Кері тригонометриялық функциялар дәстүрлі түрде мектеп оқушыларына қиындық туғызады. Планиметрия мен стереометриядағы USE тапсырмаларында санның доғалық тангенсін есептеу мүмкіндігі қажет болуы мүмкін. Параметрі бар теңдеу мен есепті сәтті шешу үшін доғаның тангенсі функциясының қасиеттерін түсінуіңіз керек.
Анықтама
Х санының доғалық тангенсі - тангенсі x болатын у саны. Бұл математикалық анықтама.
Арктангенс функциясы y=arctg x түрінде жазылады.
Толығырақ: y=Carctg (kx + a).
Есеп
Арктангенстің кері тригонометриялық функциясы қалай жұмыс істейтінін түсіну үшін алдымен санның тангенсінің мәні қалай анықталатынын есте сақтау керек. Толығырақ қарастырайық.
Х-тің тангенсі – х синусының х-тің косинусына қатынасы. Егер осы екі шаманың кем дегенде біреуі белгілі болса, онда екіншісінің модулін негізгі тригонометриялық сәйкестіктен алуға болады:
sin2 x + cos2 x=1.
Модуль құлпын ашу үшін бағалау қажет болады.
Егерсанның тригонометриялық сипаттамалары емес, өзі белгілі болса, көп жағдайда Брадис кестесіне сілтеме жасай отырып, санның тангенсін шамамен бағалау қажет.
Ерекшеліктер стандартты мәндер деп аталады.
Олар келесі кестеде берілген:
Жоғарыда айтылғандарға қосымша, ½πк (к - кез келген бүтін сан, π=3, 14) санын қосу арқылы деректерден алынған кез келген мәндерді стандартты деп санауға болады.
Дәл дәл солай доғаның жанамасына да қатысты: көбінесе шамамен алынған мәнді кестеден көруге болады, бірақ нақты бірнеше мәндер ғана белгілі:
Тәжірибеде мектеп математикасының есептерін шығарғанда оның жуық бағасын емес, доғаның тангенсі бар өрнек түрінде жауап беру әдетке айналған. Мысалы, arctg 6, arctg (-¼).
График салу
Тангенс кез келген мәнді қабылдай алатындықтан, арктангенс функциясының анықталу облысы бүтін сан сызығы болып табылады. Толығырақ түсіндірейік.
Бір жанама аргументтердің шексіз санына сәйкес келеді. Мысалы, тек нөлдің тангенсі ғана емес, сонымен қатар π k түріндегі кез келген санның тангенсі де болады, мұндағы k – бүтін сан. Сондықтан математиктер доғаның жанамасының мәндерін -½ π пен ½ π аралығындағы аралықтан таңдауға келісті. Оны осылай түсіну керек. Арктангенс функциясының диапазоны интервал (-½ π; ½ π) болып табылады. -½p және ½p жанамалары болмағандықтан, аралық ұштары қосылмаған.
Көрсетілген аралықта жанама үздіксіз боладыартады. Бұл доғаның жанамасының кері функциясы да бүкіл сан түзуінде үздіксіз өсетінін, бірақ жоғарыдан және төменнен шектелгенін білдіреді. Нәтижесінде оның екі көлденең асимптоттары бар: y=-½ π және y=½ π.
Бұл жағдайда, tg 0=0, абсцисса осімен қиылысудың басқа нүктелері, (0;0) қоспағанда, графиктің ұлғаюына байланысты болуы мүмкін емес.
Тангенс функциясының паритетінен келесідей, арктангенстің ұқсас қасиеті бар.
График құру үшін стандартты мәндерден бірнеше ұпай алыңыз:
y=arctg x функциясының кез келген нүктедегі туындысы мына формуламен есептеледі:
Оның туындысы барлық жерде оң екенін ескеріңіз. Бұл функцияны үздіксіз арттыру туралы бұрын жасалған тұжырымға сәйкес келеді.
Арктангенстің екінші туындысы 0 нүктесінде жоғалады, аргументтің оң мәндері үшін теріс және керісінше.
Бұл доғаның жанама функциясының графигінің нөлде иілу нүктесі бар екенін және (-∞; 0] аралықта төмен қарай дөңес және [0; +∞] аралығында жоғары дөңес екенін білдіреді.
