Стереометриядағы жиі кездесетін мәселелердің бірі түзулер мен жазықтықтарды кесіп өту және олардың арасындағы бұрыштарды есептеу тапсырмалары болып табылады. Осы мақалада координат әдісі деп аталатын әдісті және түзу мен жазықтық арасындағы бұрыштарды толығырақ қарастырайық.
Геометриядағы түзу мен жазықтық
Координаталық әдісті және түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты қарастырмас бұрын, аталған геометриялық нысандармен танысу керек.
Түзу дегеніміз - кеңістіктегі немесе жазықтықтағы нүктелердің осындай жиыны, олардың әрқайсысы алдыңғысын белгілі бір векторға сызықтық көшіру арқылы алуға болады. Келесіде бұл векторды u¯ белгісімен белгілейміз. Егер бұл вектор нөлге тең емес кез келген санға көбейтілсе, онда u¯-ға параллель векторды аламыз. Сызық - сызықтық шексіз нысан.
Жазықтық - бұл сондай-ақ егер олардан ерікті векторларды құрайтын болсаң, онда олардың барлығы қандай да бір n¯ векторына перпендикуляр болатындай етіп орналасқан нүктелер жиынтығы. Соңғысы қалыпты немесе жай қалыпты деп аталады. Жазықтық, түзуден айырмашылығы, екі өлшемді шексіз объект.
Геометрия есептерін шешудің координат әдісі
Әдістің атауына сүйене отырып, біз аналитикалық тізбекті есептеулерді орындауға негізделген есептерді шешу әдісі туралы айтып отырмыз деп қорытынды жасауға болады. Басқаша айтқанда, координаттар әдісі негізгілері теңдеулер болып табылатын әмбебап алгебра құралдарын пайдаланып геометриялық есептерді шешуге мүмкіндік береді.
Қарастырылып отырған әдіс қазіргі геометрия мен алгебраның басында пайда болғанын атап өткен жөн. Оның дамуына 17-18 ғасырларда Рене Декарт, Пьер де Ферма, Исаак Ньютон және Лейбниц үлкен үлес қосты.
Әдістің мәні белгілі нүктелердің координаталары негізінде геометриялық элементтердің қашықтықтарын, бұрыштарын, аудандарын және көлемдерін есептеу болып табылады. Алынған соңғы теңдеулердің формасы координаталар жүйесіне байланысты екенін ескеріңіз. Көбінесе есептерде тікбұрышты декарттық жүйе қолданылады, өйткені онымен жұмыс істеу ең ыңғайлы.
Сызық теңдеуі
Координаталық әдісті және түзу мен жазықтық арасындағы бұрыштарды қарастыру, түзудің теңдеуін орнатудан бастайық. Түзулерді алгебралық түрде көрсетудің бірнеше жолы бар. Мұнда біз тек векторлық теңдеуді қарастырамыз, өйткені оны кез келген басқа формада оңай алуға болады және онымен жұмыс істеу оңай.
Екі нүкте бар деп есептейік: P және Q. Олар арқылы түзу жүргізуге болатыны белгілі және олжалғыз болады. Элементтің сәйкес математикалық көрінісі келесідей:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Мұндағы PQ¯ - координаталары төмендегідей алынатын вектор:
PQ¯=Q - P.
λ таңбасы кез келген санды қабылдай алатын параметрді білдіреді.
Жазбаша өрнекте вектордың бағытын өзгертуге болады, сонымен қатар P нүктесінің орнына Q координатасын қоюға болады. Бұл түрлендірулердің барлығы түзудің геометриялық орнын өзгертуге әкелмейді.
Есептерді шешу кезінде кейде жазылған векторлық теңдеуді айқын (параметрлік) түрде көрсету қажет болатынын ескеріңіз.
Ұшақты ғарышта орнату
Түзу үшін сияқты, жазықтық үшін де математикалық теңдеулердің бірнеше түрі бар. Олардың ішінде векторды, кесінділердегі теңдеуді және жалпы пішінді атап өтеміз. Бұл мақалада біз соңғы пішінге ерекше назар аударамыз.
Ерікті жазықтықтың жалпы теңдеуін келесідей жазуға болады:
Ax + By + Cz + D=0.
Латын бас әріптері - жазықтықты анықтайтын белгілі сандар.
Бұл белгілеудің ыңғайлылығы оның құрамында жазықтыққа нормаль вектор анық көрсетілген. Ол мынаған тең:
n¯=(A, B, C).
