Штайнер теоремасы немесе инерция моментін есептеуге арналған параллель осьтер теоремасы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Айналмалы қозғалыстың математикалық сипаттамасында жүйенің оське қатысты инерция моментін білу маңызды. Жалпы жағдайда бұл шаманы табу процедурасы интеграциялық процесті жүзеге асыруды көздейді. Штайнер теоремасы есептеуді жеңілдетеді. Оны мақалада толығырақ қарастырайық.

Инерция моменті дегеніміз не?

Штайнер теоремасының тұжырымын бермес бұрын, инерция моменті ұғымының өзімен айналысу керек. Белгілі бір массалық және еркін пішіндегі дене бар делік. Бұл дене материалды нүкте немесе кез келген екі өлшемді немесе үш өлшемді объект болуы мүмкін (стержен, цилиндр, шар және т.б.). Егер қарастырылып отырған нысан α тұрақты бұрыштық үдеуімен қандай да бір осьтің айналасында айналмалы қозғалыс жасаса, онда келесі теңдеуді жазуға болады:

M=Iα

Мұнда M мәні бүкіл жүйеге α үдеуін беретін күштердің жалпы моментін білдіреді. Олардың арасындағы пропорционалдық коэффициенті – I, деп аталадыинерция моменті. Бұл физикалық шама келесі жалпы формула арқылы есептеледі:

I=∫_м (r²дм)

Мұндағы r - dm массасы бар элемент пен айналу осі арасындағы қашықтық. Бұл өрнек квадрат қашықтықтардың r² және элементар массасы dm көбейтінділерінің қосындысын табу қажет екенін білдіреді. Яғни, инерция моменті дененің сызықты инерциядан ерекшеленетін таза сипаттамасы емес. Ол массаның айналатын объекті бойынша таралуына, сондай-ақ оське дейінгі қашықтыққа және оған қатысты дененің бағытына байланысты. Мысалы, таяқша масса центрінде және шетінде бұрылса, I әр түрлі болады.

Инерция моменті және Штайнер теоремасы

Әйгілі швейцар математигі Якоб Штайнер параллель осьтер мен инерция моменті туралы теореманы дәлелдеді, қазір оның атымен аталады. Бұл теорема қандай да бір айналу осіне қатысты ерікті геометрияның абсолютті кез келген қатты денесінің инерция моменті дененің масса центрімен қиылысатын және біріншісіне параллель болатын оське қатысты инерция моментінің қосындысына тең деп тұжырымдайды., және дене массасының көбейтіндісі осы осьтер арасындағы қашықтықтың квадратына көбейтінді. Математикалық тұрғыдан бұл формула келесідей жазылған:

I_Z=I_O + ml²

I_Z және I_O - Z осіне және оған параллель өтетін O осіне қатысты инерция моменттері дененің масса центрі арқылы, l - Z және O сызықтары арасындағы қашықтық.

Теорема I_O мәнін біле отырып, есептеуге мүмкіндік бередікез келген басқа сәтте I_Z O-ға параллель осьте.

Теореманың дәлелі

Штайнер теоремасының формуласын өзіңіз оңай алуға болады. Ол үшін xy жазықтығындағы ерікті денені қарастырайық. Координаталар басы осы дененің массалар центрі арқылы өтсін. Бас нүктесі арқылы xy жазықтығына перпендикуляр өтетін I_O инерция моментін есептейік. Дененің кез келген нүктесіне дейінгі қашықтық r=√ (x² + y²) формуласымен өрнектелетіндіктен, интегралды аламыз:

I_O=∫_м (r²дм)=∫ м _((x2^+y2^{) дм)}

Енді осьті x осінің бойымен l қашықтыққа, мысалы, оң бағытта жылжытайық, онда инерция моментінің жаңа осі үшін есептеу келесідей болады:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)дм)

Жақшадағы толық квадратты жайып, интегралдарды бөлсек, аламыз:

I_Z=∫_м ((x²+l ²+2xl+y²)дм)=∫_м ((x²⁾ +y²)дм) + 2l∫_м (xdm) + l ²∫_mdm

Бұл терминдердің біріншісі I_O мәні, үшінші мүше интеграциядан кейін l²m терминін береді, ал мұндағы екінші мүше нөлге тең. Көрсетілген интегралдың нөлге теңелуі оның х пен масса элементтерінің dm көбейтіндісінен алынғанына байланысты, олорташа нөлді береді, өйткені масса центрі координат басында болады. Нәтижесінде Штайнер теоремасының формуласы алынды.

Жазықтықта қарастырылған жағдайды үш өлшемді денеге жалпылауға болады.

Таяқша мысалында Штайнер формуласын тексеру

Жоғарыдағы теореманы қалай қолдану керектігін көрсету үшін қарапайым мысал келтірейік.

Ұзындығы L және массасы m сырық үшін инерция моменті I_O (ось массалар центрі арқылы өтеді) m-ге тең екені белгілі. L² /12, және I_Z сәті (ось шыбықтың ұшы арқылы өтеді) mL тең 2^{/3. Бұл деректерді Штайнер теоремасы арқылы тексерейік. Екі ось арасындағы қашықтық L/2 болғандықтан, I}Z_: сәтін аламыз.

I_Z=I_O+ м(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Яғни, Штайнер формуласын тексеріп, I_Z үшін дереккөздегідей мән алдық.

Ұқсас есептеулерді басқа денелер үшін (цилиндр, шар, диск), қажетті инерция моменттерін алу кезінде және интеграцияны орындамай-ақ жүргізуге болады.

Инерция моменті және перпендикуляр осьтер

Қарастырылған теорема параллель осьтерге қатысты. Ақпараттың толықтығы үшін перпендикуляр осьтер үшін теорема беру де пайдалы. Ол былай тұжырымдалады: ерікті пішінді жазық объект үшін оған перпендикуляр оське қатысты инерция моменті екі өзара перпендикуляр және жатқан екі инерция моментінің қосындысына тең болады.осьтер жазықтығында объектінің үш осі бірдей нүкте арқылы өтеді. Математикалық түрде бұл былай жазылады:

I_z=I_x + I_y

Мұндағы z, x, y үш өзара перпендикуляр айналу осі.

Бұл теорема мен Штайнер теоремасының маңызды айырмашылығы оның тек жазық (екі өлшемді) қатты заттарға ғана жарамдылығында. Соған қарамастан, іс жүзінде ол денені ойша жеке қабаттарға кесіп, содан кейін алынған инерция моменттерін қоса отырып, кеңінен қолданылады.