Табиғатта және технологияда біз біліктер мен тісті дөңгелектер сияқты қатты денелердің айналу қозғалысының көрінісін жиі кездестіреміз. Қозғалыстың бұл түрі физикада қалай сипатталады, ол үшін қандай формулалар мен теңдеулер қолданылады, осы және басқа мәселелер осы мақалада қарастырылады.
Айналу дегеніміз не?
Әрқайсымыз қандай қозғалыс туралы айтып жатқанымызды интуитивті түрде елестетеміз. Айналу - дененің немесе материалдың нүктенің қандай да бір осьтің айналасында дөңгелек жол бойымен қозғалу процесі. Геометриялық тұрғыдан алғанда, қатты дененің айналу осі қозғалыс кезіндегі қашықтық өзгеріссіз қалатын түзу болып табылады. Бұл қашықтық айналу радиусы деп аталады. Келесіде біз оны r әрпімен белгілейміз. Егер айналу осі дененің масса центрі арқылы өтетін болса, онда ол өз осі деп аталады. Өз осінің айналасында айналу мысалы - Күн жүйесінің планеталарының сәйкес қозғалысы.
Айналу үшін центрге тартқыш үдеу болуы керек, олцентрге тартқыш күш. Бұл күш дененің масса центрінен айналу осіне бағытталған. Центрге тартқыш күштің табиғаты өте әртүрлі болуы мүмкін. Сонымен, ғарыштық масштабта гравитация өз рөлін атқарады, егер дене жіппен бекітілген болса, онда соңғысының керілу күші центрге тартқыш болады. Дене өз осінің айналасында айналғанда, центрге тартқыш күштің рөлін денені құрайтын элементтер (молекулалар, атомдар) арасындағы ішкі электрохимиялық әрекеттесу атқарады.
Ортаға тартқыш күш болмаса, дене түзу сызықпен қозғалатынын түсіну керек.
Айналуды сипаттайтын физикалық шамалар
Біріншіден, бұл динамикалық сипаттамалар. Оларға мыналар жатады:
- импульс L;
- инерция моменті I;
- күш моменті M.
Екіншіден, бұл кинематикалық сипаттамалар. Оларды тізіп көрейік:
- айналу бұрышы θ;
- бұрыштық жылдамдық ω;
- бұрыштық үдеу α.
Осы шамалардың әрқайсысына қысқаша сипаттама берейік.
Бұрыштық импульс мына формуламен анықталады:
L=pr=mvr
Мұндағы p – сызықтық импульс, m – материалдық нүктенің массасы, v – оның сызықтық жылдамдығы.
Материалдық нүктенің инерция моменті мына өрнек арқылы есептеледі:
I=mr2
Күрделі пішінді дене үшін I мәні материалдық нүктелердің инерция моменттерінің интегралдық қосындысы ретінде есептеледі.
М күш моменті келесідей есептеледі:
M=Fd
Мұнда F -сыртқы күш, d - оны қолдану нүктесінен айналу осіне дейінгі қашықтық.
Атауында «момент» сөзі бар барлық шамалардың физикалық мағынасы сәйкес сызықтық шамалардың мағынасына ұқсас. Мысалы, күш моменті әсер ететін күштің айналмалы денелер жүйесіне бұрыштық үдеу беру қабілетін көрсетеді.
Кинематикалық сипаттамалар келесі формулалармен математикалық түрде анықталады:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Бұл өрнектерден көріп отырғаныңыздай, бұрыштық сипаттамалар сызықтық сипаттамаларға мағынасы жағынан ұқсас (жылдамдық v және үдеу a), тек олар дөңгелек траекторияға қатысты.
Айналу динамикасы
Физикада қатты дененің айналмалы қозғалысын зерттеу механиканың екі саласының көмегімен жүзеге асырылады: динамика және кинематика. Динамикадан бастайық.
Динамика айналмалы денелер жүйесіне әсер ететін сыртқы күштерді зерттейді. Қатты дененің айналу қозғалысының теңдеуін дереу жазып алайық, содан кейін оның құрамдас бөліктерін талдаймыз. Бұл теңдеу келесідей көрінеді:
M=Iα
Инерция моменті I болатын жүйеге әсер ететін күш моменті α бұрыштық үдеуінің пайда болуын тудырады. I мәні неғұрлым аз болса, белгілі бір M моментінің көмегімен жүйені қысқа уақыт аралығында жоғары жылдамдыққа дейін айналдыру оңайырақ болады. Мысалы, металл өзекшеге перпендикулярға қарағанда өз осінің бойымен айналу оңайырақ. Дегенмен, сол шыбықты оның ұшынан емес, оған перпендикуляр және масса центрі арқылы өтетін осьтің айналасында айналдыру оңайырақ.