Бұл векторды білу жазықтықтың теңдеуіне қысқаша қарап, координаталар жүйесіндегі соңғысының орнын елестетуге мүмкіндік береді.
Өзара орналасусызық пен жазықтықтың кеңістігі
Мақаланың келесі абзацында координат әдісі мен түзу мен жазықтық арасындағы бұрышты қарастыруға көшеміз. Мұнда қарастырылатын геометриялық элементтерді кеңістікте қалай орналастыруға болады деген сұраққа жауап береміз. Үш жол бар:
- Түзу жазықтықты қиып өтеді. Координат әдісі арқылы түзу мен жазықтық қай нүктеде қиылысатынын есептей аласыз.
- Түзудің жазықтығы параллель. Бұл жағдайда геометриялық элементтердің теңдеулер жүйесінің шешімі болмайды. Параллелизмді дәлелдеу үшін әдетте түзудің бағыттаушы векторы мен жазықтықтың нормалының скаляр көбейтіндісінің қасиеті пайдаланылады.
- Ұшақта сызық бар. Бұл жағдайда теңдеулер жүйесін шеше отырып, λ параметрінің кез келген мәні үшін дұрыс теңдік алынады деген қорытындыға келеміз.
Екінші және үшінші жағдайларда көрсетілген геометриялық нысандар арасындағы бұрыш нөлге тең. Бірінші жағдайда ол 0 мен 90o арасында болады.
Түзулер мен жазықтықтар арасындағы бұрыштарды есептеу
Енді тікелей мақала тақырыбына көшейік. Түзу мен жазықтықтың кез келген қиылысуы қандай да бір бұрышта болады. Бұл бұрыш түзудің өзі және оның жазықтыққа проекциясы арқылы жасалады. Проекцияны алуға болады, егер түзудің кез келген нүктесінен жазықтыққа перпендикуляр түсірілсе, содан кейін алынған жазықтық пен перпендикуляр қиылысу нүктесі және жазықтық пен бастапқы түзудің қиылысу нүктесі арқылы сызыңыз. проекция болатын түзу.
Түзулер мен жазықтықтар арасындағы бұрыштарды есептеу қиын тапсырма емес. Оны шешу үшін сәйкес геометриялық объектілердің теңдеулерін білу жеткілікті. Бұл теңдеулер келесідей болсын делік:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Қажетті бұрышты u¯ және n¯ скаляр векторларының көбейтіндісінің қасиеті арқылы оңай табуға болады. Соңғы формула келесідей:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Бұл формула түзу мен жазықтық арасындағы бұрыштың синусы белгіленген векторлардың скаляр көбейтіндісінің модулінің олардың ұзындықтарының көбейтіндісіне қатынасына тең екенін айтады. Неліктен косинус орнына синус пайда болғанын түсіну үшін төмендегі суретке жүгінейік.
Егер косинус функциясын қолдансақ, u¯ және n¯ векторларының арасындағы бұрыш алатынын көруге болады. Қажетті θ бұрышы (суретте α) келесі түрде алынады:
θ=90o- β.
Синус азайту формулаларын қолдану нәтижесінде пайда болады.
Мысалы мәселе
Алған білімді іс жүзінде пайдалануға көшейік. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышқа типтік есепті шығарайық. Төрт нүктенің келесі координаталары берілген:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
PQM нүктелері арқылы екені белгіліол арқылы жазықтық, ал MN арқылы түзу өтеді. Координаталық әдісті пайдаланып, жазықтық пен түзудің арасындағы бұрышты есептеу керек.
Алдымен түзу мен жазықтықтың теңдеулерін жазып алайық. Түзу сызық үшін оны құрастыру оңай:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Жазықтықтың теңдеуін құру үшін алдымен оның нормальін табамыз. Оның координаталары берілген жазықтықта жатқан екі вектордың векторлық көбейтіндісіне тең. Бізде:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Енді D еркін мүшесінің мәнін алу үшін ондағы кез келген нүктенің координаталарын жалпы жазықтықтың теңдеуіне ауыстырайық:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Жазық теңдеуі:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Есептің жауабын алу үшін түзу мен жазықтықтың қиылысында пайда болған бұрыштың формуласын қолдану қалды. Бізде:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Мысал ретінде осы есепті пайдалана отырып, біз геометриялық есептерді шығару үшін координат әдісін қалай қолдану керектігін көрсеттік.
