Айналмалы қозғалыстың динамикасы мен кинематикасын сандық зерттеу үшін айналу осіне қатысты материалдық нүкте мен қатты дененің инерция моментін білу қажет. Біз мақалада қандай параметр туралы айтып жатқанын қарастырамыз, сонымен қатар оны анықтау формуласын береміз.
Физикалық шама туралы жалпы ақпарат
Алдымен материалдық нүкте мен қатты дененің инерция моментін анықтап алайық, содан кейін оны практикалық есептерді шешуде қалай пайдалану керектігін көрсетейік.
Остің айналасында r қашықтықта айналатын массасы m нүкте үшін көрсетілген физикалық сипаттама бойынша келесі мән түсіндіріледі:
I=mr².
Мұнда зерттелетін параметрдің өлшем бірлігі шаршы метрге килограмм (кгм²) болып табылады.
Егер ось айналасындағы нүктенің орнына массасы өз ішінде ерікті түрде таралатын күрделі пішінді дене айналса, онда оның инерция моменті анықталады.сондықтан:
I=∫m(r²дм)=ρ∫V(r²dV).
Мұндағы ρ – дененің тығыздығы. Интегралдық формуланы пайдаланып, кез келген айналу жүйесі үшін I мәнін анықтауға болады.
Инерция моменті айналу үшін массаның ілгерілемелі қозғалыс үшін мағынасына дәл сәйкес келеді. Мысалы, еден сыпырғышын перпендикуляр арқылы емес, оның тұтқасынан өтетін ось айналасында айналдыру оңайырақ екенін бәрі біледі. Бұл бірінші жағдайдағы инерция моменті екіншісіне қарағанда әлдеқайда аз болуына байланысты.
Мен әртүрлі пішіндегі денелерді бағалаймын
Айналуға арналған физикадан есептерді шығарғанда көбінесе белгілі бір геометриялық пішінді дене үшін, мысалы, цилиндр, шар немесе стержень үшін инерция моментін білу қажет. Жоғарыда жазылған формуланы I үшін қолданатын болсақ, онда барлық белгіленген денелер үшін сәйкес өрнекті алу оңай. Төменде олардың кейбіреулері үшін формулалар берілген:
таяқша: I=1/12ML²;
цилиндр: I=1/2MR²;
шар: I=2 / 5MR².
Мұнда мен дененің масса центрі арқылы өтетін айналу осі үшін берілген. Цилиндр жағдайында ось фигураның генераторына параллель. Басқа геометриялық денелер үшін инерция моментін және айналу осьтерінің орналасу нұсқаларын сәйкес кестелерден табуға болады. Назар аударыңыз, I әртүрлі фигураларды анықтау үшін тек бір геометриялық параметрді және дененің массасын білу жеткілікті.
Штайнер теоремасы және формуласы
Айналу осі денеден біршама қашықтықта орналасса, инерция моментін анықтауға болады. Мұны істеу үшін сіз осы кесіндінің ұзындығын және оның массасының центрінен өтетін оське қатысты дененің IO мәнін білуіңіз керек, ол астындағыға параллель болуы керек. қарастыру. IO параметрі мен белгісіз I мәні арасында байланыс орнату Штайнер теоремасында бекітілген. Материалдық нүкте мен қатты дененің инерция моменті математикалық түрде былай жазылады:
I=IO+ Mh2.
Мұнда M – дененің массасы, h – масса центрінен айналу осіне дейінгі қашықтық, оған қатысты I есептеу керек. Бұл өрнекті өз бетіңізше алу оңай, егер сіз I үшін интегралдық формуланы қолданыңыз және дененің барлық нүктелері r=r0 + сағ.
қашықтықта екенін ескеріңіз.
Штайнер теоремасы көптеген практикалық жағдайлар үшін I анықтамасын айтарлықтай жеңілдетеді. Мысалы, ұзындығы L және оның ұшынан өтетін оське қатысты массасы M үшін I табу керек болса, онда Штайнер теоремасын қолдану мынаны жазуға мүмкіндік береді:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Сіз сәйкес кестеге сілтеме жасай аласыз және оның соңында айналу осі бар жұқа өзек үшін дәл осы формуланы қамтитынын көре аласыз.
Момент теңдеуі
Айналу физикасында моменттердің теңдеуі деп аталатын формула бар. Мынадай көрінеді:
M=Менα.
Мұндағы M – күш моменті, α – бұрыштық үдеу. Көріп отырғаныңыздай, материалдық нүкте мен қатты дененің инерция моменті және күш моменті бір-бірімен сызықты түрде байланысты. М мәні жүйеде α үдеуімен айналмалы қозғалысты жасау үшін қандай да бір күш F күшінің мүмкіндігін анықтайды. M есептеу үшін келесі қарапайым өрнекті пайдаланыңыз:
M=Fd.
Мұндағы d - күш векторынан F айналу осіне дейінгі қашықтыққа тең моменттің иығы. Қол d неғұрлым кішірек болса, соғұрлым күштің жүйенің айналуын жасау мүмкіндігі аз болады.
Мағынасы бойынша моменттердің теңдеуі Ньютонның екінші заңына толық сәйкес келеді. Бұл жағдайда мен инерциялық масса рөлін ойнаймын.
Есептерді шешу мысалы
Салмақсыз көлденең өзегі бар тік осьте бекітілген цилиндр болып табылатын жүйені елестетейік. Цилиндрдің айналу осі мен негізгі осі бір-біріне параллель және олардың арақашықтығы 30 см болатыны белгілі. Цилиндрдің массасы 1 кг, ал радиусы 5 см. Күш 10 Айналу траекториясына жанама N векторы цилиндрдің негізгі осінен өтетін фигураға әсер етеді. Бұл күш әсер ететін фигураның бұрыштық үдеуін анықтау керек.
Алдымен I цилиндрдің инерция моментін есептейік. Ол үшін Штайнер теоремасын қолданыңыз, бізде:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210,05² + 10, 3²=0,09125 кгм².
Момент теңдеуін қолданбас бұрын, қажеткүш моментін анықтаңыз M. Бұл жағдайда бізде:
M=Fd=100, 3=3 Nм.
Енді сіз жеделдеуді анықтай аласыз:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 рад/с².
Есептелген бұрыштық үдеу әрбір секунд сайын цилиндрдің жылдамдығы секундына 5,2 айналымға арта түсетінін көрсетеді.
