Бөлшек. Жай, ондық, аралас бөлшектерді көбейту

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Орта және жоғары сынып оқушылары «Бөлшек» тақырыбын оқыды. Дегенмен, бұл ұғым оқу процесінде берілгеннен әлдеқайда кең. Бүгінгі күні бөлшек ұғымы жиі кездеседі және кез келген өрнекті есептей алмайды, мысалы, бөлшектерді көбейту.

Бөлшек дегеніміз не?

Тарихи түрде бөлшек сандар өлшеу қажеттілігінен пайда болды. Тәжірибе көрсеткендей, кесіндінің ұзындығын, тікбұрышты параллелепипедтің көлемін, тіктөртбұрыштың ауданын анықтауға мысалдар жиі кездеседі.

Алғашында оқушыларға үлес ұғымы беріледі. Мысалы, қарбызды 8 бөлікке бөлсеңіз, әрқайсысы қарбыздың сегізден бір бөлігін алады. Бұл сегіздің бір бөлігі үлес деп аталады.

Кез келген мәннің ½ бөлігіне тең үлес жарты деп аталады; ⅓ - үшінші; ¼ - төрттен. ⁵/₈, ⁴/₅, сияқты жазбалар ²/_{4 жай бөлшектер деп аталады. Жай бөлшек бөлінедіалым және бөлгіш. Олардың арасында бөлшек сызық немесе бөлшек сызық бар. Бөлшек жолақты көлденең немесе көлбеу сызық ретінде салуға болады. Бұл жағдайда ол бөлу белгісін білдіреді.}

Бөлгіш мәннің, объектінің қанша тең үлеске бөлінгенін білдіреді; ал алым - қанша тең үлес алынғаны. Бөлшек жолдың үстіне алым жазылады, ал төменде жазылады.

Координаталық сәуледе жай бөлшектерді көрсету ең қолайлы. Егер бір сегмент 4 тең бөлікке бөлінсе, әрбір бөлік латын әрпімен белгіленсе, нәтижесінде сіз тамаша көрнекі құрал ала аласыз. Сонымен, А нүктесі бүкіл бірлік сегментінің ¹/₄ үлесін көрсетеді, ал В нүктесі ^2/8 _{осы сегменттен.}

Бөлшектердің түрлері

Бөлшектер жай, ондық, сонымен қатар аралас сандар. Сонымен қатар, бөлшектерді дұрыс және бұрыс деп бөлуге болады. Бұл жіктеу жай бөлшектер үшін қолайлы.

Жай бөлшек деп алымы бөлімінен кіші санды айтады. Сәйкесінше, алымы бөлімі бөлгіштен үлкен санды бұрыс бөлшек деп атайды. Екінші түрі әдетте аралас сан түрінде жазылады. Мұндай өрнек бүтін және бөлшек бөліктен тұрады. Мысалы, 1½. 1 - бүтін бөлік, ½ - бөлшек. Дегенмен, өрнекпен кейбір манипуляцияларды орындау қажет болса (бөлшектерді бөлу немесе көбейту, оларды азайту немесе түрлендіру), аралас сан келесіге аударыладыбұрыс бөлшек.

Дұрыс бөлшек өрнек әрқашан бірден бірден кіші, ал бұрыс өрнек әрқашан 1-ден үлкен немесе оған тең.

Ондық бөлшектерге келетін болсақ, бұл өрнек бөлшек өрнектің бөлгішін бірнеше нөлдермен бір арқылы көрсетуге болатын кез келген сан берілген жазба ретінде түсініледі. Бөлшек дұрыс болса, ондық белгідегі бүтін бөлік нөлге тең болады.

Ондық бөлшекті жазу үшін алдымен бүтін бөлікті жазып, оны бөлшектен үтірмен ажыратып, содан кейін бөлшек өрнекті жазу керек. Үтірден кейін алым бөлгіште нөл болса, сонша сандық таңбадан тұруы керек екенін есте ұстаған жөн.

Мысал. 7²¹/_{1000 бөлігін ондық санау жүйесінде көрсетіңіз.}

Бұрыс бөлшекті аралас санға және керісінше түрлендіру алгоритмі

Есептің жауабында бұрыс бөлшекті жазу дұрыс емес, сондықтан оны аралас санға айналдыру керек:

• алымды бөлгішке бөлу;
• нақты мысалда толық емес бөлім бүтін сан;
• ал қалдық бөлшек бөлігінің алымы, ал бөлгіш өзгеріссіз қалады.

Мысал. Бұрыс бөлшекті аралас санға түрлендіру: ⁴⁷/_5.

Шешім. 47: 5. Жартылай бөлік 9, қалдық=2. Сонымен ⁴⁷/₅ =9²/_5.

Кейде аралас санды бұрыс бөлшек ретінде көрсету керек. Содан кейін пайдалану кереккелесі алгоритм:

• бүтін бөлігі бөлшек өрнектің бөлгішіне көбейтіледі;
• алынған өнім алымға қосылады;
• нәтиже алымға жазылады, бөлгіш өзгеріссіз қалады.

Мысал. Аралас санды бұрыс бөлшек түрінде көрсетіңіз: 9⁸/_10.

Шешім. 9 x 10 + 8=90 + 8=98 - алым.

Жауап: ⁹⁸/_10.

Жай бөлшектерді көбейту

Жай бөлшектерге әртүрлі алгебралық амалдарды орындауға болады. Екі санды көбейту үшін алымды алыммен, ал бөлгішті азайтқышпен көбейту керек. Оның үстіне бөлгіштері әр түрлі бөлшектерді көбейту бөлгіштері бірдей бөлшек сандардың көбейтіндісінен еш айырмашылығы жоқ.

