Айналу моменті және инерция моменті: формулалар, есепті шешудің мысалы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Физикада айналмалы қозғалыстар жасайтын денелер әдетте бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу, сондай-ақ айналу моменттері, күштер және инерция сияқты шамаларды қамтитын формулалар арқылы сипатталады. Мақалада осы ұғымдарды толығырақ қарастырайық.

Остің айналасында айналу моменті

Бұл физикалық шаманы бұрыштық импульс деп те атайды. «Момент» сөзі сәйкес сипаттаманы анықтау кезінде айналу осінің орны ескерілетінін білдіреді. Сонымен, О осінің айналасында v жылдамдықпен айналатын және соңғысынан r қашықтықта орналасқан массасы m бөлшектің бұрыштық импульсі келесі формуламен сипатталады:

L¯=r¯mv¯=r¯p¯, мұндағы p¯ – бөлшектің импульсі.

"¯" таңбасы сәйкес шаманың векторлық сипатын көрсетеді. Бұрыштық импульс векторының L¯ бағыты оң қол ережесімен анықталады (төрт саусақ r¯ векторының соңынан p¯ соңына дейін бағытталған, ал сол жақ бас бармақ L¯ қайда бағытталатынын көрсетеді). Барлық аталған векторлардың бағыттарын мақаланың негізгі фотосынан көруге болады.

ҚашанПрактикалық есептерді шешу кезінде олар бұрыштық импульстің формуласын скаляр түрінде пайдаланады. Сонымен қатар, сызықтық жылдамдық бұрыштық жылдамдықпен ауыстырылады. Бұл жағдайда L формуласы келесідей болады:

L=mr²ω, мұндағы ω=vr – бұрыштық жылдамдық.

mr² мәні I әрпімен белгіленеді және инерция моменті деп аталады. Ол айналу жүйесінің инерциялық қасиеттерін сипаттайды. Жалпы, L өрнегі келесідей жазылады:

L=Iω.

Бұл формула тек массасы m айналатын бөлшек үшін ғана емес, сонымен қатар белгілі бір осьте айналмалы қозғалыстар жасайтын кез келген еркін пішінді дене үшін де жарамды.

Инерция моменті I

Жалпы жағдайда алдыңғы абзацта енгізген мән мына формуламен есептеледі:

I=∑_i(m_ir_i ²).

Мұнда i айналу осінен r_i қашықтықта орналасқан массасы m_i элементтің нөмірін көрсетеді. Бұл өрнек еркін пішінді біртекті емес денені есептеуге мүмкіндік береді. Көптеген идеалды үш өлшемді геометриялық фигуралар үшін бұл есептеу қазірдің өзінде жасалған және инерция моментінің алынған мәндері сәйкес кестеге енгізілген. Мысалы, өз жазықтығына перпендикуляр осьтің айналасында дөңгелек қозғалыстар жасайтын және массалар центрі арқылы өтетін біртекті диск үшін I=mr²/2.

Айналу инерция моментінің физикалық мағынасын түсіну үшін швабраны қай осьте айналдыру оңай деген сұраққа жауап беру керек: швабра бойымен жүретін ось. Немесе оған перпендикуляр ма? Екінші жағдайда, сізге көбірек күш жұмсауға тура келеді, өйткені швабраның бұл позициясы үшін инерция моменті үлкен.

L

сақталу заңы

Уақыт бойынша айналу моментінің өзгеруі төмендегі формуламен сипатталады:

dL/dt=M, мұнда M=rF.

Мұндағы M - айналу осіне қатысты r иыққа түсірілген F сыртқы күш моменті.

Формула көрсетеді, егер M=0 болса, онда L бұрыштық импульстің өзгерісі болмайды, яғни жүйедегі ішкі өзгерістерге қарамастан, ол ерікті ұзақ уақыт бойы өзгеріссіз қалады. Бұл жағдай өрнек ретінде жазылған:

I₁ω₁=I₂ω ₂.

Яғни, момент жүйесіндегі кез келген өзгерістер мен олардың көбейтіндісі тұрақты болып қалатындай етіп ω бұрыштық жылдамдықтың өзгеруіне әкелемін.

Бұл заңның көрінісіне мәнерлеп сырғанаудан қолдарын лақтырып, денеге басқан кезде I-ді өзгертетін спортшы мысал бола алады, бұл оның айналу жылдамдығының ω өзгеруінен көрінеді.

Жердің Күнді айналу мәселесі

Бір қызық есепті шешейік: жоғарыдағы формулаларды пайдалана отырып, планетамыздың өз орбитасында айналу моментін есептеу керек.

Себебі қалған планеталардың тартылыс күшін елемеуге болады, сонымен қатарКүннен Жерге әсер ететін тартылыс күшінің моменті нөлге тең екенін ескерсек (иық r=0), онда L=const. L мәнін есептеу үшін келесі өрнектерді қолданамыз:

L=Iω; I=mr²; ω=2pi/T.

Бұл жерде біз Жерді массасы m=5,97210²⁴кг болатын материалдық нүкте деп санауға болады деп болжадық, өйткені оның өлшемдері Күнге дейінгі қашықтықтан әлдеқайда аз. r=149,6 млн км. Т=365, 256 күн – планетаның өз жұлдызын айнала айналу кезеңі (1 жыл). Барлық деректерді жоғарыдағы өрнекке ауыстырсақ, біз мынаны аламыз:

L=Iω=5, 97210²⁴(149, 610⁹) ²23, 14/(365, 256243600)=2, 6610⁴⁰kgm² /с.

Бұрыштық импульстің есептелген мәні ғаламшардың үлкен массасына, оның орбиталық жылдамдығының жоғары болуына және орасан зор астрономиялық қашықтыққа байланысты орасан зор.