын функция үшін нөлге тең емес тақ ретті туындының болуы жеткілікті, ал барлығы төменгі ретті туындылар болуы және нөлге тең болуы керек. Бұл жоғары математика оқулықтарындағы теоремалардың ең қарапайым түсіндірмесі. Бірақ қарапайым адамдар үшін бұл тармақты мысалмен түсіндірген жөн. Негізі қарапайым парабола. Бірден брондау жасаңыз, нөлдік нүктеде оның минимумы бар. Кішкене математика:
- бірінші туынды (X2)|=2X, нөлдік нүкте үшін 2X=0;
- екінші туынды (2X)|=2, нөлдік нүкте үшін 2=2.
Бұл бірінші ретті туындылар үшін де, жоғары ретті туындылар үшін де функцияның экстремумдарын анықтайтын жағдайлардың қарапайым суреті. Бұған біз екінші туындының тақ ретті, нөлге тең емес, сәл жоғарырақ талқыланған туынды екенін қосуға болады. Екі айнымалы функцияның экстремумына келетін болсақ, екі аргумент үшін де шарттар орындалуы керек. Қашанжалпылау орын алады, содан кейін ішінара туындылар қолданылады. Яғни, бірінші ретті туындылардың екеуі де нөлге тең немесе олардың кем дегенде біреуі жоқ нүктеде экстремумның болуы қажет. Экстремумның бар болуының жеткіліктілігі үшін өрнек зерттеледі, ол функцияның екінші ретті туындыларының туындысы мен аралас екінші ретті туындысының квадратының арасындағы айырма болып табылады. Егер бұл өрнек нөлден үлкен болса, онда экстремум бар, ал нөл болса, сұрақ ашық қалады және қосымша зерттеу қажет.
