Химия, физика, тіпті биология сияқты пәндерде қолданылуын көруге болатын маңызды ғылымдардың бірі – математика. Бұл ғылымды зерттеу кейбір психикалық қасиеттерді дамытуға, абстрактілі ойлауды және зейінді шоғырландыру қабілетін жақсартуға мүмкіндік береді. «Математика» курсында ерекше назар аударуды қажет ететін тақырыптардың бірі – бөлшектерді қосу және азайту. Көптеген студенттерге оқу қиынға соғады. Мүмкін біздің мақала осы тақырыпты жақсырақ түсінуге көмектеседі.
Бөлшектері бірдей бөлшектерді қалай азайтуға болады
Бөлшектер - әртүрлі әрекеттерді орындауға болатын бірдей сандар. Олардың бүтін сандардан айырмашылығы – бөлгіштің болуы. Сондықтан бөлшектермен әрекеттерді орындау кезінде олардың кейбір ерекшеліктері мен ережелерін оқып білу керек. Ең қарапайым жағдай - бөлгіштері бірдей сан ретінде берілген жай бөлшектерді алу. Қарапайым ережені білсеңіз, бұл әрекетті орындау қиын болмайды:
Бір бөлшектен екіншісін азайту үшін азайтылған бөлшектің алымынан азайтылған бөлшекті азайту керек. Бұлсанды айырманың алымына жазамыз, ал бөлгішті сол күйінде қалдырамыз: k/m – b/m=(k-b)/m
Азайғыштары бірдей бөлшектерді азайту мысалдары
Мысалда оның қалай көрінетінін көрейік:
7/19 - 3/19=(7 - 3)/19=4/19.
Кеңейтілген бөлшектің «7» алымынан «3» азайтылған бөлшектің алымын азайтсақ, «4» аламыз. Бұл санды жауаптың алымына жазамыз, ал бөлгішке бірінші және екінші бөлшектердің бөлгіштерінде болған санды қоямыз - «19».
Төмендегі суретте тағы бірнеше ұқсас мысалдар көрсетілген.
Бөлгіштері бірдей бөлшектерді шегеретін күрделі мысалды қарастырайық:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47.
Кеңейтілген бөлшектің алымынан «29» кейінгі барлық бөлшектердің алымы – «3», «8», «2», «7» кезекпен шегеріледі. Нәтижесінде біз жауаптың алымына жазатын «9» нәтижесін аламыз, ал бөлгішке осы барлық бөлшектердің бөлгіштерінде болатын санды жазамыз - «47».
Бөлгіші бірдей бөлшектерді қосу
Жай бөлшектерді қосу және азайту бірдей принцип бойынша жүзеге асырылады.
Бөлгіштері бірдей бөлшектерді қосу үшін алымдарды қосу керек. Алынған сан қосындының алымы болады, ал бөлгіш өзгеріссіз қалады: k/m + b/m=(k + b)/m
Мысалда оның қалай көрінетінін көрейік:
1/4 + 2/4=3/4.
Қбөлшектің бірінші мүшесінің алымы – «1» – бөлшектің екінші мүшесінің алымы – «2» қосылсын. Нәтиже – «3» – соманың алымында жазылады, ал бөлгіш бөлшекте – «4» дегенмен бірдей.
Бөлгіштері әртүрлі бөлшектер және оларды азайту
Бөлдіргіштері бірдей бөлшектермен әрекетті біз бұрын қарастырдық. Көріп отырғаныңыздай, қарапайым ережелерді білу, мұндай мысалдарды шешу өте оңай. Бірақ әр түрлі бөлгіштері бар бөлшектермен әрекетті орындау қажет болса ше? Көптеген жоғары сынып оқушылары мұндай мысалдармен шатастырады. Бірақ мұнда да, егер сіз шешімнің принципін білсеңіз, мысалдар сізге қиын болмайды. Мұнда да ереже бар, онсыз мұндай бөлшектерді шешу мүмкін емес.
-
Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді алу үшін оларды бірдей ең кіші бөлгішке келтіру керек.
бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді алу
Мұны қалай жасау керектігі туралы толығырақ айтатын боламыз.
Бөлшектің қасиеті
Бірнеше бөлшекті бір бөлгішке келтіру үшін шешімдегі бөлшектің негізгі қасиетін пайдалану керек: алым мен бөлгішті бірдей санға бөлгеннен немесе көбейткеннен кейін мына бөлшекке тең бөлшек шығады. біреуі берілген.
Сонымен, мысалы, 2/3 бөлігінде "6", "9", "12" және т.б. сияқты бөлгіштер болуы мүмкін, яғни ол " еселігі болатын кез келген санға ұқсауы мүмкін. 3". Алым мен азайтқышты көбейткеннен кейін«2», сіз 4/6 бөлігін аласыз. Бастапқы бөлшектің алымы мен бөлімін «3-ке» көбейткеннен кейін біз 6/9 аламыз, ал «4» санымен ұқсас әрекетті орындасақ, 8/12 аламыз. Бір теңдеуде оны келесідей жазуға болады:
2/3=4/6=6/9=8/12…
Бірнеше бөлшекті бір бөлгішке қалай келтіруге болады
Бірнеше бөлшекті бір бөлгішке келтіру жолын қарастырайық. Мысалы, төмендегі суретте көрсетілген бөлшектерді алыңыз. Алдымен олардың барлығына қандай санның бөлгіш бола алатынын анықтау керек. Оны жеңілдету үшін қолжетімді бөлгіштерді көбейткіштерге бөлейік.
