Физикадағы механикалық қозғалысты зерттегенде заттардың бірқалыпты және біркелкі үдемелі қозғалысымен танысқаннан кейін олар дененің көкжиекке бұрыш жасап қозғалысын қарастыруға көшеді. Бұл мақалада біз бұл мәселені толығырақ қарастырамыз.
Дененің көкжиекке бұрыш жасаған қозғалысы дегеніміз не?
Зат қозғалысының бұл түрі адам тасты аспанға лақтырғанда, зеңбіректен зеңбірек добын атқанда немесе қақпашы футбол добын қақпадан тепкенде пайда болады. Мұндай жағдайлардың барлығын баллистика ғылымы қарастырады.
Ауадағы нысандар қозғалысының белгіленген түрі параболалық траектория бойынша жүреді. Жалпы жағдайда сәйкес есептеулерді жүргізу оңай шаруа емес, өйткені ауа кедергісін, ұшу кезінде дененің айналуын, Жердің өз осінен айналуын және басқа да факторларды ескеру қажет.
Бұл мақалада біз бұл факторлардың барлығын есепке алмаймыз, бірақ мәселені таза теориялық тұрғыдан қарастырамыз. Дегенмен, алынған формулалар өте жақсықысқа қашықтықта қозғалатын денелердің траекториясын сипаттаңыз.
Қарастырылған қозғалыс түріне формулаларды алу
Дененің көкжиекке бұрышпен қозғалысының формулаларын шығарайық. Бұл жағдайда біз ұшатын объектіге әсер ететін бір ғана күшті есепке аламыз - ауырлық. Ол вертикаль төмен қарай (у осіне параллель және оған қарсы) әрекет ететіндіктен, қозғалыстың көлденең және тік құрамдастарын ескере отырып, біріншісі біркелкі түзу сызықты қозғалыс сипатына ие болады деп айта аламыз. Ал екіншісі - g үдеуімен бірдей баяу (біркелкі үдетілген) түзу сызықты қозғалыс. Яғни, v0 (бастапқы жылдамдық) және θ (дене қозғалысы бағытының бұрышы) мәні арқылы жылдамдық құраушылары келесідей жазылады:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ)-gt
Бірінші формула (vx үшін) әрқашан жарамды. Екіншісіне келетін болсақ, бұл жерде бір нюансты атап өткен жөн: gt туындысының алдындағы минус таңбасы тек v0sin(θ) тік компоненті жоғары бағытталған болса ғана қойылады. Көп жағдайда бұл орын алады, алайда денені биіктіктен төмен қаратып лақтырсаңыз, vy өрнекте g алдына «+» белгісін қою керек. т.
Уақыт бойынша жылдамдық құраушыларының формулаларын интегралдау және дененің ұшуының бастапқы h биіктігін ескере отырып, координаталар үшін теңдеулерді аламыз:
x=v0cos(θ)t
y=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Ұшу аралығын есептеңіз
Физикада дененің көкжиекке бұрышқа қозғалысын практикалық қолдану үшін пайдалы деп есептегенде, ұшу қашықтығын есептеуге болады. Оны анықтайық.
Бұл қозғалыс үдеусіз біркелкі қозғалыс болғандықтан, оған ұшу уақытын ауыстырып, қажетті нәтижені алу жеткілікті. Ұшу қашықтығы тек x осі бойынша (көкжиекке параллель) қозғалыс арқылы анықталады.
Дененің ауада болу уақытын y координатасын нөлге теңестіру арқылы есептеуге болады. Бізде:
0=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Бұл квадрат теңдеу дискриминант арқылы шешіледі, біз мынаны аламыз:
D=b2- 4ac=v02sin 2(θ) - 4(-g/2)сағ=v02 sin2(θ) + 2gсағ, t=(-b±√D)/(2a)=(-v0sin(θ)±√(v0) 2sin2(θ) + 2gсағ))/(-2г/2)=
=(v0sin(θ)+√(v02 sin2(θ) + 2gh))/g.
Соңғы өрнекте елеусіз физикалық мәніне байланысты минус белгісі бар бір түбір жойылады. Ұшу уақытын t x өрнекіне ауыстырсақ, l ұшу ауқымын аламыз:
l=x=v0cos(θ)(v0sin(θ)+√(v) 02sin2(θ) + 2gh))/g.
Бұл өрнекті талдаудың ең оңай жолы - бастапқы биіктікнөлге тең (h=0), онда қарапайым формуланы аламыз:
l=v 02sin(2θ)/g
Бұл өрнек дене 45 бұрышпен лақтырылған жағдайда максималды ұшу қашықтығын алуға болатынын көрсетедіo(sin(245o) )=m1).
Дененің максималды биіктігі
Ұшу қашықтығынан басқа, дене көтеріле алатын жерден биіктікті табу да пайдалы. Қозғалыстың бұл түрі тармақтары төмен бағытталған парабола арқылы сипатталатындықтан, ең жоғары көтеру биіктігі оның экстремумы болып табылады. Соңғысы y үшін t-ға қатысты туынды үшін теңдеуді шешу арқылы есептеледі:
dy/dt=d(h+v0sin(θ)t-gt2/2)/dt=v0sin(θ)-gt=0=>
=>t=v0sin(θ)/g.
Осы уақытты y теңдеуіне ауыстырсақ, мынаны аламыз:
y=h+v0sin(θ)v0sin(θ)/g-g(v) 0sin(θ)/g)2/2=h + v0 2sin2(θ)/(2г).
Бұл өрнек денені тігінен жоғары лақтырса, максималды биіктікке көтерілетінін көрсетеді (sin2(90o)=1).