Сақталу заңымәндері L
Бұл мән жоғарыда енгізілген, ол бұрыштық импульс деп аталады. Алдыңғы абзацта берілген қатты дененің айналу қозғалысының теңдеуі жиі басқа түрде жазылады:
Mdt=dL
Егер M сыртқы күштердің моменті жүйеге dt уақыт ішінде әсер етсе, онда ол жүйенің бұрыштық импульсінің dL-ге өзгеруін тудырады. Сәйкесінше, егер күштердің моменті нөлге тең болса, онда L=const. Бұл L шамасының сақталу заңы. Ол үшін сызықтық және бұрыштық жылдамдықтар арасындағы байланысты пайдалана отырып, мынаны жазуға болады:
L=mvr=mωr2=Iω.
Осылайша, күштер моменті болмаған жағдайда бұрыштық жылдамдық пен инерция моментінің көбейтіндісі тұрақты шама болады. Бұл физикалық заңды мәнерлеп сырғанаушылар өздерінің қойылымдарында немесе ғарышта өз осінің айналасында айналуы қажет жасанды жерсеріктерде пайдаланады.
Центрге тартқыш үдеу
Жоғарыда, қатты дененің айналу қозғалысын зерттеуде бұл шама бұрыннан сипатталған. Ортаға тежеу күштерінің сипаты да атап өтілді. Мұнда біз тек осы ақпаратты толықтырамыз және осы үдетуді есептеу үшін сәйкес формулаларды береміз. Оны c деп белгілеңіз.
Центрге тартқыш күш оське перпендикуляр бағытталғандықтан және ол арқылы өтетіндіктен, момент жасамайды. Яғни, бұл күш айналудың кинематикалық сипаттамаларына мүлдем әсер етпейді. Дегенмен, ол центрге тартқыш үдеу жасайды. үшін екі формула беремізоның анықтамалары:
ac=v2/r;
ac=ω2r.
Осылайша, бұрыштық жылдамдық пен радиус неғұрлым көп болса, денені дөңгелек жолда ұстау үшін соғұрлым көп күш қолдану керек. Бұл физикалық процестің жарқын мысалы - бұрылыс кезінде автомобильдің сырғанауы. Үйкеліс күші әсер ететін центрге тартқыш күш центрден тепкіш күштен (инерциялық сипаттама) аз болғанда сырғанау пайда болады.
Айналу кинематикасы
Үш негізгі кинематикалық сипаттама жоғарыда мақалада келтірілген. Қатты дененің айналу қозғалысының кинематикасы келесі формулалармен сипатталады:
θ=ωt=>ω=конст., α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=тұрақты.
Бірінші жолда жүйеге әсер ететін күштердің сыртқы моменті жоқ деп есептейтін біркелкі айналу формулалары бар. Екінші жолда шеңбердегі біркелкі үдетілген қозғалыс формулалары бар.
Айналу тек оң үдеумен ғана емес, теріс жылдамдықпен де болуы мүмкін екенін ескеріңіз. Бұл жағдайда екінші жолдың формулаларында екінші мүшенің алдына минус белгісін қойыңыз.
Есептерді шешу мысалы
Металл білікке 10 секунд бойы 1000 Нм күш моменті әсер етті. Біліктің инерция моменті 50 екенін біле отырыпкгm2, аталған күш моменті білікке берген бұрыштық жылдамдықты анықтау керек.
Айналудың негізгі теңдеуін қолданып, біліктің үдеуін есептейміз:
M=Iα=>
α=M/I.
Бұл бұрыштық үдеу t=10 секунд уақыт ішінде білікке әсер еткендіктен, бұрыштық жылдамдықты есептеу үшін біркелкі үдетілген қозғалыс формуласын қолданамыз:
ω=ω0+ αt=M/It.
Мұнда ω0=0 (білік M күш моментіне дейін айналмады).
Шамалардың сандық мәндерін теңдікке ауыстырсақ, мынаны аламыз:
ω=1000/5010=200 рад/с.
Бұл санды секундына әдеттегі айналымдарға аудару үшін оны 2pi-ге бөлу керек. Бұл әрекетті орындағаннан кейін, білік 31,8 айн/мин жиілікте айналатынын аламыз.