Бөлшектің 1/2 және 2/3 бөлігін көбейткіштерге бөлуге болмайды. 7/9 азайғышында екі көбейткіш бар 7/9=7/(3 x 3), бөлшектің бөлімі 5/6=5/(2 x 3). Енді осы төрт бөлшек үшін қандай факторлар ең кіші болатынын анықтау керек. Бірінші бөлшектің бөлгішінде «2» саны болғандықтан, ол барлық бөлгіштерде болуы керек, 7/9 бөлігінде екі үштік бар, яғни олар бөлгіште де болуы керек. Жоғарыда айтылғандарды ескере отырып, бөлгіш үш көбейткіштен тұратынын анықтаймыз: 3, 2, 3 және 3 x 2 x 3=18-ге тең.
Бірінші бөлшекті қарастырайық - 1/2. Оның бөлгішінде «2» бар, бірақ жалғыз «3» жоқ, бірақ екеуі болуы керек. Ол үшін бөлгішті екі үш есе көбейтеміз, бірақ бөлшектің қасиетіне сәйкес алымды екі үш есе көбейту керек:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2) x 3 x 3)=9 /18.
Сол сияқты, біз қалғандарымен әрекеттерді орындаймызбөлшек.
-
2/3 – бөлгіште бір үш және бір екі жоқ:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
-
7/9 немесе 7/(3 x 3) - бөлгіште бөлгіш жоқ:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18.
-
5/6 немесе 5/(2 x 3) - бөлгіште үштік жоқ:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
Бәрі бірге былай көрінеді:
Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді азайту және қосу әдісі
Жоғарыда айтылғандай, бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосу немесе азайту үшін оларды бір бөлгішке келтіру керек, содан кейін бұрын сипатталған бөлгіштері бірдей бөлшектерді азайту ережелерін пайдалану керек.
Мысал ретінде мынаны алайық: 18/4/15 – 3/15.
18 және 15-ке еселіктерді тап:
- 18 саны 3 x 2 x 3.
- 15 саны 5 x 3 санынан тұрады.
- Ортақ еселік келесі көбейткіштерден тұрады 5 x 3 x 3 x 2=90.
Бөлгіш табылғаннан кейін әрбір бөлшек үшін әр түрлі болатын көбейткішті, яғни бөлгішті ғана емес, алымшыны да көбейту қажет болатын санды есептеу керек. Ол үшін біз тапқан санды (ортақ еселік) қосымша факторларды анықтау қажет бөлшектің бөлгішіне бөлеміз.
- 90 15-ке бөлінген. Нәтижесінде "6" саны 3/15 үшін көбейткіш болады.
- 90 18-ге бөлінген. Нәтижесінде "5" саны 4/18 үшін көбейткіш болады.
Біздің шешіміміздің келесі қадамыәрбір бөлшекті "90" бөлгішіне келтіру.
Бұл қалай жасалғанын біз жоғарыда айттық. Бұл мысалда қалай жазылғанын қарастырыңыз:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45.
Егер кіші сандары бар бөлшектер болса, төмендегі суретте көрсетілген мысалдағыдай ортақ бөлгішті анықтауға болады.
Сол сияқты бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосу орындалады.
Бүтін бөліктері бар бөлшектерді алу және қосу
Бөлшектерді азайту және оларды қосу, біз егжей-тегжейлі талдадық. Бірақ бөлшектің бүтін бөлігі болса, қалай азайтуға болады? Тағы да бірнеше ережені қолданайық:
- Бүтін бөлігі бар барлық бөлшектерді бұрыс бөлшектерге аударыңыз. Қарапайым сөзбен айтқанда, бүкіл бөлікті алып тастаңыз. Ол үшін бүтін бөліктің саны бөлшектің бөліміне көбейтіледі, алынған көбейтінді алымға қосылады. Осы әрекеттерден кейін алынатын сан бұрыс бөлшектің алымы болады. Бөлгіш өзгеріссіз қалады.
- Бөлшектердің бөлгіштері әртүрлі болса, оларды бірдей етіп азайту керек.
- Бірдей бөлгіштермен қосу немесе азайту.
- Бұрыс бөлшекті алған кезде бүтін бөлікті таңдаңыз.
Бүтін бөліктері бар бөлшектерді қосу және азайтудың тағы бір жолы бар. Ол үшін әрекеттер бүтін бөліктермен бөлек, ал бөлшектермен бөлек орындалады және нәтижелер бірге жазылады.
Жоғарыдағы мысал бөлгіші бірдей бөлшектерден тұрады. Бөлгіштер әртүрлі болған жағдайда, оларды бірдей етіп азайту керек, содан кейін мысалда көрсетілген қадамдарды орындаңыз.
Бүтін сандардан бөлшектерді азайту
Бөлшектермен амалдардың тағы бір түрі натурал саннан бөлшекті алу керек жағдай. Бір қарағанда, мұндай мысалды шешу қиын сияқты. Дегенмен, мұнда бәрі өте қарапайым. Оны шешу үшін бүтін санды бөлшекке түрлендіру керек, ал азайтылатын бөлшекте болатын осындай бөлгішпен. Әрі қарай, бірдей бөлгіштермен азайтуға ұқсас азайтуды орындаймыз. Мысалда ол келесідей көрінеді:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9.
Осы мақалада берілген бөлшектерді азайту (6-сынып) келесі сабақтарда қарастырылатын күрделірек мысалдарды шешуге негіз болады. Бұл тақырып бойынша білім кейінірек функцияларды, туындыларды және т.б. шешу үшін пайдаланылады. Сондықтан жоғарыда талқыланған бөлшектермен амалдарды түсіну және түсіну өте маңызды.
