Пирамида – геометриялық есептерде кездесетін кеңістіктік көпбұрыш немесе көпбұрыш. Бұл фигураның негізгі қасиеттері оның кез келген екі сызықтық сипаттамасын білу арқылы есептелетін көлемі мен бетінің ауданы болып табылады. Бұл сипаттамалардың бірі - пирамиданың апотемасы. Бұл мақалада талқыланады.
Пирамида пішіні
Пирамида апотемасының анықтамасын бермес бұрын фигураның өзімен танысып алайық. Пирамида фигураның бүйір бетін құрайтын бір n бұрышты табан мен n үшбұрыштан құралған көпбұрыш.
Әр пирамиданың шыңы бар - барлық үшбұрыштардың қосылу нүктесі. Осы төбеден табанға жүргізілген перпендикуляр биіктік деп аталады. Егер биіктік негізді геометриялық орталықта қиып өтсе, онда фигура түзу деп аталады. Тең бүйірлі табаны бар түзу пирамида дұрыс пирамида деп аталады. Суретте алтыбұрышты негізі бар пирамида көрсетілген, ол бет жағынан және шетінен көрінеді.
Оң жақ пирамиданың апотемасы
Оны апотема деп те атайды. Ол пирамиданың төбесінен фигураның табанының бүйіріне сызылған перпендикуляр деп түсініледі. Анықтау бойынша бұл перпендикуляр пирамиданың бүйір бетін құрайтын үшбұрыштың биіктігіне сәйкес келеді.
Біз n-бұрышты негізі бар қалыпты пирамиданы қарастыратындықтан, оның барлық n апотемасы бірдей болады, өйткені фигураның бүйір бетінің тең қабырғалы үшбұрыштары осындай. Бірдей апотемдер кәдімгі пирамиданың қасиеті екенін ескеріңіз. Жалпы түрдегі фигура үшін (дұрыс емес n-бұрышы бар қиғаш) барлық n апотема әртүрлі болады.
Кәдімгі пирамида апотемасының тағы бір қасиеті – ол бір уақытта сәйкес үшбұрыштың биіктігі, медианасы және биссектрисасы болып табылады. Бұл оның оны екі бірдей тікбұрышты үшбұрышқа бөлетінін білдіреді.
Үшбұрышты пирамида және оның апотемасын анықтау формулалары
Кез келген қалыпты пирамидада маңызды сызықтық сипаттамалар оның табанының бүйірінің ұзындығы, б бүйір жиегі b, биіктігі h және hb апотемасы болып табылады. Бұл шамалар бір-бірімен сәйкес формулалар арқылы байланысты, оларды пирамида сызу және қажетті тікбұрышты үшбұрыштарды қарастыру арқылы алуға болады.
Тұрақты үшбұрышты пирамида 4 үшбұрышты жақтан тұрады және олардың біреуі (негізі) тең қабырғалы болуы керек. Қалғандары жалпы жағдайда тең қабырғалы. апотемаүшбұрышты пирамиданы келесі формулалар арқылы басқа шамалар арқылы анықтауға болады:
hb=√(b2- a2/4);
hb=√(a2/12 + h2)
Бұл өрнектердің біріншісі кез келген дұрыс негізі бар пирамида үшін жарамды. Екінші өрнек үшбұрышты пирамидаға ғана тән. Бұл апотема әрқашан фигураның биіктігінен үлкен екенін көрсетеді.
Пирамиданың апотемасын көп қырлылықпен шатастырмаңыз. Соңғы жағдайда апотема көпбұрыштың бүйіріне оның ортасынан түсірілген перпендикуляр кесінді болып табылады. Мысалы, теңбүйірлі үшбұрыштың апотемасы √3/6a.
Апотем тапсырмасы
Табында үшбұрышы бар қалыпты пирамида берілсін. Бұл үшбұрыштың ауданы 34 см2, ал пирамиданың өзі 4 бірдей беттен тұратыны белгілі болса, оның апотемасын есептеу керек.
Есептің шартына сәйкес біз тең қабырғалы үшбұрыштардан тұратын тетраэдрмен айналысамыз. Бір бет аймағының формуласы:
S=√3/4a2
Бұл жерден a қабырғасының ұзындығын аламыз:
a=2√(S/√3)
Апотеманы анықтау үшін hb біз бүйір жиегі b бар формуланы қолданамыз. Қарастырылып отырған жағдайда оның ұзындығы негіздің ұзындығына тең, бізде:
hb=√(b2- a2/4)=√3/2 a
a мен S мәнін ауыстыру,біз соңғы формуланы аламыз:
hb=√3/22√(S/√3)=√(S√3)
Біз пирамиданың апотемасы тек оның табанының ауданына байланысты болатын қарапайым формуланы алдық. Есеп шартының орнына S мәнін қойсақ, жауап аламыз: hb≈ 7, 674 см.