Нәтижені тапқаннан кейін бөлшекті азайту керек болады. Алынған өрнекті мүмкіндігінше жеңілдету қажет. Әрине, жауаптағы бұрыс бөлшекті қате деп айтуға болмайды, бірақ оны дұрыс жауап деп айту да қиын.

Мысал. Екі жай бөлшектің көбейтіндісін табыңыз: ½ және ²⁰/_18.

Мысалдан көріп отырғаныңыздай, көбейтіндіні тапқаннан кейін біз қысқартылған бөлшек белгісін аламыз. Бұл жағдайда алым да, бөлгіш те 4-ке бөлінеді және нәтиже ⁵/_9..

Ондық бөлшектерді көбейту

Өнер туындысыондық бөлшектер өз принципі бойынша жай бөлшектердің көбейтіндісінен біршама ерекшеленеді. Сонымен, бөлшектерді көбейту келесідей болады:

• екі ондық бөлшек бір-бірінің астына ең оң жақ цифрлар бірінің астына жазылуы керек;
• жазылған сандарды үтірлерге қарамастан, яғни натурал сандар ретінде көбейту керек;
• әрбір сандағы үтірден кейінгі цифрлардың санын есептеңіз;
• көбейтуден кейін алынған нәтижеде ондық бөлшектен кейінгі екі көбейткіште де қосындыда қамтылғандай оң жақтағы сандық таңбаларды санап, бөлу белгісін қою керек;
• өнімдердегі цифрлар аз болса, осы санды жабу үшін олардың алдына сонша нөл жазып, үтір қойып, нөлге тең бүтін бөлікті тағайындау керек.

Мысал. Екі ондықтың көбейтіндісін есептеңіз: 2, 25 және 3, 6.

Шешім.

Аралас бөлшектерді көбейту

Екі аралас бөлшектің көбейтіндісін есептеу үшін бөлшектерді көбейту ережесін қолдану керек:

• аралас сандарды бұрыс бөлшекке түрлендіру;
• алушылардың көбейтіндісін тап;
• бөлгіштердің көбейтіндісін тап;
• нәтижені жазу;
• өрнекті барынша жеңілдетіңіз.

Мысал. 4½ және 6²/_{5 көбейтіндісін табыңыз.}

Санды бөлшекке көбейту(әр санға бөлшек)

Екі бөлшектің, аралас сандардың көбейтіндісін табудан басқа, натурал санды бөлшекке көбейту керек тапсырмалар бар.

Осылайша, ондық бөлшек пен натурал санның көбейтіндісін табу үшін сізге қажет:

• санды бөлшектің астына ең оң жақ цифрлар бірінің үстіне бірін алатындай етіп жаз;
• үтірге қарамастан өнімді табу;
• нәтижеде бөлшекте ондық бөлшектен кейінгі таңбалар санын оңға қарай санап, үтір арқылы бүтін бөлікті бөлшек бөліктен бөліңіз.

Жай бөлшекті санға көбейту үшін алым мен натурал көбейткіштің көбейтіндісін табу керек. Жауап қысқартылған бөлшек болса, оны түрлендіру керек.

Мысал. ⁵/_{8 және 12 көбейтіндісін есептеңіз.}

Шешім. ⁵/₈12=⁽⁵¹²⁾/₈₌60^/8 ₌30^/4 ₌15^/2 ₌₇1^/2.

Жауап: 7¹/_2.

Алдыңғы мысалдан көріп отырғаныңыздай, нәтижені азайту және дұрыс емес бөлшек өрнекті аралас санға түрлендіру қажет болды.

Сонымен қатар бөлшектерді көбейту аралас түрдегі санның көбейтіндісін және натурал көбейткішті табуға да қатысты. Бұл екі санды көбейту үшін аралас көбейткіштің бүтін бөлігін санға көбейтіп, алымын бірдей мәнге көбейтіп, азайғышты өзгеріссіз қалдыру керек. Қажет болса, нәтижені барынша жеңілдетіңіз.

Мысал. Табу9⁵/_{6 және 9. өнімі}

Шешім. 9⁵/₆ x 9=9 x 9 + ^{(5 x 9)}/ 6 _{=81 +} 45^/6 _{=81 + 7}3^/ 6 ₌₈₈1^/2.

Жауап: 88¹/_2.

10, 100, 1000 немесе 0, 1 көбейткіштеріне көбейту; 0,01; 0, 001

Келесі ереже алдыңғы абзацтан шығады. Ондық бөлшекті 10, 100, 1000, 10000, т.б. көбейту үшін көбейткіште бірден кейін нөл болса, үтірді оңға сонша цифрлық таңбаға жылжыту керек.

1-мысал. 0, 065 және 1000 көбейтіндісін табыңыз.

Шешім. 0,065 x 1000=0065=65.

Жауабы: 65.

2-мысал. 3, 9 және 1000 көбейтіндісін табыңыз.

Шешім. 3,9 x 1000=3,900 x 1000=3900.

Жауабы: 3900.

Егер натурал санды көбейту керек болса және 0, 1; 0,01; 0,001; 0, 0001 және т.б. болса, нәтижеде үтірді солға жылжыту керек, сонша сандық таңбаға дейін біреудің алдында нөл бар. Қажет болса, натурал санның алдында нөлдердің жеткілікті саны жазылады.

1-мысал. 56 мен 0, 01 көбейтіндісін табыңыз.

Шешім. 56 x 0,01=0056=0,56.

Жауабы: 0, 56.

2-мысал. 4 және 0 көбейтіндісін табыңыз, 001.

Шешім. 4 x 0,001=0004=0,004.

Жауабы: 0, 004.

Сонымен, әртүрлі бөлшектердің көбейтіндісін табу қиын болмауы керек, мүмкін нәтижені есептеуден басқа; бұл жағдайда калькуляторсыз жұмыс істей алмайсыз.